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1、2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學案 文
熱點題型
真題統(tǒng)計
命題規(guī)律
題型1：等差(比)數(shù)列的基本運算
2018全國卷ⅡT17；2018全國卷ⅢT17；2017全國卷ⅡT17
2016全國卷ⅠT17；2016全國卷ⅡT17；2016全國卷ⅢT17
2015全國卷ⅠT7；2014全國卷ⅡT5
1.高考以“一大”或“兩小”的命題形式出現(xiàn)，近三年以“一大”的形式出現(xiàn).
題型2：等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)
2015全國卷ⅡT5；2015全國卷ⅡT9
2.重點考查等差(比)數(shù)列的基本運算以及等差(比)數(shù)列的判定.
題型3：等
2、差(比)數(shù)列的判定與證明
2018全國卷ⅠT17；2017全國卷ⅠT17；2015全國卷ⅠT13
1．等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式
an＝a1＋(n－1)d；
Sn＝＝na1＋d.
2．等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
an＝a1qn－1(q≠0)；
Sn＝
■高考考法示例·
【例1】 (1)(2018·哈爾濱模擬)等比數(shù)列{an}中各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，且滿足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，則S4＝( )
A．9 B．15 C．18 D．30
(2)(2018·北京模擬)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a2＝2，S9＝9
3、，則a8＝________.
(1)D (2)0 [(1)由2S3＝8a1＋3a2得6a1＋a2－2a3＝0，
則有，解得
因此S4＝＝30.
(2)由題意知
解得d＝－，a1＝.
所以a8＝a1＋7d＝0.]
(3)(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通項公式；
②記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.
[解]?、僭O{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
②若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由S
4、m＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
[方法歸納] 等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路
(1)設基本量a1和公差d(公比q).
(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關于a1和d(q)的方程(組)，求出a1和d(q)后代入相應的公式計算.
(3)注意整體思想，如在與等比數(shù)列前n項和有關的計算中，兩式相除就是常用的計算方法，整體運算可以有效簡化運算.
■對點即時訓練·
1．(2018·合肥模擬)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋
5、S7的值是( )
A．20 B．36 C．24 D．72
C [由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故選C.]
2．(2018·邵陽模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5＝( )
A．29 B．31 C．33 D．36
B [設等比數(shù)列{an}的公比為q，
因為a2a3＝2a1，所以aq3＝2a1， ①
因為a4與2a7的等差中項為，
所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝，②
聯(lián)立①②可解得a1＝16，q＝，
所以S5＝＝31.]
題型2
6、等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)
■核心知識儲備·
1．若m，n，p，q，k∈N*，且m＋n＝p＋q＝2k，則在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq＝2ak，在等比數(shù)列中am·an＝ap·aq＝a.
2．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)．
3．若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù)，m≠0)，{a}，仍為等比數(shù)列．
4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk.
(2
7、)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d.
5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝.
■高考考法示例·
【例2】 (1)(2018·長春模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n＞3)，Sn＝100，則n等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
(2)(2018·福州五校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則的值為( )
A．2 B．4 C．±2 D．±4
(3)(2018·昆
8、明模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12＝( )
A．40 B．60 C．32 D．50
(1)D (2)A (3)B [(1)由Sn－Sn－3＝54得an－2＋an－1＋an＝54.
即3an－1＝54，所以an－1＝18.
所以Sn＝＝＝10n＝100.
因此n＝10.
(2)∵a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，∴a3a15＝12，a3＋a15＝7，∵{an}為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號，∴a9＞0，∴a9＝＝2，∴＝＝a9＝2.故選A.
(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3
9、，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故選B.]
[方法歸納] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應用策略
(1)項數(shù)是關鍵：解題時特別關注條件中項的下標即項數(shù)的關系，尋找項與項之間、多項之間的關系選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題.
(2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1＋an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。
■對點即時訓練·
1．(2018·武漢模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，
10、且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
B [由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a4a7＝9，
所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)
＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故選B.]
2．(2018·煙臺模擬)若{an}是等差數(shù)列，首項a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是( )
A．2 016 B．2 017 C．4 032
11、 D．4 033
C [因為a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝＞0，S4 033＝＝4 033a2 017＜0，所以使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C.]
題型3 等差(比)數(shù)列的判定與證明
■核心知識儲備·
1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法
(1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數(shù)；
(2)利用等差中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
2．證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法
(1)利用定義，證明(n
12、∈N*)為同一常數(shù)；
(2)利用等比中項性質(zhì)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)．
■高考考法示例·
【例3】 (2018·日照模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．
(2)設cn＝，求數(shù)列{cncn＋2}的前n項和Tn.
[思路點撥] (1)―→
(2)―→―→
[解] (1)證明：∵bn＋1－bn
＝－
＝－
＝－＝2，
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列．
又b1＝＝2，
∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴2n＝，解得an＝.
13、
(2)由(1)可得cn＝＝，
∴cncn＋2＝×＝2，
∴數(shù)列{cncn＋2}的前n項和為
Tn＝21－＋－＋－＋…＋－＋－
＝2
＝3－.
[方法歸納] 判斷或證明一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列時應注意的問題
(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法.
(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可.
(3)a\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.
(4)證明a，b，c成等差數(shù)列，只
14、需證明2b＝a＋c；證明a，b，c成等比數(shù)列，只需證明b2＝ac(abc≠0).
■對點即時訓練·
(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
[解] (1)由題意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝.
1．(2014·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等
15、比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
A [由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．]
2．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞 B．3盞
C．5盞 D．9盞
B [設塔的頂層的燈
16、數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故選B.]
3．(2015·全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]
4．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解] (1)設{an}
17、的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通項公式為an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以當n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16.
5．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．
[解] (1)設{an}的公比為q.由題設可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通項公式為an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．
2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學案 文
