15、)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且＝3，則||＝________.
解析：過點(diǎn)P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由拋物線的定義知|PF|＝|PP1|，
所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[多維例析]
角度一 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題
已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e<.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為8，面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)P(
16、x0，y0)為橢圓C上一點(diǎn)，直線l的方程為3x0x＋4y0y－12＝0，求證：直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
[解] (1)依題意，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，
由題設(shè)條件知，4a＝8，a＝2，
2××2c×b＝2，b2＋c2＝a2＝4，
所以b＝，c＝1或b＝1，c＝(經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去)，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明：當(dāng)y0＝0時(shí)，由＋＝1，
可得x0＝±2，
當(dāng)x0＝2，y0＝0時(shí)，直線l的方程為x＝2，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(2,0)．
當(dāng)x0＝－2，y0＝0時(shí)，直線l的方程為x＝－2，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)(－2,
17、0)．
當(dāng)y0≠0時(shí)，直線l的方程為y＝，
聯(lián)立
消去y，得(4y＋3x)x2－24x0x＋48－16y＝0.①
由點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C上一點(diǎn)，得＋＝1，
可得4y＋3x＝12.
于是方程①可以化簡為x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，
將x＝x0代入方程y＝可得y＝y(tǒng)0，故直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(x0，y0)，
綜上，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為P(x0，y0)．
[類題通法]
直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的解題策略
判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判
18、別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.并且解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧．
角度二 弦長及面積問題
(2018·蘭州檢測)已知橢圓K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的半焦距為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求K的方程；
(2)過F2的直線l交K于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，連接OM并延長交K于點(diǎn)C，若四邊形OACB的面積S滿足：a2＝S，求直線l的斜率．
[解] (1)由題意得解得
故橢圓K的方程為＋y2＝1.
(2)由于直線l的傾斜角不可為零，
所以設(shè)直線l的方程為my＝x－1，
與＋y2＝
19、1聯(lián)立并化簡可得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
可得y0＝－，x0＝my0＋1＝.
設(shè)C(x，y)，又＝λ (λ>0)，
所以x＝λx0，y＝λy0.因?yàn)镃在K上，
故λ2＝1?m2＋2＝λ2.①
設(shè)h1為點(diǎn)O到直線l的距離，h2為點(diǎn)C到直線l的距離，則＝＝?h2＝(λ－1)h1.
又由點(diǎn)到直線的距離公式得，h1＝＝.
而|AB|＝·
＝＝，
所以S＝|AB|(h1＋h2)＝·＝.
由題意知，S＝＝，所以＝?λ＝.
將λ＝代入①式得m＝±1，
所以直線l的斜率為±1.
20、
[類題通法] 弦長問題的解題策略
(1)在涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．
(2)弦長計(jì)算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|＝·＝ ·，其中k為弦AB所在直線的斜率．
角度三 弦的中點(diǎn)問題
已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．
[解] 由題
21、意可知F，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R.
(1)證明：記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上，所以ab＋1＝0，
記直線AR的斜率為k1，直線FQ的斜率為k2，
所以k1＝，k2＝＝－b，
又因?yàn)閍b＋1＝0，
所以k1＝＝＝＝＝－b，
所以k1＝k2，即AR∥FQ.
(2)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，
所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|×，
又S△PQF＝，
所以由題意可得S△PQF＝2S△ABF，
即＝2××|a－b|×，
解得x1＝0(舍去)或x1＝1.
22、
設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
又＝，所以y2＝x－1(x≠1)．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，所以所求軌跡方程為y2＝x－1.
[類題通法] 弦中點(diǎn)及弦問題的解題策略
(1)對(duì)于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件Δ>0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交．
(2)圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是k＝－，k＝，k＝(拋物線y2＝2px)．其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦的端點(diǎn)
23、坐標(biāo)．
[綜合訓(xùn)練]
1．(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使得PB2⊥QB2，求直線l的方程．
解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)．
因?yàn)椤鰽B1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，
所以∠B1AB2＝90°，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
由c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2
24、，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|
＝·b＝b2.
由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，所以a2＝5b2＝20.
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2，代入橢圓方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)， ＝(x2－2，y2)，
所
25、以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
2.(2018·惠州調(diào)研)如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)A且斜率為的直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N
26、兩點(diǎn)(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)因?yàn)锽F1⊥x軸，所以點(diǎn)B，
所以解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)因?yàn)椋剑剑溅?＝(λ>2)，所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，設(shè)直線MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立化簡得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
則x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1＋1)， ＝(x2，y2＋1)，
則x1＝－x2，即＝－，
所以＝＋2＋
＝－＋2－＝－，
即＝.
因?yàn)閗>，所以＝∈(1,4)，
則1<<4且λ>2?4<λ<4＋2.
綜上所
27、述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(4,4＋2)．
重難增分
圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)的綜合問題
[典例細(xì)解]
(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
[解析] 當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，
要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
當(dāng)m＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，
要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝12
28、0°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
[答案] A
[啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的對(duì)稱性，求解本題時(shí)，要注意橢圓的長軸所在的坐標(biāo)軸，題目中只說A，B為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，并未說明橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸，因此，需要根據(jù)m與3的大小關(guān)系，討論橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸．
(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為( )
A. B．2
C．2 D．3
[解析] 法一：依題意，得直線FM的傾斜角為60°
29、，
則|MN|－|MF|cos 60°＝2，
由拋物線的定義，得|MN|＝|MF|＝4.
又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，
所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×＝2.
法二：由題意，得F(1,0)，
則直線FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x軸的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，
所以點(diǎn)M到直線NF的距離為4×＝2.
[答案] C
[啟思維] 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方
30、程及其幾何性質(zhì)．涉及拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的有關(guān)問題，應(yīng)充分利用拋物線的定義求解．本題中直線的傾斜角為特殊角60°，通過解三角形更快捷．
(2016·全國卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)．
設(shè)E(0，m)，
由PF∥OE，
得＝，
則|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
則|MF|＝.②
31、
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝.
[答案] A
[啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解決本題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
[綜合訓(xùn)練]
1．(2018·福州模擬)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M，N在E上，MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，線段F2M交E于點(diǎn)Q，且＝，則E的離心率為( )
A. B.
C．2 D.
解析：選B 設(shè)雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，∵M(jìn)N∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，
∴|MN|＝c，不妨設(shè)M.
∵
32、＝，∴Q是線段F2M的中點(diǎn)，∴Q.
把M，Q分別代入E的方程－＝1(a>0，b>0)，
可得∴＝15，∴e＝.
2．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為( )
A. B.
C. D.
解析：選D 拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－，
因?yàn)辄c(diǎn)A(－2,3)在準(zhǔn)線上，
所以－＝－2，即p＝4，
從而C：y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)．
設(shè)切線方程為y－3＝k(x＋2)，
代入y2＝8x，消去x，
化簡得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由Δ＝1－4××(2k
33、＋3)＝0，得k＝－2或k＝，
因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k＝.
將k＝代入①中得y＝8，
再將y＝8代入y2＝8x中，得x＝8，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8)，
所以直線BF的斜率為＝.
3.(2018·石家莊模擬)如圖，兩個(gè)橢圓的方程分別為＋＝1(a>b>0)和＋＝1(a>b>0，m>1)，從大橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別向小橢圓引切線AC，BD，若AC，BD的斜率之積恒為－，則大橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 易知大橢圓和小橢圓的離心率相等．大橢圓的方程為＋＝1，則A(ma,0)，B(0，mb)，設(shè)切線AC的方程為y＝k1(x－ma)，
聯(lián)立
34、消去y，得(a2k＋b2)x2－2mka3x＋m2ka4－a2b2＝0，
由Δ＝(－2mka3)2－4(ka2＋b2)(m2ka4－a2b2)＝0，
化簡得ka2－m2ka2＋b2＝0?k＝·，
設(shè)直線BD的斜率為k2，
同理可得k＝(m2－1)，
∴kk＝··(m2－1)＝＝2，
∴＝，∴e＝ ＝.[專題跟蹤檢測](對(duì)應(yīng)配套卷P193)
一、全練保分考法——保大分
1．直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，
35、b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選 B.
2．(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為( )
A. B.
C．2 D.
解析：選C 依題意，設(shè)雙曲線的漸近線y＝x的傾斜角為θ，則有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，雙曲線C的離心率e＝ ＝2.
3．(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為(
36、)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
解析：選B 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)是(2,0)，即雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，則c＝2，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
4．(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：選B 分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A
37、′，B′，Q，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因?yàn)閨MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°.
5．(2018·南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為( )
A. B.
C．1 D.
解析：選B 如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線
38、的實(shí)半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化簡得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，∴＋＝4，
又＋≥2＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.
6．(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙
39、曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝( )
A．1 B．2
C．4 D.
解析：選A 不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.
7．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝________.
解析：拋物線C：
40、y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，因?yàn)殡x心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6.
答案：6
8．(2018·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是________．
解析：設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，
因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(－4,1)，
所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.
易知直線AB的斜率k＝＝1.
由兩式相減得，
41、＋＝0，
所以＝－·，所以＝，
于是橢圓的離心率e＝＝＝.
答案：
9．(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．
解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點(diǎn)F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立
解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2
42、心率的取值范圍是(1,2)．
答案：(1,2)
10．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若△BF1F2的周長為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為 B.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線x＝m于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值．
解：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，
則2a＋2c＝6.①
直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0，
所以＝b，即2c＝a.②
又a2＝b2＋c2，③
43、
所以由①②③可得a＝2，b＝，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，
則直線A1P的方程為y＝(x＋2)，
所以M.
又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y＝3.
若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，則A2M⊥A2P，
即·＝0，
所以·(x0－2，y0)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(x0－2)＝0.
又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x0≠±2，
所以m－＝0，解得m＝14.
11．(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，＝
44、 .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形AOBM的面積．
解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲線E的方程為x2＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)．
由題意知，直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，
代入曲線E的方程，得(k
45、2＋2)x2＋2kx－1＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，
解得k2＝2.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
又原點(diǎn)到直線AB的距離d＝＝，
所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝.
12．(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：＋＝1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點(diǎn)O到直線n的距離為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足＋ －2 ＝0，求直線l
46、的方程．
解：(1)∵橢圓E的短軸長為2，∴b＝1.
依題意設(shè)直線n的方程為－y＝1，
由＝，解得a＝，
故橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，顯然不符合題意．
當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時(shí)，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty＋，
由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，①
∵＋ －2＝0，
∴x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2，
又點(diǎn)C在橢圓E上，
∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1，
又＋y＝1，＋y＝1，
∴x1x2＋y1y2＝0，②
47、
將x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，
即t＝1或t＝－1.
故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0.
二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分
1．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )
A. B．2
C. D.
解析：選C 法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，
則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1
48、PO與Rt△F2PO中，
根據(jù)余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形．因?yàn)閨F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.
2．(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M
49、在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：選D 由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3
50、值為( )
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：選B 由＝2知G是線段AB的中點(diǎn)，
∴＝(＋)，
∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.
由A，B是動(dòng)直線l與拋物線C：x2＝4y的交點(diǎn)，
不妨設(shè)A，B，
∴－4·＝－4
＝－4 ＝16－42≤16，
∴(－)2－42的最大值為16.
4．(2018·合肥檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝3|FB|.直線l1，l2分別過點(diǎn)A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N(M，N分別在點(diǎn)A，B的右側(cè))，分別作∠ABN和∠BAM的角平分線并相交于
51、點(diǎn)P，則△PAB的面積為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因?yàn)閽佄锞€方程為y2＝4x，所以其焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方，過點(diǎn)B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因?yàn)閨AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以xA－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因?yàn)锳P，BP分別為∠BAM與∠ABN的角平分線，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝
52、×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y＝－(x－1)，聯(lián)立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝.
5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．
解析：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則c
53、＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝a2＋－5.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴雙曲線的離心率e＝≥＝＋1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是[＋1，＋∞)．
答案：[＋1，＋∞)
6．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P為等腰三角形，則雙曲
54、線C的離心率為________．
解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R，
因?yàn)镻，R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|OP|＝|OR|，
又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ，
故四邊形F1RF2P為矩形．
設(shè)|PF1|＝m，由雙曲線的定義，得|PF2|＝m－2a.
法一：因?yàn)椤鱍F1P為等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m，
連接QF2，則|QF2|＝m＋2a.
在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°，
由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化簡得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即雙曲線的離心率為.
法二：因?yàn)椤鱍F1P為等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，連接QF2，
則在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a，
|RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a，
由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，
化簡得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即雙曲線的離心率為.
答案：
（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理（重點(diǎn)生含解析）
