（新課標）天津市2022年高考數學二輪復習 專題能力訓練8 利用導數解不等式及參數的取值范圍 理

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1、（新課標）天津市2022年高考數學二輪復習 專題能力訓練8 利用導數解不等式及參數的取值范圍 理 1.設f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區(qū)間; (2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數a的取值范圍. 2.(2018全國Ⅲ,理21)已知函數f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x. (1)若a=0,證明:當-10時,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的極大值點,求a. 3.已知函數f(x)=ax+xln x的圖象在x=e

2、(e為自然對數的底數)處的切線的斜率為3. (1)求實數a的值; (2)若f(x)≤kx2對任意x>0成立,求實數k的取值范圍; (3)當n>m>1(m,n∈N*)時,證明:. 4.設函數f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R. (1)討論f(x)的單調性; (2)確定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在區(qū)間(1,+∞)內恒成立(e=2.718…為自然對數的底數). 5.設函數f(x)=aln x,g(x)=x2. (1)記g'(x)為g(x)的導函數,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x

3、∈[1,e]內有解,求實數a的取值范圍; (2)若a=1,對任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值. 6.已知函數f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0. (1)設g(x)是f(x)的導函數,討論g(x)的單調性; (2)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解. 二、思維提升訓練 7.已知函數f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R). (1)

4、求函數f(x)的單調區(qū)間; (2)當a<0時,試討論是否存在x0∈,使得f(x0)=f. 專題能力訓練8　利用導數解不等式及參數的取值范圍 一、能力突破訓練 1.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a, 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞). 則g'(x)=-2a=, 當a≤0時,x∈(0,+∞)時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增; 當a>0時,x時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增,x時,函數g(x)單調遞減. 所以當a≤0時,g(x)的單調增區(qū)間為(0,+∞); 當a>0時,g(x)單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為 (2)由(1)知,

5、f'(1)=0. ①當a≤0時,f'(x)單調遞增,所以當x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減. 當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增. 所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意. ②當01,由(1)知f'(x)在區(qū)間內單調遞增, 可得當x∈(0,1)時,f'(x)<0,x時,f'(x)>0. 所以f(x)在區(qū)間(0,1)內單調遞減,在區(qū)間內單調遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意. ③當a=時,=1,f'(x)在區(qū)間(0,1)內單調遞增,在區(qū)間(1,+∞)內單調遞減, 所以當x∈(0,+∞)時,f'(x)≤0,f(x)

6、單調遞減,不合題意. ④當a>時,0<<1,當x時,f'(x)>0,f(x)單調遞增, 當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減, 所以f(x)在x=1處取極大值,合題意. 綜上可知,實數a的取值范圍為a> 2.解 (1)當a=0時,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-, 設函數g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,則g'(x)=, 當-10時,g'(x)>0.故當x>-1時,g(x)≥g(0)=0,且僅當x=0時,g(x)=0,從而f'(x)≥0,且僅當x=0時,f'(x)=0. 所以f(x)

7、在(-1,+∞)內單調遞增. 又f(0)=0,故當-10時,f(x)>0. (2)①若a≥0,由(1)知,當x>0時,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾. ②若a<0,設函數h(x)==ln(1+x)- 由于當|x|0,故h(x)與f(x)符號相同. 又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點當且僅當x=0是h(x)的極大值點. h'(x)= 若6a+1>0,則當00,故x=0不是h(x)的極大值點. 若6a

8、+1<0,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故當x∈(x1,0),且|x|0;當x∈(0,1)時,h'(x)<0. 所以x=0是h(x)的極大值點,從而x=0是f(x)的極大值點. 綜上,a=- 3.解 (1)∵f(x)=ax+xln x,∴f'(x)=a+ln x+1. 又f(x)的圖象在點x=e處的切線的斜率為3, ∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1. (2)由(1)知,f(x)=x+xln x, 若f(x)≤k

9、x2對任意x>0成立,則k對任意x>0成立. 令g(x)=,則問題轉化為求g(x)的最大值,g'(x)==- 令g'(x)=0,解得x=1. 當00, ∴g(x)在區(qū)間(0,1)內是增函數; 當x>1時,g'(x)<0, ∴g(x)在區(qū)間(1,+∞)內是減函數. 故g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1,∴k≥1即為所求. (3)證明:令h(x)=,則h'(x)= 由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0, ∴h(x)是區(qū)間(1,+∞)內的增函數. ∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即, ∴mnln n-nln n>mnln

10、m-mln m, 即mnln n+mln m>mnln m+nln n, ∴l(xiāng)n nmn+ln mm>ln mmn+ln nn. 整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n. ∴(mnn)m>(nmm)n, 4.解 (1)f'(x)=2ax-(x>0). 當a≤0時,f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減. 當a>0時,由f'(x)=0,有x= 此時,當x時,f'(x)<0,f(x)單調遞減; 當x時,f'(x)>0,f(x)單調遞增. (2)令g(x)=,s(x)=ex-1-x. 則s'(x)=ex-1-1. 而當x>1時,s'(x)>0, 所以s(x

11、)在區(qū)間(1,+∞)內單調遞增. 又由s(1)=0,有s(x)>0,從而當x>1時,g(x)>0. 當a≤0,x>1時,f(x)=a(x2-1)-ln x<0. 故當f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立時,必有a>0. 當01. 由(1)有f0, 所以此時f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內不恒成立. 當a時,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1). 當x>1時,h'(x)=2ax--e1-x>x->0. 因此,h(x)在區(qū)間(1,+∞)單調遞增. 又因為h(1)=0,所以當x>1時,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)

12、>g(x)恒成立. 綜上,a 5.解 (1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x), 即aln x+2x≤(a+3)x-x2, 化簡,得a(x-ln x)x2-x. 由x∈[1,e]知x-ln x>0, 因而a設y=, 則y'= ∵當x∈(1,e)時,x-1>0,x+1-ln x>0, ∴y'>0在x∈[1,e]時成立. 由不等式有解,可得a≥ymin=-, 即實數a的取值范圍是 (2)當a=1時,f(x)=ln x. 由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立

13、, 設t(x)=x2-xln x(x>0). 由題意知x1>x2>0,則當x∈(0,+∞)時函數t(x)單調遞增, ∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立. 因此,記h(x)=,得h'(x)= ∵函數在區(qū)間(0,1)上單調遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調遞減, ∴函數h(x)在x=1處取得極大值,并且這個極大值就是函數h(x)的最大值. 由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,結合已知條件m∈Z,m≤1,可得m=1. 6.(1)解 由已知,函數f(x)的定義域為(0,+∞), g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2, 所以g'(x)=2-

14、 當00,φ(e)=--2<0. 故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0. 令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1). 由u'(x)=1-0知,函數u(x)在區(qū)間(1,+∞)內單調遞增. 所以0==a0<<1. 即a0∈(0,1). 當a=a0時,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0. 由(1)知,f'(x)在區(qū)間(1,

15、+∞)內單調遞增, 故當x∈(1,x0)時,f'(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0; 當x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0. 所以,當x∈(1,+∞)時,f(x)≥0. 綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解. 二、思維提升訓練 7.解 (1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判別式為Δ=4-4a, ①當a≥1時,Δ≤0,則f'(x)≥0,此時f(x)在R上是增函數; ②當a<1時,方程x2+2x+a=0兩根分別為x1=-1-,x2=-1+,

16、解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+, 解不等式x2+2x+a<0,解得-1-0, 故方程4+14x0+7+12a=0的兩根為x1'=,x'2= 由x0>0,得x0=x'2=, 依題意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-