江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案 [考情考向分析]　應(yīng)用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上．命題主要考查學(xué)生運用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題，可以通過建立函數(shù)、不等式模型，解決實際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實際問題． 熱點一　和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例1　某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提高工人的收入，工廠將進行技術(shù)改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望

2、提高2x%. (1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為多少時，能使這200人的人均年收入達到最大，并求出最大值． 解　(1)y＝ ＝ ＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4. 其中100≤x≤150，x∈N*. (2)①當(dāng)100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時， 當(dāng)x＝25(a＋3)時，y取最大值，即ymax＝(a＋3)2＋4； ②當(dāng)25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時， 函數(shù)y在[100,150]上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝150時，y取最大值，即ymax＝3a＋4. 答　當(dāng)1≤a≤3，a

3、∈N*，x＝25(a＋3)時，y取最大值(a＋3)2＋4； 當(dāng)a＞3，a∈N*，x＝150時，y取最大值3a＋4. 思維升華　二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)． 跟蹤演練1　某企業(yè)參加A項目生產(chǎn)的工人為1 000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實的需要，從A項目中調(diào)出x人參與B項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a＞0)，A項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%. (1)若要保證A項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加B項目從事售后服務(wù)工作？ (2

4、)在(1)的條件下，當(dāng)從A項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的40%時，能使得A項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)根據(jù)題意可得(1 000－x)(10＋10×0.2x%)≥1 000×10， 整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500， 最多調(diào)出的人數(shù)為500. (2)由解得0≤x≤400. 10×x≤(1 000－x)·(10＋10×0.2x%) 對x∈[0,400]恒成立， 即10ax－≤1 000×10＋20x－10x－2x2%恒成立， 即ax≤＋x＋1 000對于任意的x∈[0,400]恒成立． 當(dāng)x＝0時，

5、不等式顯然成立； 當(dāng)0＜x≤400時， a≤＋＋1＝＋1. 令函數(shù)f(x)＝x＋， 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)， 故f(x)min＝f(400)＝1 025， 故＋＋1≥. 故0＜a≤，所以實數(shù)a的取值范圍是. 熱點二　和不等式有關(guān)的應(yīng)用題 例2　秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137 600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該

6、農(nóng)機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費1 800元，第五年付費6 000元． (1)試求出該農(nóng)機戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； (2)這臺收割機使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費用－購買機械費用) 解　(1)依題意知，當(dāng)n＝2時，y＝1 800； 當(dāng)n＝5時，y＝6 000， 即解得 所以f(n)＝ (2)記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當(dāng)n≥2時，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)

7、] ＝60 000－ ＝60 000－(137 200＋700n2－300n) ＝60 300－≤60 300－2＝40 700， 當(dāng)且僅當(dāng)700n＝，即n＝14時取等號． 所以這臺收割機使用14年，可使年均收益最大． 思維升華　運用基本不等式求解應(yīng)用題時，要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式，同時要注意等號成立的條件． 跟蹤演練2　小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小張在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為

8、(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)． (1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運輸累計收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？ (利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出) 解　(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*， 即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*， 由－x2＋20x－50＞0， 解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3， 故從第三年開始運輸累計收入超過總支出． (2)因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷

9、售二手貨車后，小張的年平均利潤為 ＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25) ＝19－， 又19－≤19－2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立． 答　第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤最大． 熱點三　和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例3　(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點A，B間距離為1米， AB與桿AC的夾角為60°，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設(shè)∠ADB＝α，則制作整個支架的總成本記為S元． (1)求S

10、關(guān)于α的函數(shù)表達式，并求出α的取值范圍； (2)問AD段多長時，S最?。? 解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝， ∴BD＝， AD＝＋， 則S＝a＋ 2a ＋ 4a＝a， 由題意得α∈. (2)令S′＝a·＝0，設(shè)cos α0＝. α α0 cos α S′ － 0 ＋ S  極小值  ∴當(dāng)cos α＝時， S最小，此時sin α＝， AD＝＋＝. 思維升華　諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，用三角函數(shù)知識來求解． 跟蹤演練3　某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一

11、形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設(shè)計要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))．彩門的下底BC固定在廣場底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l. (1)請將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)； (2)問當(dāng)α為何值時l最小，并求最小值． 解　(1)過D作DH⊥BC于點H，如圖所示． 則∠DCB＝α，DH＝h， 則DC＝，CH＝. 設(shè)AD＝x，BC＝x＋. 因為S＝·h，則x＝－， 則l＝f(α)＝2DC＋AD ＝＋h. (2)由(1)可知，l＝f(α)＝＋h， 則f′(α)＝h·＝h·， 令

12、f′(α)＝h·＝0，得α＝. α f′(α) － 0 ＋ f(α)  極小值  所以lmin＝f?＝h＋. 1．某學(xué)校有長度為14 m 的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動室，工程條件是：①建1 m新墻的費用為a元；②修1 m舊墻的費用是元；③ 拆去1 m舊墻所得的材料，建1 m新墻的費用為元，經(jīng)過討論有兩種方案： (1)利用舊墻的一段x m(0

13、 解　設(shè)利用舊墻的一面邊長為x m， 則矩形另一邊長為 m. (1)當(dāng)0＜x＜14時， 總費用f(x)＝x＋(14－x)＋a ＝7a≥35a， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時取最小值35a. (2)當(dāng)x≥14時， 總費用f(x)＝×14＋a ＝2a， 則f′(x)＝2a＞0， 故f(x)在[14，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝14時取最小值35.5a. 答　第(1)種方案最省，即當(dāng)x＝12 m時，總費用最省，為35a元． 2．某油庫的容量為31萬噸，年初儲油量為10萬噸，從年初起計劃每月月初先購進石油m萬噸，然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求．若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬

14、噸，區(qū)域外前x個月的需求量y(萬噸)與x的函數(shù)關(guān)系為y＝5＋(p＞0,1≤x≤10，x∈N*)．已知前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸． (1)試寫出第x個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量M(x)(萬噸)的函數(shù)表達式； (2)要使油庫中的石油在前10個月內(nèi)任何時候都不超出油庫的容量，又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，求m的取值范圍． 解　(1)因為前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸， 所以15＝5＋， 則p＝25，y＝5＋5(1≤x≤10，x∈N*)． M(x)＝10＋mx－x－(5＋5)＝mx－x－5＋5 (1≤x≤10，x∈N*)． (2)因為第x個月的月初購進石油后，儲油量不能多于31

15、萬噸，所以M(x－1)＋m≤31， 即10＋mx－(x－1)－(5＋5)≤31， 則mx－x－5≤25， 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 令＝t， 則m≤＋1(t＝，k＝0,1，…，9)恒成立， 令u＝t＋5，m≤＋1(u＝5＋，k＝0,1，…，9)恒成立， 因為u＋－10在u＝8時取得最大值， 所以＋1的最小值為5，則m≤5. 另一方面，第x個月調(diào)出石油后，儲油量不能少于0萬噸， 所以M(x)≥0，即mx－x－5＋5≥0. 即m≥－＋＋1， 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 所以m≥－52＋， 此式對一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 則

16、m≥(x＝4時取等號)． 綜上所述，≤m≤5 答　每月購進石油m的取值范圍是. A組　專題通關(guān) 1．某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件．為獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x(單位：十萬元)時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表 x(十萬元) 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S(十萬元)與廣告費x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式； (3)如果投入

17、的年廣告費為x，x∈[10,30]萬元，問廣告費在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？ 解　(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由關(guān)系表，得解得 ∴函數(shù)的解析式為y＝－x2＋x＋1(x≥0)． (2)根據(jù)題意，得S＝10y(3－2)－x＝－x2＋5x＋10(x≥0)． (3)S＝－x2＋5x＋10＝－2＋， ∵1≤x≤3，∴當(dāng)1≤x≤2.5時，S隨x的增大而增大． 故當(dāng)年廣告費為10～25萬元之間，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大． 2．在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去

18、邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b. (1)當(dāng)a＝90時，求紙盒側(cè)面積的最大值； (2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值． 解　(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600平方厘米， 故當(dāng)a＝90時，b＝40， 從而包裝盒子的側(cè)面積 S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x2＋260x，x∈(0,20) . 因為S＝－8x2＋260x＝－82＋， 故當(dāng)x＝ 時，側(cè)面積最大，最大值為平方厘米． (2)包裝盒子的

19、體積V＝(a－2x)(b－2x)x ＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60. V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2) ＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時等號成立． 設(shè)f (x)＝4x3－240x2＋3 600x，x∈(0,30)． 則f′(x)＝12(x－10)(x－30)． 于是當(dāng)0＜x＜10時，f′(x)＞0， 所以f (x)在(0,10)上單調(diào)遞增； 當(dāng)10＜x＜30時，f′(x)＜0， 所以f (x)在(10,30)上單調(diào)遞減． 因此當(dāng)x＝10時，f(x)有最大值

20、f(10)＝16 000， 此時a＝b＝60，x＝10. 所以當(dāng)a＝b＝60，x＝10時紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米． 3．(2018·蘇州模擬)某“T” 型水渠南北向?qū)挒? m，東西向?qū)挒?m，其俯視圖如圖所示．假設(shè)水渠內(nèi)的水面始終保持水平位置． (1)過點A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點，且與水渠的一邊的夾角為θ(θ為銳角)，將線段PQ的長度l表示為θ的函數(shù)； (2)若從南面漂來一根長度為7 m的筆直的竹竿(粗細不計)，竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)？試說明理由． 解　(1)由題意得，PA＝

21、，QA＝， 所以l＝PA＋QA＝＋. (2)設(shè)f(θ)＝＋， 由f′(θ)＝－＋＝， 令f′(θ)＝0，得tan θ0＝. 且當(dāng)θ∈(0，θ0)時，f′<0；當(dāng)θ∈時，f′(θ)>0， 所以f在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)θ＝θ0時，f取得極小值，即為最小值． 當(dāng)tan θ0＝時，sin θ0＝，cos θ0＝， 所以f的最小值為3， 即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m. 因為3>7，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠． 答　竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠． 4．(2018·江蘇啟東中學(xué)月考)園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米，圓

22、心角為θ(弧度)的扇形觀景水池，其中θ∈， O為扇形AOB的圓心，同時緊貼水池周邊(即 OA，OB和θ所對的圓弧)建設(shè)一圈理想的無寬度步道．要求總預(yù)算費用不超過24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1 000元． (1)若總費用恰好為24萬元，則當(dāng)r和θ分別為多少時，可使得水池面積最大，并求出最大面積； (2)若要求步道長為105米，則可設(shè)計出的水池最大面積是多少？ 解　(1)弧長AB為θr，扇形AOB面積為S＝θr2, 則400×θr2＋1 000＝240 000. 即θr2＋5＝1 200. 所以θ＝. S＝θr2＝××r2＝650－5≤650－5×2＝4

23、00. 當(dāng)且僅當(dāng)r＋5＝，即r＝20時取等號，此時θ＝2∈. 答　r＝20, θ＝2，面積最大值為400平方米． (2) 由θr＋2r＝105，得出θ＝， ∴S＝θr2＝r， 所以 所以所以45≤r<. ∴S＝θr2＝r， r∈， 所以當(dāng)r＝45, θ＝時，水池的最大面積為337.5平方米． 答　 r的取值范圍為，且當(dāng)r＝45, θ＝時，水池的最大面積為337.5平方米． B組　能力提高 5．(2018·南通模擬)如圖，某機械廠欲從AB＝2米，AD＝2米的矩形鐵皮中裁剪出一個四邊形ABEF加工成某儀器的零件，裁剪要求如下：點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且EB＝EF，A

24、F

25、－＝－ ＝2－＝3tan＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)3tan＝時，不等式取等號， 又θ∈，∈， 故tan＝，＝，θ＝. BE＝＝，AF＝－＝. 答　當(dāng)BE，AF的長度分別為米，米時，裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，最小值為2平方米． 6．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)圖(Ⅰ)是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖(Ⅱ)所示的數(shù)學(xué)模型．索塔AB，CD與橋面AC均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60 m，橋面AC上一點P到索塔AB，CD距離之比為21∶4，且P對兩塔頂?shù)囊暯菫?35°. 　 (1)求兩索塔之間橋面AC的長度； (2)研究表明索塔對橋面上某處的“

26、承重強度”與多種因素有關(guān)，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的“承重強度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b)．問兩索塔對橋面何處的“承重強度”之和最?。坎⑶蟪鲎钚≈担? 解　(1)設(shè)AP＝21t，PC＝4t(t>0)，記∠APB＝α，∠CPD＝β， 則tan α＝＝，tan β＝＝， 由tan(α＋β)＝tan 45°＝＝＝1， 化簡得 7t2－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－(舍去), 所以AC＝AP＋PC＝25×20＝500. 答　兩索塔之間的距離AC為500米． (2)設(shè)AP＝x，點P處的承重強度之和為L(x

27、)． 則L(x)＝60，且x∈(0,500)， 即L(x)＝60ab，x∈(0,500)， 記l(x)＝＋，x∈(0,500)， 則l′(x)＝＋，　　　 令l′(x)＝0，解得x＝250， 當(dāng)x∈(0,250)，l′(x)<0時，l(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(250,500)，l′(x)>0時，l(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝250時，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值. 答　兩索塔對橋面AC中點處的“承重強度”之和最小，且最小值為. 7．(2018·江蘇姜堰、溧陽、前黃中學(xué)聯(lián)考)科學(xué)研究證實，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)

28、境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施．已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%.同時，因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸. (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)； (2)若A市永遠不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍． 解　設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，…， (1)由已知得， a1＝400×0.9＋m， a2＝0.9×＋m＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m. (2)a3＝0.9×＋m ＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m， … an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m ＝400×0.9n＋m＝400×0.9n＋10m ＝×0.9n＋10m. 由已知有?n∈N*，an≤550. ①當(dāng)400－10m＝0，即m＝40時，顯然滿足題意； ②當(dāng)400－10m>0，即m<40時， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得×0.9＋10m≤550，解得m≤190. 綜合得m<40； ③當(dāng)400－10m<0，即m>40時， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m≤550，解得m≤55， 綜合得40