（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)

《（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí)（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形練習(xí) A組 1．若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，則tanθ等于( B ) A．－　　 B．　　 　 C．　 　 D．2 [解析]　由已知得sinθ＋cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，故選B． 2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( A ) A． B．－ C． D．－ [解析]　sin(α＋)－cosα ＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝. (理)已知α∈R，sinα＋2cos

2、α＝，則tan2α＝( C ) A． B． C．－ D．－ [解析]　本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系． 將sinα＋2cosα＝兩邊平方可得， sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝， ∴4sinαcosα＋3cos2α＝，∴＝. 將左邊分子分母同除以cos2α得， ＝，解得tanα＝3或tanα＝－， ∴tan2α＝＝－. 3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，則此三角形的形狀是( B ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 [解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝si

3、n2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0， ∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A為直角． 4．鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝( B ) A．5 B． C．2 D．1 [解析]　本題考查余弦定理及三角形的面積公式． ∵S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝， ∴sinB＝，∴B＝或. 當B＝時， 經(jīng)計算△ABC為等腰直角三角形，不符合題意，舍去． ∴B＝，根據(jù)余弦定理， b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故選B． 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

4、c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b(否則，若α＋β≤，則有0<β<α＋β≤，0

5、sin(α＋β)

6、小關(guān)系為B＝C.(填“BC”) [解析]　設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β， 因為∠BAD＋∠C＝90°，所以α＝90°－C，β＝90°－B， 因為D為BC的中點， 所以S△ABD＝S△ACD， 所以c·ADsinα＝b·ADsinβ， 所以csinα＝bsinβ，所以ccosC＝bcosB， 由正弦定理得，sinCcosC＝sinBcosB， 即sin2C＝sin2B，所以2B＝2C或2B＋2C＝π， 因為△ABC為銳角三角形，所以B＝C． 9．為了豎起一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60°， BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5

7、米，為了穩(wěn)定廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為2＋. [解析]　由題意設(shè)BC＝x(x>1)米， AC＝t(t>0)米，依題設(shè)AB＝AC－0.5 ＝(t－0.5)米， 在△ABC中，由余弦定理得： AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°， 即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化簡并整理得： t＝(x>1)， 即t＝x－1＋＋2， 因為x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋， 當且僅當x＝1＋時取等號，此時取最小值2＋. 10．(2018·全國卷Ⅰ，17)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2

8、)若DC＝2，求BC． [解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝. 由題設(shè)知，＝， 所以sin∠ADB＝. 由題意知，∠ADB＜90°， 所以cos∠ADB＝＝. (2)由題意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25. 所以BC＝5. 11．(文)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)． (1)求cosA的值； (2)求sin(2B－A)的值． [解析]　(1)由asinA＝4b

9、sinB及＝， 得a＝2b. 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理， 得cosA＝＝＝－. (2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB中， 得sinB＝＝. 由(1)知，A為鈍角，所以cosB＝＝. 于是sin2B＝2sinBcosB＝， cos2B＝1－2sin2B＝， 故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA ＝×(－)－×＝－. (理)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝. (1)求b和sinA的值； (2)求sin(2A＋)的值． [解析]　(1)在△ABC中，因

10、為a>b， 所以由sinB＝，得cosB＝. 由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13， 所以b＝. 由正弦定理＝， 得sinA＝a＝. 所以b的值為，sinA的值為. (2)由(1)及a

11、的重心，則＋＋＝0， ∴＝－－， ∵a＋b＋c·＝0， ∴a·(－－)＋b＋c·＝0. 即(b－a)·＋(c－a)·＝0， ∵與不共線， ∴b－a＝0，c－a＝0. 得abc＝111， 令a＝1，b＝1，c＝， 則cosC＝＝＝－， ∴C＝，故選D． 2．(2018·唐山市一模)若sin(－α)＝，則cos(＋2α)＝( A ) A．－ B． C．－ D． [解析]　∵cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－[1－2sin2(－α)]＝－(1－)＝－. 3．(2018·威海二模)已知等腰△ABC滿足AB＝AC，BC＝2AB，點D為BC邊上的一點

12、且AD＝BD，則sin∠ADB的值為( C ) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． [解析]　如圖，設(shè)AB＝AC＝a，AD＝BD＝b， 由BC＝2AB， 得BC＝a， 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠ABC＝ ＝ ＝. ∵AB＝AC， ∴∠ABC是銳角， 則sin∠ABC＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD， ∴b2＝a2＋b2－2·a·b·， 解得a＝b， 由正弦定理得，＝， ∴＝， 解得sin∠ADB＝. 4．鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(

13、B ) A．5 B． C．2 D．1 [解析]　∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝， ∴sinB＝， ∴B＝或. 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5， ∴AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1， ∴AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 5．設(shè)α∈，β∈，且tanα＝，則( C ) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ [解析]　因為

14、tanα＝＝， 去分母得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ， 所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα， 即sin(α－β)＝cosα＝sin. 又因為α∈，β∈， 則－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α 故2α－β＝. 6．已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，則cos(α＋β)的值為－. [解析]　因為tanα－tanβ＝－＝＝3，且α－β＝，所以cosαcosβ＝，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，所以sinαsinβ＝－，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－. 7．已知點O是△ABC的內(nèi)心，∠BAC

15、＝30°，BC＝1，則△BOC面積的最大值為. [解析]　根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，∠BOC＝105°， 所以在△BOC中，根據(jù)余弦定理有 cos105°＝＝， 等價于·OB·OC＝OB2＋OC2－1， 即·OB·OC≥2OB·OC－1， 所以O(shè)B·OC≤，而S△BOC＝·OB·OC·sin105°≤·sin105°·＝. 8．已知向量m＝與n＝(3，sinA＋cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角． (1)求角A的大小； (2)若BC＝2，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時△ABC的形狀． [解析]　(1)因為m∥n， 所以sinA·(sinA＋cosA)－

16、＝0. 所以＋sin2A－＝0， 即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1. 因為A∈(0，π)，所以2A－∈. 故2A－＝，A＝. (2)設(shè)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc. 而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(當且僅當b＝c時等號成立)， 所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝， 當△ABC的面積取最大值時，b＝c. 又A＝，故此時△ABC為等邊三角形． 9．(2018·天津卷，15)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos. (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2

17、，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． [解析]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝， 可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acos， 得asinB＝acos，即sinB＝cos， 所以sinB＝cosB＋sinB，可得tanB＝. 又因為B∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝. 由bsinA＝acos，可得sinA＝. 因為a