《四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1
1.直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn),與拋物線交于A、B兩點(diǎn),O為原點(diǎn),則·的值為( ).
A.12 B.20 C.-12 D.-20
【解析】焦點(diǎn)為(2,0),設(shè)直線l方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0,
∴y1y2=-16,x1x2=·=(y1y2)2=4,
∴·=x1x2+y1y2=-12.
【答案】C
2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且
2、斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是( ).
A.2 B.4 C.4 D.8
【解析】由拋物線的定義知AF=AK,
又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.
聯(lián)立方程組
消去y得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=.由題意得A(3,2),
所以△AKF的邊長(zhǎng)為4,面積為×4×2=4.
【答案】C
3.已知AB是過(guò)拋物線2x2=y的焦點(diǎn)的弦,若|AB|=4,則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( ).
A.1 B.2 C. D.
【解析】如圖所示,設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),分別過(guò)A,P,B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分
3、別為A',Q,B',由題意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|==2,又|PQ|=y0+,∴y0+=2,∴y0=.
【答案】D
4.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是( ).
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
【解析】由題意知,拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2,點(diǎn)Q(-2,0),
設(shè)直線l:y=k(x+2),由
得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.
當(dāng)k=0時(shí),x=0,即直線l與拋物線的交點(diǎn)為(0,0),
當(dāng)k≠0時(shí),Δ≥0,-1≤k<0或0
4、是[-1,1].
【答案】C
5.線段AB是拋物線y2=x的一條焦點(diǎn)弦,且|AB|=4,則線段AB的中點(diǎn)C到直線x+=0的距離為 .?
【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
因?yàn)閨AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-=,
所以中點(diǎn)C(x0,y0)到直線x+=0的距離為x0+=+=+=.
【答案】
6.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B,若=,則p= .?
【解析】由題知準(zhǔn)線l為x=-(p>0),
過(guò)點(diǎn)M且斜率為的直線為y=(x-1),
則點(diǎn)A,
設(shè)B(x,y
5、),由=可知M為AB的中點(diǎn),
又M(1,0),
所以即
代入y2=2px,得p2+4p-12=0,
即p=2或p=-6(舍去).
【答案】2
7.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB.
(2)當(dāng)△OAB的面積為時(shí),求k的值.
【解析】(1)如圖所示,由消去x得ky2+y-k=0.
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2=-1,y1+y2=-.
∵A,B兩點(diǎn)均在拋物線y2=-x上,
∴=-x1,=-x2,
∴·=x1x2.
又∵kOA·kOB=·===-1,∴OA⊥OB.
(2)設(shè)直線
6、與x軸交于點(diǎn)N,顯然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|·|y1-y2|
=·1·
=.
=,
∴=,解得k=±.
拓展提升(水平二)
8.已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( ).
A.2 B.3 C. D.
【解析】設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).又點(diǎn)F,直線AB與x軸的交點(diǎn)M(m,0),不妨設(shè)y1>0,
由?y2-ty-m=
7、0,所以y1y2=-m,
又·=2,所以x1x2+y1y2=2?(y1y2)2+y1y2-2=0,
因?yàn)辄c(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2,故m=2,
所以S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,
當(dāng)且僅當(dāng)y1=?y1=時(shí)取“=”.
所以△ABO與△AFO面積之和的最小值是3.
【答案】B
9.已知拋物線y2=8x,點(diǎn)Q是圓C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一點(diǎn),記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線x=-2的距離為d,則|PQ|+d的最小值為( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】
由題意知,拋物線y2=8
8、x的焦點(diǎn)為F(2,0),連接PF(如圖),則d=|PF|.
將圓C化為(x+1)2+(y-4)2=4,圓心為C(-1,4),半徑為r=2,則|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF|≥|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)).
而|FQ|為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離,顯然當(dāng)F,Q,C三點(diǎn)共線時(shí),|FQ|取得最小值,
且為|CF|-r=-2=3,故選C.
【答案】C
10.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則|AB|的最大值為 .?
【解析】當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),|AB|=4;
當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí),設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x
9、2,y2),中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,t),則k===,
∴直線AB的方程為y-t=(x-2),
將y-t=(x-2)與y2=4x聯(lián)立,得y2-2ty+2t2-8=0,
∴y1+y2=2t,y1y2=2t2-8,
∴|AB|2=(y1-y2)2=-(t2-2)2+36≤36,
∴|AB|≤6,當(dāng)且僅當(dāng)t=±時(shí),等號(hào)成立.
綜上所述,|AB|max=6.
【答案】6
11.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn).
(1)若p=2,求線段AF的中點(diǎn)N的軌跡方程;
(2)若直線AB的斜率為2,當(dāng)焦點(diǎn)為F時(shí),求△OAB的面積;
(3)若M是拋
10、物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn),求證:直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.
【解析】(1)焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),N(x,y),
則由題意即
故所求的軌跡方程為4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.
(2) y2=2x,F,直線AB:y=2=2x-1,
由得y2-y-1=0,
|AB|=|y1-y2|=,
設(shè)d為原點(diǎn)O到直線AB的距離,d==,
S△OAB=d|AB|=.
(3)顯然直線MA,MB,MF的斜率都存在,分別設(shè)為k1,k2,k3.
點(diǎn)A,B,M的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),M.
設(shè)直線AB:y=k,代入拋物線方程,得y2-y-p2=0,所以y1y2=-p2.
又=2px1,=2px2,
所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),
所以k1+k2=+=+=-.
而2k3=2×=-,故k1+k2=2k3,所以直線MA,MF,MB的斜率成等差數(shù)列.
四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第9課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1
