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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 高考提能 圓的第二定義——阿波羅斯圓學(xué)案
一、問題背景
蘇教版《數(shù)學(xué)必修2》P112第12題:
已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為,那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系?畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線.
二、阿波羅尼斯圓
公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中,曾研究了眾多的平面軌跡問題,其中有如下結(jié)果:
到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.
如圖,點(diǎn)A,B為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB.
則λ=1時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線;當(dāng)λ≠1時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓
2、,后世稱之為阿波羅尼斯圓.
證:設(shè)AB=2m(m>0),PA=λPB,以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-m,0),B(m,0).
又設(shè)P(x,y),則由PA=λPB得=λ,
兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2).
當(dāng)λ=1時(shí),x=0,軌跡為線段AB的垂直平分線;
當(dāng)λ>1時(shí),2+y2=,軌跡為以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓.
上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理.
三、阿波羅尼斯圓的性質(zhì)
1.滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比λ內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個(gè)分點(diǎn).
2.直線CM
3、平分∠ACB,直線CN平分∠ACB的外角.
3.=.
4.CM⊥CN.
5.當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)B在圓O內(nèi);
當(dāng)0<λ<1時(shí),點(diǎn)A在圓O內(nèi).
6.若AC,AD是切線,則CD與AO的交點(diǎn)即為B.
7.若過點(diǎn)B做圓O的不與CD重合的弦EF,則AB平分∠EAF.
四、范例欣賞
例1 設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a>0),求P點(diǎn)的軌跡.
解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
由=a(a>0),得=a.
化簡(jiǎn)得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.
當(dāng)a≠1時(shí),得x2+x+c2+
4、y2=0,整理得2+y2=2.
當(dāng)a=1時(shí),化簡(jiǎn)得x=0.
所以當(dāng)a≠1時(shí),P點(diǎn)的軌跡是以為圓心,
為半徑的圓;
當(dāng)a=1時(shí),P點(diǎn)的軌跡為y軸.
例2 如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(M,N分別為切點(diǎn)),使得PM=PN,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
解 以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
則O1(-2,0),O2(2,0),
由已知PM=PN,得PM2=2PN2,
因?yàn)閮蓤A的半徑均為1,
所以PO-1=2(PO-1),
設(shè)P(x,y),則(x+2)2+
5、y2-1=2[(x-2)2+y2-1].
即(x-6)2+y2=33,
所以所求軌跡方程為(x-6)2+y2=33.
例3 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
解 (1)聯(lián)立得圓心為C(3,2).
切線的斜率存在,設(shè)切線方程為y=kx+3.
d==r=1,
得k=0或k=-.
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由MA=2
6、MO,知
=2,
化簡(jiǎn)得x2+(y+1)2=4.
即點(diǎn)M的軌跡為以(0,-1)為圓心,2為半徑的圓,可記為圓D.
又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上,故圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切.
故1≤CD≤3,其中CD=.
解得0≤a≤.
例4 在x軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)?如果存在,求出點(diǎn)A,B坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
解 假設(shè)在x軸正半軸上存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù),設(shè)P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),其中x2>x1>0.
即=對(duì)滿足x2+y2=4的任何實(shí)數(shù)對(duì)(
7、x,y)恒成立,
整理得,2x(4x1-x2)+x-4x=3(x2+y2),將x2+y2=4代入得,
2x(4x1-x2)+x-4x=12,這個(gè)式子對(duì)任意x∈[-2,2]恒成立,
所以一定有因?yàn)閤2>x1>0,
所以解得x1=1,x2=4.
所以在x軸正半軸上存在兩個(gè)定點(diǎn)A(1,0),B(4,0),使得圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù).
五、跟蹤演練
1.滿足條件AB=2,AC=BC的△ABC的面積的最大值是________.
答案 2
解析 以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),
由AC=
8、BC,得=·.
平方化簡(jiǎn)整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8.
∴|y|≤2,則
S△ABC=×2|y|≤2,∴S△ABC的最大值是2.
2.在△ABC中,邊BC的中點(diǎn)為D,若AB=2,BC=AD,則△ABC的面積的最大值是________.
答案 4
解析 以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),
由BD=CD,BC=AD知,AD=BD,D的軌跡為阿波羅尼斯圓,方程為(x-3)2+y2=8,設(shè)C(x,y),
得D,所以點(diǎn)C的軌跡方程為2+2=8,即(x-5)2+y2=32.
所以S△ABC=×2|y|=|y|≤=4
9、,故S△ABC的最大值是4.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在點(diǎn)P,使得PA=PB,PC=PD,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案 [-2-1,2-1]
解析 設(shè)P(x,y),則=·,
整理得(x-5)2+y2=8,即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).
另一方面,由PC=PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y=a+1上運(yùn)動(dòng),因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y=a+1與圓(x-5)2+y2=8有交點(diǎn).
所以|a+1|≤2,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2-1,2-1].
4.如圖,在等腰△ABC中,已知AB
10、=AC,B(-1,0),AC邊的中點(diǎn)為D(2,0),則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積等于________.
答案 4π
解析 因?yàn)锳B=2AD,所以點(diǎn)A的軌跡是阿波羅尼斯圓,易知其方程為(x-3)2+y2=4(y≠0).
設(shè)C(x,y),由AC邊的中點(diǎn)為D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的軌跡方程為(4-x-3)2+(-y)2=4,即(x-1)2+y2=4(y≠0),所求的面積為4π.
5.如圖,已知平面α⊥平面β,A,B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得∠APD=∠BPC,
11、求△PAB的面積的最大值.
解 ∵DA⊥α,PA?α,
∴DA⊥PA,
∴在Rt△PAD中,tan∠APD==,
同理tan∠BPC==.
∵∠APD=∠BPC,
∴BP=2AP.
在平面α上以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-3,0),B(3,0),
設(shè)P(x,y),則有=2(y≠0).
化簡(jiǎn)得(x+5)2+y2=16,
∴y2=16-(x+5)2≤16.
∴|y|≤4.
△PAB的面積為S△PAB=|y|·AB=3|y|≤12,當(dāng)且僅當(dāng)x=-5,y=±4時(shí)取得等號(hào),則△PAB的面積的最大值是12.
6.已知⊙O:x2+y2
12、=1和點(diǎn)M(4,2).
(1)過點(diǎn)M向⊙O引切線l,求直線l的方程;
(2)求以點(diǎn)M為圓心,且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程;
(3)設(shè)P為(2)中⊙M上任一點(diǎn),過點(diǎn)P向⊙O引切線,切點(diǎn)為Q,試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R,使得為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 (1)直線l的斜率存在,
設(shè)切線l方程為y-2=k(x-4),
易得=1,解得k=.
∴切線l的方程為y-2=(x-4).
(2)圓心到直線y=2x-1的距離為,設(shè)圓的半徑為r,則r2=22+()2=9,
∴⊙M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9.
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R(a,b),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),相應(yīng)的定值為λ.
根據(jù)題意可得PQ=,
∴=λ,
即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2).(*)
又點(diǎn)P在圓M上,∴(x-4)2+(y-2)2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得
8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)],
若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等,則等式恒成立,
∴
解得a=2,b=1,λ=或a=,b=,λ=,
∴可以找到這樣的定點(diǎn)R,使得為定值,如點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),比值為,點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí),比值為.