（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo)，并能應(yīng)用于解決簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)與證明問(wèn)題. 2.對(duì)誘導(dǎo)公式一至六，能作綜合歸納，體會(huì)出六組公式的共性與個(gè)性，培養(yǎng)由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理意識(shí)和能力. 3.繼續(xù)體會(huì)知識(shí)的“發(fā)生”“發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，培養(yǎng)研究問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 知識(shí)點(diǎn)一　誘導(dǎo)公式五 完成下表，并由此總結(jié)角α，角－α的三角函數(shù)值間的關(guān)系． (1)sin＝，cos＝，sin＝cos； (2)sin＝，cos＝，sin＝cos； (3)sin＝，cos＝

2、，sin＝cos. 由此可得 誘導(dǎo)公式五 sin＝cos?α， cos＝sin?α， 知識(shí)點(diǎn)二　誘導(dǎo)公式六 思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦與角α的正弦、余弦之間的關(guān)系？ 答案　 以－α代替公式五中的α得到 sin＝cos(－α)， cos＝sin(－α)． 由此可得 誘導(dǎo)公式六 sin＝cos α， cos＝－sinα． 知識(shí)點(diǎn)三　誘導(dǎo)公式的推廣與規(guī)律 1．sin＝－cos α，cos＝－sin α， sin＝－cos α，cos＝sin α. 2．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律： 公式一～四歸納：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等

3、于角α的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，簡(jiǎn)記為：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”． 公式五～六歸納：±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，簡(jiǎn)記為：“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”或“正變余、余變正、符號(hào)象限定”． 六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式． 記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變．“符號(hào)”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，而不是α函數(shù)值的符號(hào)． 1．

4、誘導(dǎo)公式五、六中的角α只能是銳角．(　×　) 提示　誘導(dǎo)公式五、六中的角α是任意角． 2．誘導(dǎo)公式五、六與誘導(dǎo)公式一～四的區(qū)別在于函數(shù)名稱要改變．(　√　) 提示　由誘導(dǎo)公式一～六可知其正確． 3．sin＝±cos α.(　×　) 提示　當(dāng)k＝2時(shí)，sin＝sin(π－α)＝sin α. 4．口訣“符號(hào)看象限”指的是把角α看成銳角時(shí)變換后的三角函數(shù)值的符號(hào)．(　×　) 提示　應(yīng)看原三角函數(shù)值的符號(hào). 類型一　利用誘導(dǎo)公式求值 例1　已知cos＝，≤α≤，求sin的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式六 解　∵α＋＝＋， ∴sin＝sin＝cos＝. 反

5、思與感悟　對(duì)于這類問(wèn)題，關(guān)鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、互補(bǔ)關(guān)系：如－α與＋α，＋α與－α，－α與＋α等互余，＋θ與－θ，＋θ與－θ等互補(bǔ)，遇到此類問(wèn)題，不妨考慮兩個(gè)角的和，要善于利用角的變換來(lái)解決問(wèn)題． 跟蹤訓(xùn)練1　已知sin＝，求cos的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五 解　∵＋α＋－α＝， ∴－α＝－. ∴cos＝cos ＝sin＝. 類型二　利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式 例2　求證：＝－tan α. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式證明 證明　∵左邊＝ ＝ ＝ ＝＝－ ＝－tan α＝右邊． ∴原等式成立． 反思與感悟　利用誘

6、導(dǎo)公式證明等式問(wèn)題，關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用，其證明的常用方法： (1)從一邊開(kāi)始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡(jiǎn)． (2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子． (3)湊合法：即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)性地進(jìn)行變形，以消除其差異，簡(jiǎn)言之，即化異為同． 跟蹤訓(xùn)練2　(2017·佳木斯檢測(cè))求證：＝. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式證明 證明　右邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝左邊， 所以原等式成立． 類型三　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 例3　已知f(α)＝. (1)化簡(jiǎn)f(α)； (2)若角A是△ABC的內(nèi)角，且f(A)＝，求tan A－sin

7、A的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　(1)f(α)＝＝cos α. (2)因?yàn)閒(A)＝cos A＝， 又A為△ABC的內(nèi)角， 所以由平方關(guān)系，得sin A＝＝， 所以tan A＝＝， 所以tan A－sin A＝－＝. 反思與感悟　解決此類問(wèn)題時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形，將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可避免公式交錯(cuò)使用而導(dǎo)致的混亂． 跟蹤訓(xùn)練3　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求 ·tan2(π－α)的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　方程5x2－7x－6

8、＝0的兩根為x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－，則cos α＝－， ∴·tan2(π－α) ＝·tan2α ＝·tan2α＝－tan2α ＝－＝－. 1．已知sin α＝，則cos等于(　　) A. B. C．－ D．－ 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式六 答案　C 解析　cos＝－sin α＝－. 2．若cos(2π－α)＝，則sin等于(　　) A．－ B．－ C. D．± 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　A 解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝， ∴s

9、in＝－cos α＝－. 3．已知sin＝，則cos的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五 答案　C 解析　cos＝cos ＝sin＝. 4．已知tan θ＝2，則等于(　　) A．2 B．－2 C．0 D. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　B 解析?。? ＝＝＝－2. 5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　∵sin(5π－θ)＋sin ＝sin(π－θ)＋sin ＝sin θ＋cos

10、 θ＝， ∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1] ＝×＝， ∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ ＝1－2×2＝. 1．誘導(dǎo)公式的分類及其記憶方式 (1)誘導(dǎo)公式分為兩大類： ①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函數(shù)值，等于α的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，為了便于記憶，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”． ②α＋，－α＋的三角函數(shù)值，等于α的異名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”

11、． (2)以上兩類公式可以歸納為：k·＋α(k∈Z)的三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名函數(shù)值，然后在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)． 2．利用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦函數(shù)值，常采用“負(fù)角化正角，大角化小角，最后轉(zhuǎn)化成內(nèi)的三角函數(shù)值”這種方式求解． 用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到之間的角的三角函數(shù)的基本步驟： 一、選擇題 1．已知cos α＝，則sin等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式六 答案　A 解析　sin＝cos α＝. 2．已知sin＝，那么cos α等于

12、(　　) A．－ B．－ C. D. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式六 答案　C 解析　sin＝cos α，故cos α＝，故選C. 3．(2017·福建雙十中學(xué)期末)化簡(jiǎn)sin·cos·tan的結(jié)果是(　　) A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　C 解析　因?yàn)閟in＝cos α， cos＝cos＝－sin α， tan＝＝， 所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，故選C. 4．(2017·上饒檢測(cè))已知sin 10°＝k，則cos 620°的值為(　　

13、) A．k B．－k C．±k D．不確定 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　B 解析　cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260°＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k. 5．已知f(sin x)＝cos 3x，則f(cos 10°)的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　A 解析　f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－. 6．若角A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)

14、角，則下列等式中一定成立的是(　　) A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C C．cos＝sin B D．sin＝cos 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 答案　D 解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C， ∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B項(xiàng)不正確； ∵A＋C＝π－B，∴＝， ∴cos＝cos＝sin，故C項(xiàng)不正確； ∵B＋C＝π－A， ∴sin＝sin＝cos，故D項(xiàng)正確． 7．若sin(π＋α)＋cos＝－m，則cos＋2sin(2π－α)的值為(　　) A．－

15、B. C．－ D. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 答案　C 解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝. 故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－. 二、填空題 8．化簡(jiǎn)＝ . 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 答案?。? 解析　原式＝ ＝＝－1. 9．若cos α＝，且α是第四象限角，則cos＝ . 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式六 答案　 解析　∵cos α＝，且α是第四象限角， ∴sin

16、α＝－ ＝－ ＝－. ∴cos＝－sin α＝. 10．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝ . 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五、六 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式五 答案　 解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245° ＝44＋＝. 11．(2017·四川成都樹(shù)德中學(xué)期中)給出下列三個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是角α是銳角； ②若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，則cos α＝； ③若α≠(k∈Z)，則tan＝

17、. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 答案?、? 解析　由誘導(dǎo)公式二，知α∈R時(shí)，sin(π＋α)＝－sin α，所以①錯(cuò)誤．當(dāng)n＝2k(k∈Z)時(shí)，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此時(shí)cos α＝，當(dāng)n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此時(shí)cos α＝－，所以②錯(cuò)誤．若α≠(k∈Z)，則tan＝＝＝－，所以③正確． 三、解答題 12．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求 的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4,3

18、)， ∴tan α＝＝－， ∴ ＝＝tan α＝－. 13．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α與cos α的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　∵sin＝－cos α， cos＝cos＝－sin α， ∴sin α·cos α＝， 即2sin α·cos α＝.① 又∵sin2α＋cos2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝， ②－①得(sin α－cos α)2＝. 又∵α∈，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝，③ sin

19、α－cos α＝，④ ③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝. 四、探究與拓展 14．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，則＝ . 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 答案　－ 解析　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－. 15．已知α是第四象限角，且f(α)＝. (1)若cos＝，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式求值 解　f(α)＝ ＝＝. (1)∵cos＝， ∴cos＝， ∴cos＝， ∴sin α＝－，∴f(α)＝＝－5. (2)當(dāng)α＝－1 860°時(shí)，f(α)＝ ＝＝ ＝＝＝－.