（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù)章末復習學案 新人教A版必修4

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1、（浙江專用版）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù)章末復習學案 新人教A版必修4 學習目標　1.理解任意角的三角函數(shù)的概念.2.掌握同角三角函數(shù)基本關系及誘導公式.3.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象.4.理解三角函數(shù)y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性質(zhì).5.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義，掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的變換． 1．任意角三角函數(shù)的定義 在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)； (2)x叫做α的

2、余弦，記作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正切，記作tan α，即tan α＝(x≠0)． 2．同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關系：tan α＝ . 3．誘導公式 六組誘導公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導公式．當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不改變；當k為奇數(shù)時，函數(shù)名改變，然后前面加一個把α視為銳角時原函數(shù)值的符號．記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限”． 4．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R {x|x∈R

3、且x≠ kπ＋，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 對稱性 對稱軸：x＝kπ＋(k∈Z)； 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z) 對稱軸：x＝kπ(k∈Z)； 對稱中心：(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)，無對稱軸 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 單調(diào)性 在(k∈Z) 上單調(diào)遞增；在(k∈Z) 上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在開區(qū)間(k∈Z) 上遞增 最值 在x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；在x

4、＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 在x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 無最值 類型一　三角函數(shù)的化簡與求值 例1　(2018·牌頭中學月考)已知f(α)＝. (1)化簡f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 考點　誘導公式的綜合應用 題點　綜合運用誘導公式求值 解　(1)f(α)＝＝－cos α. (2)∵cos＝－sin α＝， ∴sin α＝－. 又∵α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－＝－. ∴f(α)＝. (3)∵－＝－6×2π

5、＋， ∴f＝－cos ＝－cos ＝－cos＝－cos＝－. 反思與感悟　解決三角函數(shù)的化簡與求值問題一般先化簡再求值．在應用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意應用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟蹤訓練1　已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出來，并求其值． 考點　誘導公式的綜合應用 題點　綜合運用誘導公式求值 解　(1)由sin α＋cos α＝， 得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－，

6、 因為α是三角形的內(nèi)角，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝ ＝ ＝＝， 故得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－. (2)＝＝， 又tan α＝－， 所以＝＝－. 類型二　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例2　(2017·金華十校期末)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)y＝|f(x)|在上的最大值和最小值． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由圖象可知A＝1，＝＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)． 又點

7、在函數(shù)的圖象上， ∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)的解析式是f(x)＝sin. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1， ∴f(x)＝sin∈， ∴當2x＋＝，即x＝時， 函數(shù)y＝|f(x)|取得最大值1； 當2x＋＝0，即x＝－時， 函數(shù)y＝|f(x)|取得最小值0. 反思與感悟　研究y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)性、最值問題，把ωx＋φ看作一個整體來解決． 跟蹤訓練2　如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在區(qū)間上的圖象．為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y＝sin x(

8、x∈R)的圖象上所有的點(　　) A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變 B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變 D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　A 解析　由題圖知，A＝1，T＝－＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又圖象過點，由五點法知＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝sin.故將函數(shù)y＝sin x的圖象先向左平移個單

9、位長度后，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，可得函數(shù)y＝sin的圖象． 類型三　三角函數(shù)的最值或值域 命題角度1　可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k型 例3　求函數(shù)y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點　正弦函數(shù)的最大值與最小值 解　∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴－≤sin≤1. 當sin＝1，即x＝時，y取得最小值1. 當sin＝－，即x＝π時，y取得最大值4. ∴函數(shù)y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值為4，最小值為1. 反思與感悟　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域時要注意

10、角的取值范圍對函數(shù)式取值的影響． 跟蹤訓練3　函數(shù)f(x)＝3sin，x∈的值域為(　　) A. B. C. D. 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域 答案　B 解析　當x∈時，2x－∈， ∴sin∈， 故3sin∈， 即此時函數(shù)f(x)的值域是. 命題角度2　可化為sin x或cos x的二次函數(shù)型 例4　已知|x|≤，求函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin x的最小值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問題 解　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1

11、. 令t＝sin x，∵|x|≤，∴－≤sin x≤. 則y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴當t＝－，即x＝－時，f(x)有最小值，且最小值為－2＋＝. 反思與感悟　在換元時要立刻寫出新元的范圍，否則極易出錯． 跟蹤訓練4　(2017·全國Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是 ． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的綜合問題 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ＝－2＋1. ∵x∈，∴cos x∈[0,1]， ∴當cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. 類型四　數(shù)形結(jié)合思

12、想在三角函數(shù)中的應用 例5　如果關于x的方程sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0在x∈上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應用 題點　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應用 解　sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0， 即(sin x－2)(sin x－a)＝0. ∵sin x－2≠0，∴sin x＝a， 因此此題轉(zhuǎn)化為求在x∈上，sin x＝a有兩個實數(shù)根時a的取值范圍． 由y＝sin x，x∈與y＝a的圖象(圖略)知≤a<1. 故實數(shù)a的取值范圍是. 反思與感悟　數(shù)形結(jié)合思想貫穿了三角函數(shù)的始終，對于與方程解有關的問題以及在研究y

13、＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖象時，常利用數(shù)形結(jié)合思想． 跟蹤訓練5　設函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為 ． 考點　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應用 題點　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應用 答案　π 解析　記f(x)的最小正周期為T. 由題意知≥－＝，即T≥. 又f＝f＝－f，且－＝， 可作出示意圖如圖所示(一種情況)， ∴x1＝×＝， x2＝×＝， ∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π. 1．已知sin＝，則c

14、os等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考點　誘導公式的綜合應用 題點　綜合運用誘導公式求值 答案　D 解析　cos＝sin＝sin＝－sin＝－. 2．已知f(α)＝，則f的值為(　　) A. B．－ C．－ D. 考點　同名誘導公式(二、三、四)的綜合應用 題點　同名誘導公式(二、三、四)的綜合應用 答案　C 解析　∵f(α)＝＝＝－cos α， ∴f＝－cos＝－cos ＝－cos＝－cos＝－. 3．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)圖象的一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則滿足此條件的一個φ值為(　　) A. B. C. D. 考點　正弦函數(shù)、余弦

15、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題點　正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 答案　A 解析　令2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得x＝＋－(k∈Z)， 因為函數(shù)y＝sin(2x＋φ)圖象的一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，所以令<＋－<(k∈Z)，解得kπ－<φ

16、，函數(shù)的最小正周期為T＝2×＝π， 結(jié)合最小正周期公式有ω＝＝＝2. 令x＝－有ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又因為0<φ<， 令k＝0可得φ＝，函數(shù)的解析式為 f(x)＝2sin， 繪制函數(shù)g(x)＝2sin ωx＝2sin 2x的圖象如圖所示，觀察可得函數(shù)f(x)的圖象可以由g(x)＝2sin ωx的圖象向左平移至少個單位長度得到． 5．已知函數(shù)f(x)＝2sin＋a，a為常數(shù)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)若x∈時，f(x)的最小值為－2，求a的值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函

17、數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題點　正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 解　(1)f(x)＝2sin＋a， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (3)當x∈時，2x－∈， 所以當x＝0時，f(x)取得最小值， 即2sin＋a＝－2，故a＝－1. 三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復習的重點，在復習時，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描述函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌

18、握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想方法． 一、選擇題 1．已知角α的終邊上一點的坐標為，則角α的最小正值為(　　) A. B. C. D. 考點　任意角的三角函數(shù) 題點　任意角三角函數(shù)的定義 答案　D 解析　∵sin ＝，cos ＝－. ∴角α的終邊在第四象限， 且tan α＝＝－， ∴角α的最小正值為2π－＝. 2．把函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象的一條對稱軸方程為(　　) A．x＝0 B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　B 解析　把函數(shù)y＝sin

19、的圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象的解析式為y＝sin.由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，故選B. 3．若cos＝－，則sin(－5π＋α)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考點　誘導公式的綜合應用 題點　綜合運用誘導公式求值 答案　D 解析　因為cos＝－，所以sin α＝，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－，故選D. 4．函數(shù)y＝2cos x－1的最大值、最小值分別是(　　) A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值與最小值 題點　余弦函數(shù)的最大值與最小

20、值 答案　B 解析　∵－1≤cos x≤1，∴當cos x＝1時，函數(shù)取得最大值為2－1＝1，當cos x＝－1時，函數(shù)取得最小值為－2－1＝－3，故最大值、最小值分別為1，－3，故選B. 5．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的解析式為(　　) A．y＝sin 2x－2 B．y＝2cos 3x－1 C．y＝sin－1 D．y＝1－sin 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　D 解析　由題圖得＝－，∴T＝π＝， 又ω>0，∴ω＝2，∴y＝1＋sin(2x＋φ)， 當x＝時，0＝1＋sin， ∴2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)

21、， ∴φ＝2kπ－－＝2kπ－(k∈Z)． ∴y＝1＋sin＝1－sin ＝1－sin，故選D. 6．(2018·金華東陽中學檢測)已知θ∈，則等于(　　) A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ 考點　運用基本關系式求三角函數(shù)值 題點　運用基本關系式求三角函數(shù)值 答案　A 7．(2017·寧波期末)下列函數(shù)中，最小正周期為π，且圖象關于直線x＝對稱的是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 考點　求三角函數(shù)的解析式 題點　根據(jù)三角函數(shù)的圖

22、象求解析式 答案　B 解析　函數(shù)的最小正周期為π，則＝π，∴ω＝2， 據(jù)此可得選項AC錯誤； 考查選項BD： 當x＝時，sin＝sin＝1，滿足題意； 當x＝時，cos＝cos＝0，不滿足題意，故選B. 二、填空題 8．函數(shù)y＝2sin的最小正周期在內(nèi)，則正整數(shù)m的值是 ． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 答案　26,27,28 解析　∵T＝，又∵<<， ∴8π

23、…＋f(2 018)的值等于 ． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　2＋ 解析　由圖知A＝2，ω＝，φ＝0， ∴f(x)＝2sinx， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0. 又f(x)的周期為8， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2) ＝2sin ＋2sin ＝2＋. 10．已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，則·tan2(π－α)＝ . 考點　誘導公式的綜合應用 題點　綜合運用誘導公式化簡 答案　－ 解析　∵方程2x2－x－1＝0的根為－或1，

24、又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝， ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 11．給出下列命題： ①函數(shù)y＝cos是奇函數(shù)； ②若α，β是第一象限角且α<β，則tan α

25、an α＝tan β，不正確；③y＝2sin x在區(qū)間上的最小值是－2，最大值是2，不正確；④sin＝sin ＝－1，正確． 三、解答題 12．已知函數(shù)g(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向右平移個單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象．求： (1)函數(shù)f(x)在上的值域； (2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 解　(1)由圖知B＝＝1，A＝＝2，T＝2＝π， 所以ω＝2，所以g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1. 把代入，得2cos＋1＝－1， 即＋φ＝

26、π＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝2kπ＋(k∈Z)． 因為|φ|<，所以φ＝， 所以g(x)＝2cos＋1， 所以f(x)＝2cos＋1. 因為x∈，所以2x－∈， 所以f(x)∈[0,3]，即函數(shù)f(x)在上的值域為[0,3]． (2)因為f(x)＝2cos＋1， 所以2cos＋1≥2， 所以cos≥， 所以－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 所以kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以使f(x)≥2成立的x的取值范圍是. 13．已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并

27、求出取得最值時x的值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題點　余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 解　(1)因為f(x)＝cos，x∈R， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝π. 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)因為f(x)＝cos在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos ＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為，此時x＝；最小值為－1，此時x＝. 四、探究與拓展 14．將函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)在上為增函數(shù)，則ω的最大值為 ． 考點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點　三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案　2 15．已知函數(shù)y＝asin＋b在x∈上的值域為[－5,1]，求a，b的值． 考點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域 解　∵x∈， ∴2x＋∈，sin∈. ∴當a＞0時，解得 當a＜0時，解得 ∴a，b的取值分別是4，－3或－4，－1.