《（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題七 空間幾何體的三視圖、表面積及體積講義 理（普通生含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題七 空間幾何體的三視圖、表面積及體積講義 理（普通生含解析）（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題七 空間幾何體的三視圖、表面積及體積講義 理（普通生，含解析）全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題T7圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的計算T16三視圖與數(shù)學(xué)文化T3與外接球有關(guān)的空間幾何體體積的最值問題T102017空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計算T7空間幾何體的三視圖及組合體體積的計算T4球的內(nèi)接圓柱、圓柱的體積的計算T82016有關(guān)球的三視圖及表面積的計算T6空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算T6空間幾何體的三視圖及表面積的計算T9與直三棱柱有關(guān)的球體積的最值問題T10
2、(1)“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面位置關(guān)系(特別是平行與垂直)(2)考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第48題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第1016題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考查 保分考點練后講評1.下列三視圖所對應(yīng)的直觀圖是()解析：選C由三視圖知，幾何體的直觀圖下部是長方體，上部是圓柱，并且高相等，所以C選項符合題意2.如圖是一個空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)
3、視圖為()解析：選A由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.3.(2018全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：選A由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.解題方略1識別三視圖的步驟(1)應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚或根據(jù)幾何體的具體形狀，明確幾何體的擺放位置(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖(
4、3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線2由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置(3)確定幾何體的直觀圖形狀3由幾何體的部分視圖判斷剩余的視圖的思路先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合 幾何體的表面積與體積 增分考點講練沖關(guān)典例(1)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EFAB.若此幾何體中，AB4，E
5、F2，ADE和BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為()A8B88C62 D862(2)(2017全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42D36(3)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，點D為側(cè)棱BB1上的動點當(dāng)ADDC1最小時，三棱錐DABC1的體積為_解析(1)如圖所示，取BC的中點P，連接PF，則PFBC，過F作FQAB，垂足為Q.因為ADE和BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EFAB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P
6、，則BQ(ABEF)1，F(xiàn)Q，所以S梯形EFBAS梯形EFCD(24)3，又SADESBCF2，S矩形ABCD428，所以該幾何體的表面積S322888.故選B.(2)法一：(分割法)由題意知，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V132436；上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積V232627.所以該組合體的體積VV1V2362763.法二：(補形法)由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補上一個與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個圓柱，該圓柱的底面半徑為3，高為10414，該圓柱的體積V1
7、3214126.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即VV163.(3)將平面AA1B1B沿著B1B旋轉(zhuǎn)到與平面CC1B1B在同一平面上(點B在線段AC上)，連接AC1與B1B相交于點D，此時ADDC1最小，BDCC11.因為在直三棱柱中，BCAB，BCBB1，且BB1ABB，所以BC平面AA1B1B，又CC1平面AA1B1B，所以V三棱錐DABC1V三棱錐C1ABDV三棱錐CABDSABDBC112.答案(1)B(2)B(3)解題方略1求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，
8、通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積2求空間幾何體體積的常用方法公式法直接根據(jù)常見柱、錐、臺等規(guī)則幾何體的體積公式計算等積法根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等割補法把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體多練強化1(2018全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12 B12C8 D10解析：選B設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x28，得x2，S圓柱表
9、2S底S側(cè)2()22212.故選B.2(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是()A13 B14C15 D16解析：選C所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的幾何體，在長方體中還原該幾何體如圖中ABCDABCD所示，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V42323215.3如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，點P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為_解析：由題意，得V三棱錐PABA1V三棱錐CABA1V三棱錐A1ABCSABCAA1323.答案：
10、 析母題典例在三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱錐PABC的外接球的體積為()A.B.C27D27解析在三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC. PAPB，PAPC，PCPB.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐PABC的外接球正方體的體對角線長為3，其外接球半徑R.因此三棱錐PABC的外接球的體積V3.答案B練子題1在本例條件下，求三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為_解析：由本例解析知，SPABSPBCSPAC，SABC33sin 60.設(shè)三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為r，則
11、VPABCAPSPBC(SPACSPBASPBCSABC)r，3r，解得r，所求三棱錐內(nèi)切球的半徑為.答案：2若本例變?yōu)椋阂阎狝，B，C，D是球O上不共面的四點，且ABBCAD1，BDAC，BCAD，則球O的體積為_解析：因為ABBC1，AC，所以AB2BC2AC2，所以BCAB，又BCAD，ADABA，所以BC平面ABD.因為ABAD1，BD，所以AB2AD2BD2，所以ABAD，此時可將點A，B，C，D看成棱長為1的正方體上的四個頂點，球O為正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，故2R，所以R，則球O的體積VR3.答案：解題方略1空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的
12、半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系(2)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(3)補成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體2與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論(1)長方體的外接球：球心：體對角線的交點；半徑：r(a，b，c為長方體的長、寬、高)(2)正方體的外接球、內(nèi)切球外接球：球心是正方體中心，半徑ra(a為正方體的棱長)；內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑r(a為正方體的棱長)多練強化1(2018福州質(zhì)檢)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面積為，一個側(cè)面的周長為6，則正三
13、棱柱ABCA1B1C1外接球的表面積為()A4 B8C16 D32解析：選C如圖所示，設(shè)底面邊長為a，則底面面積為a2，所以a.又一個側(cè)面的周長為6，所以AA12.設(shè)E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設(shè)DE的中點為O，則點O即為正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE，A1E1.在RtOEA1中，OA12，即外接球的半徑R2，所以外接球的表面積S4R216.2(2019屆高三武昌調(diào)研)已知底面半徑為1，高為的圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為()A. B4C. D12解析：選C如圖，ABC為圓錐的軸截面，O為其外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為
14、R，連接OB，OA，并延長AO交BC于點D，則ADBC，由題意知，AOBOR，BD1，AD，則在 RtBOD中，有R2(R)212，解得R，所以外接球O的表面積S4R2，故選C.3(2018全國卷)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為()A12 B18C24 D54解析：選B由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.4.(2017
15、江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.答案：直觀想象三視圖中相關(guān)問題的求解典例已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A24 B42C.4 D.8解析由三視圖可知，該幾何體的直觀圖為左側(cè)半球、中間正方體、右側(cè)圓錐的組合體其中，半球的半徑r1與圓錐的底面半徑r2相等，皆為1，即r1r21，正方體的棱長a2，圓錐的高h2.所以半球的體積V1r13，正方體的體積V2a3238，圓錐
16、的體積V3rh122.所以該組合體的體積VV1V2V388.故選D.答案D素養(yǎng)通路本題以組合體的三視圖為背景，主要是根據(jù)幾何體的三視圖及三視圖中的數(shù)據(jù)，求幾何體的體積或側(cè)(表)面積此類問題難點：一是根據(jù)三視圖的形狀特征確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征；二是將三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的幾何度量考查了直觀想象這一核心素養(yǎng) 一、選擇題1如圖所示是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：選D先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項B和D中的一個正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項D正確2設(shè)一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A100B.C. D.解析：選
17、D因為切面圓的半徑r4，球心到切面的距離d3，所以球的半徑R5，故球的體積VR353，即該西瓜的體積為.3(2019屆高三開封高三定位考試)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A4 B2C. D解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為，由tan ，得，故底面面積為22，則該幾何體的體積為32.4九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A2 B42C44 D46解析：選C由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABCA1B1C1
18、，其直觀圖如圖所示，其中ABAA12，BCAC，C90，側(cè)面為三個矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S(22)244.5(2018惠州二調(diào))如圖，某幾何體的三視圖是三個全等的等腰直角三角形，且直角邊長都等于1，則該幾何體的外接球的體積為()A.B.C3 D.解析：選B還原幾何體為如圖所示的三棱錐ABCD，將其放入棱長為1的正方體中，如圖所示，則三棱錐ABCD外接球的半徑R，該幾何體的外接球的體積VR3，故選B.6已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是()A. cm3 B. cm3C2 cm3 D4 cm3解析：選B由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且
19、邊長為2 cm，高為2 cm的四棱錐，如圖，故V222(cm3)7如圖，已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為()A. B8C16 D64解析：選C由題知EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為EAB的重心G，又由平面EAB平面ABCD，則OGA為直角三角形，OG1，AG，所以R24，所以多面體EABCD的外接球的表面積為4R216.8(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成一
20、個“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個簡單的組合體)的體積為()A63 B72C79 D99解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為3253363.9(2019屆高三武漢調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A28 B242C204 D202解析：選B根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可知該幾何體是一個底面是梯形的四棱柱根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長為2，下底長為3，高為2，所以該幾何體的表面積S (23)222223222242，故選B.10.如圖是一個幾何體的三視
21、圖，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，側(cè)視圖是直角邊長分別為1和的直角三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為()A. B.C. D.解析：選B由三視圖可知該幾何體為半個圓錐，圓錐的母線長l2，底面半徑r1，高h.由半圓錐的直觀圖可得，當(dāng)三棱錐的底面是斜邊，為半圓直徑，高為半徑的等腰直角三角形，棱錐的高為半圓錐的高時，其內(nèi)接三棱錐的體積達到最大值，最大體積為V21，故選B.11(2019屆高三貴陽摸底考試)某實心幾何體是用棱長為1 cm的正方體無縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A50 cm2 B61 cm2C84 cm2 D86 cm2解析
22、：選D根據(jù)題意可知該幾何體由3個長方體(最下面長方體的長、寬、高分別為5 cm,5 cm, 1 cm；中間長方體的長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm；最上面長方體的長、寬、高分別為1 cm,1 cm,1 cm)疊合而成，長、寬、高分別為5 cm,5 cm,1 cm的長方體的表面積為2(555151)23570(cm2)；長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm的長方體的表面積為2(333131)21530(cm2)；長、寬、高分別為1 cm，1 cm,1 cm的長方體的表面積為2(111111)236(cm2)由于幾何體的疊加而減少的面積為2(33)2(11)21020(cm2)
23、，所以所求表面積為703062086(cm2)12在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，P在線段BD1上，且，M為線段B1C1上的動點，則三棱錐MPBC的體積為()A1 B.C. D與M點的位置有關(guān)解析：選B，點P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的，即為1.M為線段B1C1上的點，SMBC33，VMPBCVPMBC1.13(2018洛陽尖子生第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A2 B1C. D.解析：選C由題圖可知該幾何體是一個四棱錐，如圖所示，其中PD平面ABCD，底面ABCD是一個對角線長為2的正方形，底面積S 222，高h1，則該幾何
24、體的體積VSh，故選C.14(2018武漢調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選D由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2,1,1的長方體中，截去一個三棱柱AA1D1BB1C1和一個三棱錐CBC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐DABC1D1，四棱錐DABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D122，高h，其體積VS四邊形ABC1D1h2.15(2019屆高三安徽知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A1 B.C. D.解析：選C法一：該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐SABCD，SD平面ABCD，且SD1，四邊形AB
25、CD是平行四邊形，且ABDC1，連接BD，由題意知BDDC，BDAB，且BD1，所以S四邊形ABCD1，所以VSABCDS四邊形ABCDSD.法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以VSh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h1，所以VSh.16(2018福州質(zhì)檢)已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面積為9，則球O的表面積為()A10 B25C50 D100解析：選D設(shè)球O的半徑為R，由平面ABC截球O所得截面的面積為9，得ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接
26、圓的圓心為D，因為ABBC，所以點D為AC的中點，所以DC3.因為PA平面ABC，易證PBBC，所以PC為球O的直徑又PA8，所以O(shè)DPA4，所以ROC5，所以球O的表面積為S4R2100.二、填空題17一個四棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則該四棱錐的體積是_解析：由四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的直觀圖如圖中四棱錐PABCD所示，底面ABCD為邊長為1的正方形，PAD是邊長為1的等邊三角形，作POAD于點O，則O為AD的中點，所以四棱錐的體積為V11.答案：18.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點若AA14，AB2，則四棱錐BACC1D的體積為_解析：取AC
27、的中點O，連接BO(圖略)，則BOAC，所以BO平面ACC1D.因為AB2，所以BO.因為D為棱AA1的中點，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱錐BACC1D的體積為62.答案：219.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是_解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為，則r4cos ，圓柱的高為8sin .所以圓柱的側(cè)面積為32sin 2.當(dāng)且僅當(dāng)時，sin 21，圓柱的側(cè)面積最大，所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32.答案：3220(2018沈陽質(zhì)檢)已知在正四棱錐SABCD中，SA6，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為_解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為a，高為h，因為在正四棱錐SABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱錐的體積VSABCDa2h72hh3，令y72hh3，則y722h2，令y0，得0h6，令y6，所以當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為6.答案：6
（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題七 空間幾何體的三視圖、表面積及體積講義 理（普通生含解析）
