高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第79講 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題的解法

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1、第79講 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題的解法 【知識要點(diǎn)】 一、 定點(diǎn)問題：對滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題， 證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn). 二、定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，定值問題的處理常

2、見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù). 【方法講評】 題型一 定點(diǎn)問題 方法一 特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明 該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）. 方法二 分離參數(shù)法：若等式對恒成立，則同時成立，運(yùn)用這一原理，可以證明直線或曲線過定點(diǎn)問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn). 【例1】 設(shè)點(diǎn)和是拋物線上原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，且，求

3、證直 線過定點(diǎn). 【解析一】取寫出直線的方程；再取寫出直線的方程；最后求出兩條直線的交點(diǎn)，得交點(diǎn)為. 設(shè)，直線的方程為， 由題意得兩式相減得 ，即， 直線的方程為，整理得 ① 【點(diǎn)評】（1）證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.方法一：特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線 或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.方法二：分離參數(shù)法：若等式對恒成立，則同時成立，運(yùn)用這一原理，可以證明直線或曲線過定點(diǎn)問題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線

4、的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).（2）解析一使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意靈活選擇. 【反饋檢測1】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【反饋檢測2】在直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率,且過點(diǎn),橢圓的長軸的兩端點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上異于的動點(diǎn),定直線與直線、分別交于兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （

5、2）在軸上是否存在定點(diǎn)經(jīng)過以為直徑的圓,若存在,求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,說明理由. 題型二 定值問題 方法一 特殊探究，一般證明. 方法二 直接求題目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù). 【例2】過拋物線：（＞0）的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段與的長分別為，則的值必等于（ ）． A． B． C． D． 又由，消去得 ∴， 【點(diǎn)評】定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題

6、目給定的對象的值，證明其結(jié)果是一個常數(shù). 【反饋檢測3】橢圓的離心率為，且過點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）若分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，且交橢圓于不同于的點(diǎn)，求證：為定值． 【反饋檢測4】如圖，為橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓的兩個頂點(diǎn)，，，若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個“橢點(diǎn)”.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，已知以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）試探討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第79講： 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問題的

7、解法參考答案 【反饋檢測1答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為． （Ⅱ）設(shè)，， 聯(lián)立 得， 又， 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右焦點(diǎn)， ，即， ， ， ． 【反饋檢測2答案】(1)；(2)存在，. 【反饋檢測2詳細(xì)解析】（1）,橢圓的方程為. （2）設(shè)、的斜率分別為.即, 由知, 由知,的中點(diǎn). 以為直徑的圓的方程為, 令, ,即,解得或, 存在定點(diǎn)經(jīng)過以為直徑的圓. 【反饋檢測3答案】（1）（2） 【反饋檢測4答案】（1）；（2）的面積為定值1. 【反饋檢測4詳細(xì)解析】（1）由題可得解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)，，則，.由，即.（*） ①當(dāng)直線的斜率不存在時，. ②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其直線為，聯(lián)立得 ，則，，同理，代入（*），整理得，此時，，∴. 綜上，的面積為定值1.