江蘇省2022高考數(shù)學總復習優(yōu)編增分練：高考填空題分項練2平面向量

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1、江蘇省2022高考數(shù)學總復習優(yōu)編增分練：高考填空題分項練2平面向量 1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，則·＝________. 答案　－16 解析　畫圖(圖略)可知，向量與的夾角為∠C的補角， 故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16. 2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________． 答案　 解析　設向量a與b的夾角為θ， 由題意知(a＋b)·a＝0， ∴a2＋a·b＝0， ∴|a|2＋|a||b|cos θ＝0， ∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 3．設a

2、，b是兩個不共線的非零向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________. 答案?。? 解析　∵向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反， ∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4. (∵方向相反，∴λ<0?k<0) 4．已知向量a，b不共線，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________． 答案　3 解析　由題意得解得∴x－y＝3. 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a⊥(2a＋b)，則實數(shù)m的值為________． 答案?。?8 解析　方法一　因為a＝(1,2)，b＝(m,4)，

3、 所以2a＋b＝(m＋2,8)． 因為a⊥(2a＋b)， 所以a·(2a＋b)＝m＋2＋16＝0， 所以m＝－18. 方法二　因為a＝(1,2)，b＝(m,4)， 所以a2＝5，a·b＝m＋8. 因為a⊥(2a＋b)， 所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝10＋m＋8＝0， 所以m＝－18. 6．已知平面向量a，b滿足|a＋b|＝3，且a－2b與直線x＋2y－2＝0的方向向量垂直，若b＝(－2,3)，則a＝________. 答案　(－7,0)或 解析　由題意得直線x＋2y－2＝0的斜率k＝－， 因為a－2b與直線x＋2y－2＝0的方向向量垂直， 所以a－2b所在

4、直線的斜率與直線x＋2y－2＝0的斜率互為負倒數(shù)， 故可設a－2b＝(m,2m)(m≠0)， 從而a＝(m－4,2m＋6)，得a＋b＝(m－6,2m＋9)． 因為|a＋b|＝3， 所以(m－6)2＋(2m＋9)2＝90， 解得m＝－3或m＝－， 從而a＝(－7,0)或. 7.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，則·的值是________． 答案　9 解析　因為O為BD的中點，所以＋＝0， 所以·＝(＋)·(＋) ＝2＋·＝9＋·＝－7， 所以·＝－16. 所以·＝(＋)·(＋) ＝2＋·＝25－16＝9. 8．已知點

5、O在△ABC所在平面內(nèi)，且AB＝4，AO＝3，(＋)·＝0，(＋)·＝0，則·取得最大值時線段BC的長度是________． 答案　 解析　∵(＋)· ＝(＋)·(－) ＝||2－||2＝0， ∴||＝||＝3， 同理||＝||＝3， 則點O是△ABC的外心． 如圖，以O為坐標原點，平行于AB的直線為x軸，過點O且與AB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系， 則A(－2，－)，B(2，－)， 點C在以O為圓心，3為半徑的圓上， 設C(3cos θ，3sin θ)， 則·＝(4,0)·(3cos θ＋2,3sin θ＋) ＝12cos θ＋8， 當cos θ＝1，即

6、C(3,0)時，·取得最大值20， 此時BC＝. 9．在菱形ABCD中，邊長AB＝，對角線AC＝4，邊DC上(包括D，C點)一動點P與CB的延長線上(包括B點)一動點Q滿足DP＝BQ，則·的最小值是________． 答案　2 解析　方法一　連結(jié)BD交AC于點O， 因為邊長AB＝，對角線AC＝4， 所以BD＝2. 以O為坐標原點，AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy. 由題設可知，A(－2,0)，B(0，－1)，C(2,0)，D(0,1)． 設P(2t,1－t)，t∈[0,1]， 因為DP＝BQ，所以Q(－2t，－1－t)，0≤t≤1

7、. 所以·＝(－2－2t，t－1)·(－4t，－2) ＝8t2＋6t＋2＝82＋， 由二次函數(shù)的單調(diào)性可知， 當0≤t≤1時，y＝8t2＋6t＋2單調(diào)遞增， 所以當t＝0時，·取得最小值，且最小值為2. 方法二　因為邊長AB＝，對角線AC＝4， 所以BD＝2. 設向量＝＝a，＝＝b， 由余弦定理得cos〈a，b〉＝＝， 且a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝××＝3. 令＝λa(0≤λ≤1)， 則＝－(＋)＝－(b＋λa)， ＝＋＝(1－λ)a－(1＋λ)b， ·＝(b＋λa)·[(λ－1)a＋(1＋λ)b] ＝3(λ－1)＋5(1＋λ)＋5λ(λ－1)＋3λ

8、(1＋λ) ＝8λ2＋6λ＋2＝82＋， 由二次函數(shù)的單調(diào)性可知， 當0≤λ≤1時，y＝8λ2＋6λ＋2單調(diào)遞增， 所以當λ＝0時，·取得最小值，且最小值為2. 10．在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又＝t，則t的值為________． 答案　 解析　∵＝＋， ∴3＝2＋， 即2－2＝－， ∴2＝，即P為AB的一個三等分點，如圖所示． ∵A，M，Q三點共線， ∴＝x＋(1－x) ＝＋(x－1)， 而＝－，∴＝＋. 又＝－＝－＋， 由已知＝t，可得 ＋＝t， 又，不共線， ∴解得t＝. 11．已知向量a，b

9、滿足|a＋b|＝6，|a－b|＝4，則|a|·|b|的取值范圍是________． 答案　[5,13] 解析　方法一　由|a＋b|＝6，|a－b|＝4得， ①－②得，a·b＝5， 進而得|a|·|b|cos θ＝5(設向量a，b夾角為θ)， 則|a|·|b|≥5； ①＋②得，|a|2＋|b|2＝26， 進而得26＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|， 即|a|·|b|≤13. 綜上，|a|·|b|的取值范圍是[5,13]． 方法二　設a＋b＝2m，a－b＝2n， 則|m|＝3，|n|＝2，a＝m＋n，b＝m－n. 依題意有，(|a|·|b|)2＝|m＋n|2·|m

10、－n|2 ＝(m2＋n2＋2m·n)·(m2＋n2－2m·n) ＝(13＋2m·n)·(13－2m·n) ＝169－4(m·n)2， 而m·n的取值范圍是[－6,6]， 故(|a|·|b|)2∈[25,169]， 則|a|·|b|的取值范圍是[5,13]． 12．設向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a－tb|(t∈R)的最小值為________． 答案　 解析　∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1， ∴a2＋2a·b＋b2＝1?a·b＝－， ∴|a－tb|＝＝ ＝， ∴當t＝－時，|a－tb|min＝. 13．對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α和β之

11、間的新運算?：α?β＝.若非零的平面向量a，b滿足：a?b和b?a都在集合中，且|a|≥|b|，設a與b的夾角θ∈，則(a?b)sin θ＝________. 答案　 解析　由題意，設a?b＝＝cos θ＝(k1∈Z)， b?a＝cos θ＝(k2∈Z)， 兩式相乘，可得cos2θ＝. 因為θ∈， 于是