江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 考前回扣2 函數(shù)與導數(shù)學案

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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 考前回扣2 函數(shù)與導數(shù)學案 1．求函數(shù)的定義域，關鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏． 對抽象函數(shù)，只要對應法則相同，括號里整體的取值范圍就完全相同． [問題1]　函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是________________． 答案　(－1,1)∪(1，＋∞) 2．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應法則的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)． [問題2]　已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，那么a

2、的取值范圍是____________． 答案　 解析　要使函數(shù)f(x)的值域為R， 需使所以 所以－1≤a<. 3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調性法：適合于已知或能判斷單調性的函數(shù)． (2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)． (3)基本不等式法：特別適合于分式結構或兩元的函數(shù)． (4)導數(shù)法：適合于可導函數(shù)． (5)換元法(特別注意新元的范圍)． (6)分離常數(shù)法：適合于一次分式． [問題3]　函數(shù)y＝(x≥0)的值域為________． 答案　 解析　方法一　∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1， 解得≤y<1.∴其值域為y∈. 方法二　y＝1－，

3、∵x≥0，∴0<≤， ∴y∈. 4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． [問題4]　f(x)＝是________函數(shù)．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案　奇 解析　由得定義域為(－1,0)∪(0,1)， f(x)＝＝. ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)． 5．函數(shù)奇偶性的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反． (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函數(shù)f(x)的

4、定義域中含有0，則必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分又不必要條件． [問題5]　設f(x)＝lg是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)在定義域上單調遞________． 答案　增 解析　由題意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1， 故f(x)＝lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)， 在此定義域內f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)． 6．判斷函數(shù)單調性的常用方法 (1)能畫出圖象的，一般用數(shù)形結合法去觀察

5、． (2)由基本初等函數(shù)通過加減運算或復合而成的函數(shù)，常轉化為基本初等函數(shù)單調性判斷問題． (3)對于解析式較復雜的，一般用導數(shù)． (4)對于抽象函數(shù)，一般用定義法． [問題6]　函數(shù)y＝|log2|x－1||的遞增區(qū)間是________________． 答案　[0,1)，[2，＋∞) 解析　∵y＝ 作圖可知正確答案為[0,1)，[2，＋∞)． 7．有關函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，則f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2a. [問題7]　設f(x)是定義在R上的

6、周期為3的函數(shù)，當x∈[－2,1)時，f(x)＝則f?＝________. 答案?。? 8．函數(shù)圖象的幾種常見變換 (1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”． (2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)對稱變換：①證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上； ②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點成中心對稱； ③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于直線x＝0 (y軸)對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0(x軸)對稱． [問題8]

7、　函數(shù)y＝的對稱中心是________． 答案　(1,3) 9．如何求方程根的個數(shù)或范圍 求f(x)＝g(x)根的個數(shù)時，可在同一坐標系中作出函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象，看它們交點的個數(shù)；求方程根(函數(shù)零點)的范圍，可利用圖象觀察或零點存在性定理． [問題9]　已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________． 答案　 解析　先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示， 當直線g(x)＝kx與直線AB平行時，斜率為1，當直線g(x)＝kx過點A時，斜率為，故當f(x)＝g(x)

8、有兩個不相等的實根時，實數(shù)k的取值范圍是. 10．二次函數(shù)問題 (1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結合．二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系． (2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形． [問題10]　若關于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個正根，則a的取值范圍為________． 答案　 11．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 可從定義域、值域、單調性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關性質的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象恒過定點(0,1)，對數(shù)函數(shù)y＝lo

9、gax的圖象恒過定點(1,0)． [問題11]　設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則a，b，c的大小關系是________． 答案　a>b>c 12．函數(shù)與方程 (1)函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標． (2)y＝f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，那么f(x)在(a，b)內至少有一個零點，即至少存在一個x0∈(a，b)使f(x0)＝0.這個x0也就是方程f(x)＝0的根． (3)用二分法求函數(shù)零點． [問題12]　函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為________．

10、答案　1 13．利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的步驟 (1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域． (2)求導數(shù)y′＝f′(x)． (3)解方程f′(x)＝0在定義域內的所有實根． (4)將函數(shù)y＝f(x)的間斷點(即函數(shù)無定義點)的橫坐標和各個實數(shù)根按從小到大的順序排列起來，分成若干個小區(qū)間． (5)確定f′(x)在各個小區(qū)間內的符號，由此確定每個區(qū)間的單調性． 特別提醒：(1)多個單調區(qū)間不能用“∪”連接； (2)f(x)為減函數(shù)時，f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0. [問題13]　若函數(shù)f(x)＝x2－ln x＋1在其定義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調

11、函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是______________． 答案　 解析　因為f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x－， 由f′(x)＝0，得x＝. 利用圖象(圖略)可得 解得1≤k<. 14．導數(shù)為零的點并不一定是極值點，例如：函數(shù)f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點． [問題14]　函數(shù)f(x)＝x4－x3的極值點是________． 答案　x＝1 15．利用導數(shù)解決不等式問題的思想 (1)證明不等式f(x)

12、的最值． [問題15]　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為______． 答案　 解析　由題意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， 因為max＝， 所以2a≥，即a≥. 易錯點1　忽視函數(shù)的定義域 例1　函數(shù)y＝(x2－5x＋6)的單調增區(qū)間為__________． 易錯分析　忽視對函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x2－5x＋6>0. 解析　由x2－5x＋6>0，知x>3或x<2. 令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)， ∴y＝(x2－5x＋6)的單調增區(qū)間為

13、(－∞，2)． 答案　(－∞，2) 例2　已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)＋f(x2－3)<0，求x的取值范圍． 易錯分析　解函數(shù)有關的不等式，除考慮單調性、奇偶性，還要把定義域放在首位． 解　由得 故03－x2，即x2＋x－6>0， 解得x>2或x<－3. 綜上得2

14、_______． 易錯分析　只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對定義域的臨界點處函數(shù)值的要求． 解析　若函數(shù)在R上單調遞減， 則有解得a≤－； 若函數(shù)在R上單調遞增， 則有解得1

15、是函數(shù)惟一的零點，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個正根一個負根，即mf(0)<0，即m<0. 答案　(－∞，0]∪{1} 易錯點4　混淆“在點”和“過點”致誤 例5　已知曲線f(x)＝x3－3x，過點A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程． 易錯分析　“在點”處的切線，說明點在曲線上，且點是切點．“過點”的切線，說明切線經過點：當這個點不在曲線上時，一定不是切點；當這個點在曲線上時，也未必是切點． 解　設切點為M(x0，x－3x0)．因為點M在切線上，所以x－3x0＝(3x－3)x0＋16，

16、得x0＝－2， 所以切線方程為y＝9x＋16. 易錯點5　極值點條件不清 例6　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值，且極值為10，則a＋b＝________. 易錯分析　把f′(x0)＝0作為x0為極值點的充要條件，沒有對a，b值進行驗證，導致增解． 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數(shù)取得極值10，得 聯(lián)立①②，得或 當a＝4，b＝－11時， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 在x＝1兩側的符號相反，符合題意． 當a＝－3，b＝3時， f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側的符號相同， 所以a＝－3，

17、b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知，a＝4，b＝－11， 所以a＋b＝－7. 答案?。? 易錯點6　函數(shù)單調性與導數(shù)關系理解不準確 例7　若函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 易錯分析　誤認為f′(x)>0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f′(x)＝0的情況． 解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的導數(shù) f′(x)＝3ax2－2x＋1， 由f′(x)≥0，得 解得a≥. 答案　 1．函數(shù)f(x)＝log2(x2－6)的定義域為________________． 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 解析　

18、由題意得x2－6>0?x>或x<－，即定義域為(－∞，－)∪(，＋∞)． 2．若函數(shù)f(x)＝則滿足f(a)＝1的實數(shù)a的值為________． 答案?。? 解析　依題意，滿足f(a)＝1的實數(shù)a必不大于零，于是有由此解得a＝－1. 3．(2018·江蘇溧陽中學等三校聯(lián)考)若f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0,1)時，f(x)＝x2－8x＋30，則f()＝________. 答案?。?4 解析　由已知，得f()＝－f(－) ＝－f(4－)， 又f(4－)＝(4－)2－8(4－)＋30＝24， 故f()＝－24. 4．已知函數(shù)f(x)＝其中m>0，若函數(shù)y＝f(f(x))

19、－1有3個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　令f(f(x))＝1，得f(x)＝或f(x)＝m－1<0， 進一步，得x＝或x＝m－<0或x＝. 因為m>0，所以只要m<1，即00，且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_

20、_______________________________________________________________________． 答案　(0,1)∪(，＋∞) 解析　不等式logax－ln2x<4可化為－ln2x<4， 即<＋ln x對任意x∈(1,100)恒成立． 因為x∈(1,100)，所以ln x∈(0,2ln 10)，＋ln x≥4， 故<4，解得ln a<0或ln a>， 即0. 7．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調減區(qū)間為________． 答案　(－∞

21、，3] 解析　由導數(shù)的幾何意義可知，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即該函數(shù)的單調減區(qū)間是(－∞，3]． 8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集為______________． 答案　(－5,0)∪(5，＋∞) 解析　方法一　不等式f(x)>x的解集，即為函數(shù)y＝f(x)圖象在函數(shù)y＝x圖象上方部分x的取值范圍．因為函數(shù)f(x)和y＝x都是R上的奇函數(shù)，且方程f(x)＝x的根為±5,0，由圖象知，不等式f(x)>x的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)． 方法二　令x<0，則－x>0， 因為

22、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x. 要使f(x)>x，則或或 解得－55， 所以不等式f(x)>x的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)． 9．已知函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，當10恒成立，設a＝f?，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為__________． 答案　b

23、x1)](x2－x1)>0， 知y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)， 又f?＝f?，且2<<3， 所以f(2)

24、4＝0，得x1＝2，x2＝4. 且g(x)在[1,2]上單調遞增，在[2,4]上單調遞減，在[4，＋∞)上單調遞增， g(1)＝a＋16，g(2)＝a＋20，g(4)＝a＋16， 因為g(x)＝0有且僅有兩個根， 故g(1)＝g(4)＝a＋16＝0或g(2)＝a＋20＝0， 解得a＝－20或a＝－16. 11．已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值2. (1)求函數(shù)f(x)的表達式； (2)當m滿足什么條件時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)上單調遞增？ 解　(1)因為f′(x)＝， 而函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值2， 所以即解得 所以f(x)＝即為所求． (2)

25、由(1)知，f′(x)＝＝， 由f′(x)>0可知，－10且c≠1，k∈R)恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是x＝－c. (1)求函數(shù)f(x)的另一個極值點； (2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M－m≥1時k的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝ ＝， 由題意知f′(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，(*) ∵c≠0，∴k≠0.∴c－＝1. 由f′(x)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0， ∴另一個極值點為x＝c－，即x＝1. (2)由(*)式得k＝，即c＝1＋. 當c>1時，k>0；當00時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是減函數(shù)，在(－c,1)上是增函數(shù)， ∴M＝f(1)＝＝>0， m＝f(－c)＝＝<0， 由M－m＝＋≥1及k>0，解得k≥. ②當k<－2時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－c,1)上是減函數(shù)， ∴M＝f(－c)＝>0，m＝f(1)＝<0， M－m＝－＝1－≥1恒成立． 綜上可知，所求k的取值范圍為(－∞，－2)∪[，＋∞)．