（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（一）學案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（一）學案 新人教A版必修2 學習目標　1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函數(shù)y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性． 知識點一　函數(shù)的周期性 思考1　如果函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？ 答案　不一定．必須滿足當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以說3是f(x)的周期． 思考2　所有的函數(shù)都具有周期性嗎？ 答

2、案　不是．只有同時符合周期函數(shù)定義中的兩個條件的函數(shù)才具有周期性． 梳理　函數(shù)的周期性 (1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期． (2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期． 知識點二　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 思考1　證明函數(shù)y＝sin x和y＝cos x都是周期函數(shù)． 答案　∵sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x， ∴y＝sin x和y＝cos x都是周期函數(shù)

3、，且2π就是它們的一個周期． 思考2　證明函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函數(shù)． 答案　由誘導公式一知，對任意x∈R， 都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)， 所以Asin＝Asin(ωx＋φ)， 即f＝f(x)， 所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函數(shù)，就是它的一個周期． 同理，函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)也是周期函數(shù)． 梳理　由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知，y＝sin x與y＝cos x都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z

4、且k≠0)都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2π. 知識點三　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 思考　對于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，這說明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？ 答案　 奇偶性． 梳理　(1)對于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函數(shù)y＝sin x是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點對稱． (2)對于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函數(shù)y＝cos x是偶函數(shù)，余弦曲線關(guān)于y軸對稱． 1．函數(shù)f(x)＝x2滿足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6為周期的周期函數(shù)

5、．(　×　) 提示　周期函數(shù)需滿足對定義域內(nèi)每一個值x，都有f(x＋T)＝f(x)，對于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6為周期的周期函數(shù)． 2．周期函數(shù)y＝f(x)的定義域可以為[a，b](a，b∈R)．(　×　) 提示　周期函數(shù)的定義域一定為無限集，且無上下界． 3．任何周期函數(shù)都有最小正周期．(　×　) 提示　常函數(shù)f(x)＝c，任意一個正實數(shù)都是其周期，因而不存在最小正周期. 類型一　三角函數(shù)的周期性 例1　求下列函數(shù)的最小正周期． (1)y＝sin(x∈R)； (2)y＝|sin x|(x

6、∈R)． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 解　(1)方法一　令z＝2x＋，因為x∈R，所以z∈R. 函數(shù)f(x)＝sin z的最小正周期是2π， 即變量z只要且至少要增加到z＋2π， 函數(shù)f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重復取得． 而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自變量x只要且至少要增加到x＋π，函數(shù)值才能重復取得，所以函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π. 方法二　f(x)＝sin的最小正周期為＝π. (2)因為y＝|sin x|＝(k∈Z)． 其圖象如圖所示， 所以該函數(shù)的最小正周期為π. 反思與

7、感悟　對于形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時的最小正周期的求法常直接利用T＝來求解，對于y＝|Asin ωx|的周期情況常結(jié)合圖象法來求解． 跟蹤訓練1　(2017·大同檢測)下列函數(shù)是以π為周期的函數(shù)是(　　) A．y＝sin x B．y＝sin x＋2 C．y＝cos 2x＋2 D．y＝cos 3x－1 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　C 解析　y＝sin x及y＝sin x＋2的周期為2π，y＝cos 2x＋2的周期為π，y＝cos 3x－1的周期為. 類型二　三角函數(shù)的奇偶性 例2　判斷下列函數(shù)的奇偶性．

8、 (1)f(x)＝cos＋x2sin x； (2)f(x)＝＋. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 解　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x， ∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)由得cos x＝. ∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z. ∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． 反思與感悟　判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個關(guān)鍵點 關(guān)鍵點一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱； 關(guān)鍵點二：看f(x)與f(－x)的關(guān)系． 對于三角

9、函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡后再判斷． 跟蹤訓練2　若函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)是奇函數(shù)，則(　　) A．ω＝0 B．φ＝kπ(k∈Z) C．ω＝kπ(k∈Z) D．φ＝kπ＋(k∈Z) 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案　D 解析　由函數(shù)y＝cos(ωx＋φ)是奇函數(shù)， 可知y＝cos(ωx＋φ)＝sin ωx或y＝cos(ωx＋φ)＝－sin ωx， 由誘導公式，得φ＝kπ＋(k∈Z)． 類型三　三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用 例3　定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f

10、(x)的最小正周期是π，且當x∈時，f(x)＝sin x，求f的值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點　正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解　∵f(x)的最小正周期是π， ∴f＝f＝f. 又∵f(x)是R上的偶函數(shù)， ∴f＝f＝sin ＝. ∴f＝. 例4　已知函數(shù)f(x)＝cosx，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題點　余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解　∵f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos 2π＝1， ∴f(1)

11、＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0. 同理，可得每連續(xù)六項的和均為0. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020) ＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020) ＝cos＋cos＋cos＋cos ＝cos＋cos＋cos π＋cos ＝＋＋(－1)＋＝－. 反思與感悟　當函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值． 跟蹤訓練3　設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

12、題點　正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 答案　 解析　∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018) ＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018) ＝336 ＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2) ＝336×0＋f(1)＋f(2) ＝sin ＋sin π＝. 1．(2017·金華十校期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，則f(x)的奇偶性(　　) A．與ω有關(guān)，且與φ有關(guān) B．與ω有關(guān)，但與

13、φ無關(guān) C．與ω無關(guān)，且與φ無關(guān) D．與ω無關(guān)，但與φ有關(guān) 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案　D 解析　因為當φ＝kπ，k∈Z時，函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，為偶函數(shù)； 當φ＝＋kπ，k∈Z時，函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ) ＝±sin ωx，為奇函數(shù)． 所以f(x)的奇偶性與ω無關(guān)，但與φ有關(guān)． 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin，x∈R，則f(x)是(　　) A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù) 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇

14、偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案　B 解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x. 又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)． 3．函數(shù)y＝sin的最小正周期為2，則ω的值為________． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　±π 解析　T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 4．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，10是f(x)的一個周期，且f(2)＝，則f(22)＝________. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)

15、、余弦函數(shù)的周期性 答案　 解析　f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝. 5．(2017·廣州六中期末)已知函數(shù)f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 018)＝7，則f(－2 018)＝________. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案?。? 解析　由f(2 018)＝2 018a＋bsin 2 018＋1＝7， 得2 018a＋bsin 2 018＝6， ∴f(－2 018)＝－2 018a－bsin 2 018＋1 ＝－(2 018a＋bsin 2 018)＋1＝－6＋1＝－5. 1．求函數(shù)的最小正周期的

16、常用方法 (1)定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y＝|sin x|. (3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝. 2．判斷函數(shù)的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，準確求函數(shù)定義域和將式子合理變形是解決此類問題的關(guān)鍵．如果定義域關(guān)于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而判斷奇偶性. 一、選擇題 1．下列是定義在R上的四個函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是(　　)

17、 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　D 解析　對于D，x∈(－1,1)時的圖象與其他區(qū)間圖象不同，不是周期函數(shù)． 2．下列函數(shù)中，周期為2π的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝ D．y＝|sin 2x| 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　C 解析　y＝sin 的周期為T＝＝4π； y＝sin 2π的周期為T＝＝π； y＝的周期為T＝2π； y＝|sin 2x|的周期為T＝. 故選C. 3．函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期為，其中ω>0，則ω等于(　

18、　) A．5 B．10 C．15 D．20 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　B 4．函數(shù)f(x)＝3sin是(　　) A．周期為3π的偶函數(shù) B．周期為2π的偶函數(shù) C．周期為3π的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù) 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　A 5．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是(　　) A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x| C．y＝sin D．y＝cos 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　D 解

19、析　y＝cos|2x|是偶函數(shù)，y＝|sin x|是偶函數(shù)，y＝sin＝cos 2x是偶函數(shù)，y＝cos＝－sin 2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式求得其最小正周期T＝π. 6．函數(shù)y＝的奇偶性為(　　) A．奇函數(shù) B．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) C．偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 答案　D 解析　由題意知，當1－sin x≠0， 即sin x≠1時， y＝＝|sin x|， 所以函數(shù)的定義域為， 由于定義域不關(guān)于原點對稱， 所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)． 7．(2017·廣州檢測)如果函數(shù)f(x)＝cos(ω>

20、0)的相鄰兩個零點之間的距離為，則ω的值為(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離為，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6. 二、填空題 8．函數(shù)f(x)＝cos的周期是________． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　6 解析　T＝＝＝6. 9．(2017·海南國興中學期末)函數(shù)y＝＋2的最小正周期是________． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)

21、的周期性 答案　 解析　∵函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期T＝π， ∴函數(shù)y＝＋2的最小正周期是. 10．若函數(shù)f(x)的定義域為R，最小正周期為，且滿足f(x)＝則f＝________. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　 解析　f＝f ＝f＝sin ＝. 11．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，則f(99)＝________. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　 解析　因為f(x)·f(x＋2)＝13， 所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝

22、f(x)， 所以f(x)是以4為周期的函數(shù)． 所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝. 三、解答題 12．判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性 解　(1)顯然x∈R，f(x)＝cos x， ∵f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)． (2)由得－1

23、g(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數(shù)． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z. ∵定義域不關(guān)于原點對稱， ∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)． 13．已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，且當x∈時，f(x)＝1－sin x，求當x∈時，f(x)的解析式． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 解　當x∈時，3π－x∈， ∵當x∈時，f(x)＝1－sin x， ∴f(3π－

24、x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又∵f(x)是以π為周期的偶函數(shù)， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， ∴f(x)的解析式為f(x)＝1－sin x，x∈. 四、探究與拓展 14．若函數(shù)f(x)＝2cos的最小正周期為T，且T∈(1,4)，則正整數(shù)ω的最大值為________． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 答案　6 解析　∵T＝，1＜＜4，ω>0，則＜ω＜2π. ∴正整數(shù)ω的最大值為6. 15．欲使函數(shù)y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在閉區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50個最小值，求ω的最小值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 解　函數(shù)y＝Asin ωx的最小正周期為，因為在每一個周期內(nèi)，函數(shù)y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一個最小值，要使函數(shù)y＝Asin ωx在閉區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50個最小值，則y在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少含49個周期， 即解得ω≥， 所以ω的最小值為.