（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 規(guī)范答題示例7 解析幾何中的探索性問(wèn)題學(xué)案 文

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1、（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 規(guī)范答題示例7 解析幾何中的探索性問(wèn)題學(xué)案 文 典例7　(12分)已知定點(diǎn)C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，求直線AB的方程； (2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→ 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)， 將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2

2、＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.2分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，得＝－＝－，解得k＝±，適合①. 所以直線AB的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.4分 (2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使·為常數(shù). (ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)， 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝. ③ 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.7分 將③代入，整理得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.9分 注意到·是與k無(wú)

3、關(guān)的常數(shù)， 從而有6m＋14＝0，解得m＝－，此時(shí)·＝.10分 (ⅱ)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)m＝－時(shí)，也有·＝.11分 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使·為常數(shù).12分 第一步 先假定：假設(shè)結(jié)論成立. 第二步 再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解. 第三步 下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立則肯定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè). 第四步 再回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)(特殊情況、隱含條件等)，審視解題規(guī)范性. 評(píng)分細(xì)則　(1)不考慮直線AB斜率不存在的情況扣1分； (2)不驗(yàn)證Δ>0，扣1分； (3)直線AB方程寫成斜截式形式同樣給分；

4、 (4)沒(méi)有假設(shè)存在點(diǎn)M不扣分； (5)·沒(méi)有化簡(jiǎn)至最后結(jié)果扣1分，沒(méi)有最后結(jié)論扣1分． 跟蹤演練7　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋12＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A(－4,0)，過(guò)點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ分別交直線x＝于M，N兩點(diǎn)，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問(wèn)：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)由題意得　∴ 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋3， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M，N. 由 得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0， 且Δ＝(18m)2＋84(3m2＋4)>0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝. 由A，P，M三點(diǎn)共線可知，＝， ∴yM＝. 同理可得yN＝， ∴k1k2＝×＝ ＝ ∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7) ＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49 ∴k1k2＝＝－，為定值．