2022年高中物理教科版必修2教學案：第三章 第2節(jié) 萬有引力定律(含解析)

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1、2022年高中物理教科版必修2教學案：第三章 第2節(jié) 萬有引力定律(含解析) 1．牛頓認為所有物體之間存在萬有引力，太陽與行星間的引力使得行星繞太陽運動。 2．任何兩個物體間都存在相互作用的引力，引力的大小與這兩個物體的質量的乘積成正比，與這兩個物體之間的距離的平方成反比。 3．萬有引力定律公式F＝G，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2。r指兩個質點之間的距離；對于質量分布均勻的球體，指的是兩個球心之間的距離。 4．在不考慮地球自轉的情況下，在地球表面上的物體所受的重力近似等于地球對物體的萬有引力，mg＝G。即：GM＝gR2。

2、一、與引力有關現象的思考 1．牛頓的思考 蘋果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直線運動而是繞地球做圓周運動，表明月球受到方向指向地心的向心力作用。 2．思考的結論 (1)月球必定受到地球對它的引力作用。 (2)蘋果落地中蘋果與月球在運動中受到的都是地球對它們的引力。 (3)行星圍繞太陽運動的向心力由太陽對行星的引力提供。 二、太陽與行星間引力的推導 1．模型簡化：行星以太陽為圓心做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運動的向心力。 2．推導過程： (1)太陽對行星的引力 ?F∝ (2)行星對太陽的引力 根據牛頓第三定律，行星對太陽的引力F′的大小也

3、存在與上述關系類似的結果，即F′∝。 (3)太陽與行星間的引力 由于F∝、F′∝，且F＝F′，則有F∝，寫成等式F＝G，式中G為比例系數。 三、萬有引力定律 1．內容 任何兩個物體之間都存在相互作用的引力，引力的大小與這兩個物體的質量的乘積成正比，與這兩個物體之間的距離的平方成反比。 2．公式 F＝G。 3．引力常量 (1)數值：英國物理學家卡文迪許較準確地得出了G的數值，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，是一個與物質種類無關的普適常量。 (2)物理意義：引力常量在數值上等于兩個質量為1 kg的質點相距1 m時的吸引力。 1．自主思考——判一判 (1)月球

4、繞地球做勻速圓周運動是因為月球受力平衡。(×) (2)行星繞太陽的運動不需要力的作用。(×) (3)勻速圓周運動的規(guī)律同樣適用于行星運動。(√) (4)太陽與行星間作用力的公式F＝G也適用于行星與它的衛(wèi)星之間。(√) (5)萬有引力定律適用于兩個質點間的相互作用力的計算。(√) (6)萬有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間。(√) 2．合作探究——議一議 (1)蘋果由于受地球的吸引力落向地面，月球受地球的引力作用，為何不落向地面？ 提示：月球受地球的引力作用，而這種作用恰好提供月球繞地球做圓周運動的向心力，故月球能維持這種運動而不落向地面。 (2)把行星的運動看作是

5、勻速圓周運動，是否違背客觀事實？ 提示：由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運動的軌跡的兩個焦點靠得很近，行星的運動軌跡非常接近圓，為了降低分析問題的難度，可以把行星的運動理想化為勻速的圓周運動。 (3)萬有引力定律告訴我們，任何兩個物體都是相互吸引的，但為什么通常的兩個物體間感受不到萬有引力？兩個質量都為100 kg的大胖子相距1 m時，它們間萬有引力多大？ 提示：萬有引力太小；F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－7 N。 對萬有引力定律的理解 1．公式的適用條件：嚴格說F＝G只適用于計算兩個質點間的萬有引力，但對于下述幾種情況，也可用該公式計算。 (

6、1)兩質量分布均勻的球體間的萬有引力，可用公式計算，此時r是兩個球體球心的距離。 (2)一個質量分布均勻球體與球外一個質點間的萬有引力，可用公式計算，r為球心到質點間的距離。 (3)兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，公式也適用。 2．萬有引力的特性 特點 內容 普遍性 萬有引力是普遍存在于宇宙中任何有質量的物體(大到天體小到微觀粒子)間的相互吸引力，它是自然界中物體間的基本相互作用之一 相互性 兩個物體相互作用的引力是一對作用力與反作用力，符合牛頓第三定律 宏觀性 通常情況下，萬有引力非常小，只有在質量巨大的天體間或天體與物體間，它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世

7、界中，粒子的質量都非常小，粒子間的萬有引力可以忽略不計 特殊性 兩個物體間的萬有引力，只與它們本身的質量、它們之間的距離有關，和所在空間的性質無關，和周圍有無其他物體的存在無關 [典例]　一個質量為M的均質實心球，半徑為R。如果通過球心挖去一個直徑為R的小實心球，然后置于相距為d的地方，如圖3-2-1所示，試計算空心球與小實心球之間的萬有引力。 圖3-2-1 [思路點撥] (1)萬有引力定律只適用于計算質點間的引力大小。 (2)球體剩余部分對小實心球的萬有引力等于原球對小實心球的萬有引力減去挖去的球體對小實心球的萬有引力。 [解析]　假設把挖去的小實心球填補上，則大

8、、小實心球之間的萬有引力F＝G?、伲嵭那虻馁|量m＝ρ·π3＝ρ·πR3＝M?、?，由①②得F＝。填入的小實心球與挖去的小實心球之間的萬有引力F1＝G＝·。因此，空心球與小實心球之間的萬有引力F2＝F－F1＝－。 [答案]?。? 若在球心處挖去，重心還在球心，可以通過萬有引力定律公式直接求解，若不在球心處挖去，不能運用公式直接去計算剩余部分的引力，因為那是一個質量分布不均勻的球體。　　　　 1．(多選)對于萬有引力定律的表達式F＝G，下列說法中正確的是(　　) A．公式中G為引力常量，與兩個物體的質量無關 B．當r趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大 C．m1與m2受到的引力大小

9、總是相等的，方向相反，是一對平衡力 D．m1與m2受到的引力大小總是相等的，而與m1、m2是否相等無關 解析：選AD　公式中的G為比例系數，稱作引力常量，與兩個物體的質量無關，A對；當兩物體表面距離r越來越小，直至趨近于零時，物體不能再看作質點，表達式F＝G已不再適用于計算它們之間的萬有引力，B錯；m1與m2受到彼此的引力為作用力與反作用力，此二力總是大小相等、方向相反，與m1、m2是否相等無關，C錯，D對。 2．某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F。若此物體受到的引力減小為，則其距離地面的高度應為(R為地球半徑)(　　) A．R　　　　　　　　　 　B．2R C．4R D．

10、8R 解析：選A　根據萬有引力定律表達式得：F＝，其中r為物體到地球中心的距離。某物體在地球表面，受到地球的萬有引力為F，此時r＝R，若此物體受到的引力減小為，根據F＝得出此時物體到地球中心的距離r′＝2R，所以物體距離地面的高度應為R，A正確。 3.如圖3-2-2所示，一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對質點P的萬有引力變?yōu)?　　) 圖3-2-2 A. B. C. D. 解析：選C　利用填補法來分析此題，原來物體間的萬有引力為F，挖去半徑為的球的質量為原來球的質量的，其他條件不

11、變，故剩余部分對質點P的引力為F－＝F，選項C正確。 萬有引力與重力的關系 1．萬有引力與重力的關系 如圖3-2-3所示，設地球的質量為M，半徑為R，A處物體的質量為m，則物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，由萬有引力公式得F＝G。 圖3-2-3 圖中F1為物體隨地球自轉做圓周運動的向心力，F2就是物體的重力mg，故一般情況下mg

12、G。 (3)其他位置物體的重力大小介于以上兩式之間，且隨緯度的增加而增大。 3．重力、重力加速度與高度的關系 (1)在地球表面：mg＝G，g＝，g為常數。 (2)在距地面高h處：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小。 [典例]　一物體在地面受到的重力為160 N，將它放置在航天飛機中，當航天飛機以a＝的加速度隨火箭向上加速升空的過程中，某一時刻測得物體與航天飛機中的支持物的相互壓力為90 N，求此時航天飛機距地面的高度。(地球半徑取6.4×106 m，g表示重力加速度，取10 m/s2) [審題指導]　(1)題中g是地面處的重力加速度，航天飛機向上以的加速度做勻加

13、速直線運動。 (2)運動過程中，航天飛機所處位置的重力加速度是變化的。 [解析]　設物體離地面的距離為h，這時受到地球的萬有引力F＝G 在地球表面有G＝mg　① 在升至離地面h時，N－G＝ma　② 由①②式得＝ 則h＝R地?、? 由mg＝160 N，得m＝16 kg，N＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。 [答案]　1.92×104 km 萬有引力定律可以與牛頓第二定律、勻變速運動規(guī)律、運動的合成與分解等結合起來考查地球或其他星球上物體的運動，在這類問題中，重力加速度往往是解題的關鍵點?！　?

14、 　　 1．宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現象。若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為(　　) A．0　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　飛船受的萬有引力等于在該處所受的重力，即G＝mg，得g＝，選項B正確。 2．火星和地球質量的比值為P，火星和地球的半徑的比值為q，則火星表面處和地球表面處的重力加速度之比為(　　) A. B．Pq2 C. D．Pq 解析：選A　星體表面的重力加速度g＝∝，所以火星表面和地球表面的重力加速度之比為＝

15、·＝，A正確。 3．若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶。已知該行星質量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為(　　) A.R B.R C．2R D.R 解析：選C　平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝gt2，所以x＝v0 ，兩種情況下，拋出的速度相同，高度相同，所以＝，根據公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正確。 1．發(fā)現萬有引力定律和測出引力常量的科學家分別是(　　) A．牛頓、卡文迪許　　　 　B．伽利

16、略、卡文迪許 C．開普勒、牛頓 D．第谷、伽利略 解析：選A　牛頓根據行星的運動規(guī)律推導出了萬有引力定律，經過100多年后，由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置巧妙的測量出了兩個鐵球間的引力，從而第一次較為準確的得到萬有引力常量，故A正確，B、C、D錯誤。 2．設想把質量為m的物體(可視為質點)放到地球的中心，地球質量為M、半徑為R。則物體與地球間的萬有引力是(　　) A．零 B．無窮大 C. D．無法確定 解析：選A　把物體放到地球的中心時r＝0，此時萬有引力定律不再適用。由于地球關于球心對稱，所以吸引力相互抵消，整體而言，萬有引力為零。 3．在某次測定引力常量的實驗

17、中，兩金屬球的質量分別為m1和m2，球心間的距離為r，若測得兩金屬球間的萬有引力大小為F，則此次實驗得到的引力常量為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由萬有引力定律公式F＝G得G＝，所以B項正確。 4．假如地球自轉速度增大，關于物體所受的重力，下列說法正確的是(　　) A．放在赤道地面上物體的萬有引力變大 B．放在兩極地面上的物體的重力不變 C．放在赤道地面上物體的重力不變 D．放在兩極地面上物體的重力增加 解析：選B　地球自轉速度增大，物體受到的萬有引力不變，選項A錯誤；在兩極，物體受到的萬有引力等于其重力，則其重力不變，選項B正確，D錯誤；而對于放在

18、赤道地面上的物體，F萬＝G重＋mω2R，由于ω增大，則G重減小，選項C錯誤。 5．要使可視為質點的兩物體間萬有引力減小到原來的，可采取的方法是(　　) A．兩物體間距離保持不變，兩物體的質量均減為原來的 B．兩物體間距離保持不變，僅一個物體質量減為原來的 C．兩物體質量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼? D．兩物體質量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍 解析：選B　根據F＝G知，兩物體間距離保持不變，兩物體的質量均減為原來的，則萬有引力減小為原來的，故A錯誤；根據F＝G知，兩物體間距離保持不變，僅一個物體質量減為原來的，則萬有引力減小為原來的，故B正確；根據F＝G知，兩物體質量均不

19、變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼模瑒t萬有引力變?yōu)樵瓉淼?倍，故C錯誤；根據F＝G知，兩物體質量均不變，兩物體間的距離變?yōu)樵瓉淼?倍，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼模蔇錯誤。 6．甲、乙兩星球的平均密度相等，半徑之比是R甲∶R乙＝4∶1，則同一物體在這兩個星球表面受到的重力之比是(　　) A．1∶1 B．4∶1 C．1∶16 D．1∶64 解析：選B　由G＝mg得g甲∶g乙＝M甲R乙2∶M乙R甲2，而M＝ρ·πR3?？梢酝频肎甲∶G乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1，故選B。 7.兩個質量均為M的星體，其連線的垂直平分線為AB，O為兩星體連線的中點，如圖1所示，一質量為m的物體從O沿O

20、A方向運動，設A離O足夠遠，則物體在運動過程中受到兩個星球萬有引力的合力大小變化情況是(　　) 圖1 A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小 解析：選D　在O點兩星球對物體m的萬有引力大小相等、方向相反，合力為零；在離O很遠的A點，由于距離太大，星球對物體的萬有引力非常小，也可以近似認為等于零。由此可見，物體在運動過程中受到兩個星球萬有引力的合力先增大后減小，D正確。 8．(多選)如圖2所示，P、Q為質量均為m的兩個質點，分別置于地球表面上的不同緯度上，如果把地球看成一個均勻球體，P、Q兩質點隨地球自轉做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)

21、 圖2 A．P、Q受地球引力大小相等 B．P、Q做圓周運動的向心力大小相等 C．P、Q做圓周運動的角速度大小相等 D．P受地球引力大于Q所受地球引力 解析：選AC　計算均勻球體與質點間的萬有引力時，r為球心到質點的距離，因為P、Q到地球球心的距離相同，根據F＝G，P、Q受地球引力大小相等。P、Q隨地球自轉，角速度相同，但軌道半徑不同，根據F＝mrω2，P、Q做圓周運動的向心力大小不同。綜上所述，選項A、C正確。 9．兩大小相同的實心小鐵球緊靠在一起時，它們之間的萬有引力為F。若兩個半徑為實心小鐵球2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為(　　) A．2F B．

22、4F C．8F D．16F 解析：選D　小鐵球之間的引力F＝G＝G，大鐵球半徑是小鐵球2倍，對小鐵球有m＝ρV＝ρ，對大鐵球有M＝ρV′＝ρ＝8ρ＝8m，兩大鐵球間的萬有引力F′＝G＝G＝16G＝16F，故選D。 10．設地球自轉周期為T，質量為M，引力常量為G。假設地球可視為質量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時所受到的支持力之比為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　物體在南極地面所受的支持力等于萬有引力，F＝①， 在赤道處，F萬－F′＝F向，得F′＝F萬－F向，又F向＝mR，則F′＝－mR②， 由①、②式，可得，選項A正確。

23、 11．火星半徑是地球半徑的一半，火星質量約為地球質量的，那么地球表面質量為m的人受到地球的吸引力約為火星表面同質量的人受到火星引力的多少倍？ 解析：設火星半徑為R，質量為M，則地球半徑為2R，質量為9M。 在地球表面人受到的引力F＝G 在火星表面人受到的引力F′＝G； 所以＝，即同質量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。 答案：倍 12．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計) (1)求該星球表面附近的重力加速度g′的大小； (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為＝，求該星球的質量與地球質量之比。 解析：(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處，根據運動學公式可有 t＝。同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經過時間5t小球落回原處，則5t＝ 根據以上兩式，解得g′＝g＝2 m/s2。 (2)在天體表面時，物體的重力近似等于萬有引力，即 mg＝，所以M＝ 由此可得，＝·＝×＝。 答案：(1)2 m/s2　(2)1∶80