（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案

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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案 [考情考向分析]　1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點． 熱點一　三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角關(guān)系式 1．三角函數(shù)：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan

2、α. 3．誘導公式：在＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”． 例1　(1)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2，1)，則tan等于(　　) A．－7 B．－ C. D．7 答案　A 解析　由角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝， ∴tan＝＝＝－7. (2)已知曲線f(x)＝x3－2x2－x在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為α，則cos2－2cos2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值為(　　) A. B．－ C.

3、 D．－ 答案　A 解析　由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1， ∴tan α＝f′(1)＝－2， cos2－2cos2α－3sincos ＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α ＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α ＝ ＝ ＝＝. 思維升華　(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應(yīng)用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān)． (2)應(yīng)用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化

4、異為同、化高為低、化繁為簡等． 跟蹤演練1　(1)在平面直角坐標系中，若角α的終邊經(jīng)過點P，則sin(π＋α)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由誘導公式可得， sin＝sin＝－sin＝－， cos＝cos＝cos＝， 即P， 由三角函數(shù)的定義可得，sin α＝＝， 則sin＝－sin α＝－. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin，則等于(　　) A. B. C. D．－ 答案　D 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 則＝ ＝＝＝－. 熱點二　三角函數(shù)的

5、圖象及應(yīng)用 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 (1)“五點法”作圖： 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得． (2)圖象變換： (先平移后伸縮)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． (先伸縮后平移)y＝sin x y＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．

6、向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 答案　A 解析　由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x. 把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin，所以只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)＝cos 2x的圖象，故選A. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為[－1,2]，則θ＝________. 答案　 解析　函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如題圖所示， 則

7、A＝2，＝－＝，解得T＝π， 所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)， 當x＝π，f?＝2sin＝2， ∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－π＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，解得φ＝－， 所以f(x)＝2sin， 因為函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象， 所以g(x)＝2sin＝2cos 2x， 若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域為[－1,2]， 則2cos 2θ＝－1，則θ＝kπ＋，k∈Z或θ＝kπ＋，k∈Z， 所以θ＝. 思維升華　(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低

8、點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向． 跟蹤演練2　(1)若將函數(shù)y＝cos ωx(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合，則ω的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　將函數(shù)y＝cos ωx(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y＝cos ω ＝

9、cos. ∵平移后得到的函數(shù)圖象與函數(shù)y＝sin ωx的圖象重合， ∴－＝2kπ－(k∈Z)，即ω＝－6k＋(k∈Z)． ∴當k＝0時，ω＝. (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝________；函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點為________． 答案　2　 解析　從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個最高點和最低點的橫坐標分別為，－，從而求得函數(shù)的最小正周期為T＝2＝π，根據(jù)T＝可求得ω＝2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，結(jié)合所給的區(qū)間，整理得出x＝. 熱點三　三角函數(shù)的性質(zhì) 1．

10、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈

11、Z)時為奇函數(shù)． 例3　(2017·浙江)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f?的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由sin＝，cos＝－，得 f?＝2－2－2××＝2. (2)由cos 2x＝cos2x－sin2x與sin 2x＝2sin xcos x得， f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得， ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 思維升華　函

12、數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題． 跟蹤演練3　(2018·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋1－2sin2 x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值． 解　(1)因為f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期為π. (2)因為－≤x≤， 所以－≤2x＋≤.

13、 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值； 當2x＋＝－，即x＝－時， f?＝sin＋cos＝－， 即f(x)的最小值為－. 真題體驗 1．(2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x＋sin 2x，則f(x)的最小值是________． 答案?。? 解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1) ＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)． ∵cos x＋1≥0， ∴當－1≤cos x<時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當0，f(x)單調(diào)遞增，

14、∴當cos x＝時，f(x)有最小值． 又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)， ∴當sin x＝－時，f(x)有最小值， 即f(x)min＝2××＝－. 2．(2018·全國Ⅱ改編 )若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是________． 答案　 解析　f(x)＝cos x－sin x ＝－ ＝－sin， 當x∈，即x－∈時， y＝sin單調(diào)遞增， f(x)＝－sin單調(diào)遞減． ∵函數(shù)f(x)在[－a，a]上是減函數(shù)， ∴[－a，a]?， ∴0

15、)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)________．(填序號) ①在區(qū)間上單調(diào)遞增； ②在區(qū)間上單調(diào)遞減； ③在區(qū)間上單調(diào)遞增； ④在區(qū)間上單調(diào)遞減． 答案?、? 解析　函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度后的解析式為y＝sin＝sin 2x，則函數(shù)y＝sin 2x的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，一個單調(diào)遞減區(qū)間為.由此可判斷①正確． 4．(2018·全國Ⅲ)函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數(shù)為______． 答案　3 解析　由題意可知，當3x＋＝kπ＋(k∈Z)時， f(x)＝cos＝0. ∵x∈[0，π]， ∴3x＋∈， ∴當3x＋的取

16、值為，，時，f(x)＝0， 即函數(shù)f(x)＝cos在[0，π]上的零點個數(shù)為3. 押題預測 1．已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 押題依據(jù)　本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應(yīng)熟練掌握圖象平移規(guī)則，防止出錯． 答案　A 解析　由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則其最小正周期T＝π， 所以ω＝＝2，即f(x)

17、＝sin，g(x)＝cos 2x. 把g(x)＝cos 2x變形得g(x)＝sin＝sin，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個單位長度即可．故選A. 2.如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) 與坐標軸的三個交點P，Q，R滿足P(2,0)，∠PQR＝，M為QR的中點，PM＝2，則A的值為(　　) A. B. C．8 D．16 押題依據(jù)　由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點，本題結(jié)合平面幾何知識求A，考查數(shù)形結(jié)合思想． 答案　B 解析　由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． 則M，由兩點間距離公式，得 PM＝＝2， 解得a1＝8，

18、a2＝－4(舍去)， 由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝， 由P(2,0)得φ＝－， 代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)， 得f(x)＝Asin， 從而f(0)＝Asin＝－8， 得A＝. 3．已知函數(shù)f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. (1)若x是某三角形的一個內(nèi)角，且f(x)＝－，求角x的大小； (2)當x∈時，求f(x)的最小值及取得最小值時x的值． 押題依據(jù)　三角函數(shù)解答題的第(1)問的常見形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式．

19、第(2)問的常見形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式． 解　(1)∵f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝ ＝cos， ∴f(x)＝cos＝－， 可得cos＝－. 由題意可得x∈(0，π)， ∴2x＋∈， 可得2x＋＝或， ∴x＝或. (2)∵x∈，∴2x＋∈， ∴cos∈， ∴f(x)＝cos∈[－，1]． ∴f(x)的最小值為－，此時2x＋＝π， 即x＝. A組

20、　專題通關(guān) 1．函數(shù)y＝sin x(cos x－sin x)，x∈R的值域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　y＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－ ＝－＋sin∈， 故選D. 2．(2018·浙江金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R，ω>0)與g(x)＝cos(2x＋φ)的對稱軸完全相同．為了得到h(x)＝cos的圖象，只需將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 答案　A 解析　由ωx＋＝＋k1π，k1∈Z得函數(shù)f(x)的對稱軸為x

21、＝＋，k1∈Z，由2x＋φ＝k2π，k2∈Z得函數(shù)g(x)的對稱軸為x＝－＋，k2∈Z.因為兩函數(shù)的對稱軸完全相同，所以解得則f(x)＝sin，h(x)＝cos，將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為y＝sin＝sin＝cos，故選A. 3.(2018·浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則φ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由題圖易得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝2，解得ω＝2，則f(x)＝Asin(2x＋φ)，又因為當x＝時，f(x)取得最大值，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得

22、φ＝－＋2kπ，k∈Z，又因為|φ|<，所以φ＝－，故選B. 4．(2018·浙江教育綠色評價聯(lián)盟適應(yīng)性考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2x＋acos x＋b在上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，且與b無關(guān) C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，且與b有關(guān) 答案　B 解析　令t＝cos x，則g(t)＝－t2＋at＋b＋1(0≤t≤1)，由題意得，①當<0，即a<0時，g(0)為最大值，g(1)為最小值，此時M－m＝1－a；②當>1，即a>2時，g(0)為最小值，g(1)為最大值，此時M－m＝a－1; ③當≤≤1，即1≤a≤2時，M

23、取g，m取g(0)，此時M－m＝；④當0≤<，即0≤a<1時，M取g，m取g(1)，此時M－m＝＋1－a.綜上所述，M－m與a有關(guān)，但與b無關(guān)，故選B. 5．函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)的最大值為1 B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f?的一個零點為x＝－ D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減 答案　D 解析　因為f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin的相鄰的對稱軸之間的距離為， 所以＝π，得ω＝2，即f(x)＝2sin， 所以f(x)的最大值為2，所以A錯誤； 當x＝時，2x

24、＋＝π，所以f?＝0， 所以x＝不是函數(shù)圖象的對稱軸，所以B錯誤； 由f?＝2sin ＝－2sin， 當x＝－時，f?＝2≠0， 所以x＝－不是函數(shù)的一個零點，所以C錯誤； 當x∈時，2x＋∈，f(x)單調(diào)遞減，所以D正確． 6．(2018·浙江省金華十校模擬)在平面直角坐標系中，角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(－，－1)，則tan α＝________，cos α＋sin＝________. 答案　　0 解析　∵角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P(－，－1)， ∴x＝－，y＝－1， ∴tan α＝＝， cos

25、 α＋sin＝cos α－cos α＝0. 7．已知tan α＝2，則＝________. 答案　 解析　∵tan 2α＝＝－， ∴＝ ＝＝＝. 8．(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴當cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. 9．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x－π)＝f(x)－sin x，當－π

26、 x， ∴f(x)＝f(x－π)＋sin x， 則f(x＋π)＝f(x)＋sin(x＋π)＝f(x)－sin x. ∴f(x＋π)＝f(x－π)，即f(x＋2π)＝f(x)． ∴函數(shù)f(x)的周期為2π， ∴f?＝f?＝f? ＝f?＋sin. ∵當－π

27、實數(shù)b的取值范圍． 解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)， f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b ＝sin＋＋b. (1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱， ∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝3k＋1(k∈Z)， ∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f(x)＝sin＋＋b， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b， ∵x∈，∴2x＋∈，

28、 ∴當2x＋∈，即x∈時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當2x＋∈，即x∈時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 又f(0)＝f?， ∴當f?>0≥f?或f?＝0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點， 即sin≤－b－

29、 θ＝，cos θ＝， ∵∠AOC＝α，BC＝1，∴θ＋α＝， 則α＝－θ， 則cos2－sin cos －＝cos α－sin α ＝cos＝cos＝sin θ＝. 12．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π，若f(x)>2對任意x∈恒成立，則φ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π，所以函數(shù)的周期為T＝π，ω＝2， 當x∈時，2x＋φ∈， 且|φ|≤， 由f(x)>2知，sin(2x＋φ)>， 所以解得

30、≤φ≤. 13．已知2sin αtan α＝3，且0<α<π. (1)求α的值； (2)求函數(shù)f(x)＝4cos xcos(x－α)在的值域． 解　(1)由已知得2sin2α＝3cos α， 則2cos2α＋3cos α－2＝0， 所以cos α＝或cos α＝－2(舍)， 又因為0<α<π，所以α＝. (2)由(1)得f(x)＝4cos xcos ＝4cos x ＝2cos2x＋2sin xcos x ＝1＋cos 2x＋sin 2x ＝1＋2sin， 由0≤x≤，得≤2x＋≤， 所以當x＝0時，f(x)取得最小值f(0)＝2， 當x＝時，f(x)取得最大值f＝

31、3， 所以函數(shù)f(x)在上的值域為[2,3]． 14．已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設(shè)g(x)＝f?且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)∵x∈， ∴2x＋∈. ∴sin∈， ∴－2asin∈[－2a，a]． ∴f(x)∈[b,3a＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1， 因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得f(x)＝－4sin－1， ∴g(x)＝f?＝－4sin－1 ＝4sin－1. 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin－1>1， ∴sin>， ∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即kπ