高考數(shù)學 考點匯總 考點42 直線與圓錐曲線的位置關系（含解析）

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1、高考數(shù)學 考點匯總 考點42 直線與圓錐曲線的位置關系（含解析） 一、選擇題 1. (xx·湖北高考文科·T8)設a,b是關于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線 -=1的公共點的個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解題提示】求出過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線為y=-x,結合雙曲線的漸近線方程,可得結論. 【解析】選A.由于a,b是關于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實根, 所以a+b=-,ab=0, 過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線

2、為y-a2= (x-a), 即y=(b+a)x-ab,即y=-x, 因為雙曲線 -=1的一條漸近線方程為 y=-x, 所以過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線 -=1的公共點的個數(shù)為0. 2.（xx·遼寧高考文科·Ｔ8）已知點在拋物線的準線上，記的焦點為，則直線的斜率為 【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點坐標；利用直線的斜率公式求出直線的斜率 【解析】選Ｃ. 根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點 從而直線的斜率為 二、填空題 3.（xx·安徽高考文科·Ｔ15）若直線與曲線滿足下列兩個條件： 直線在點處與曲線相切；

3、曲線在附近位于直線的兩側，則稱直線在點處“切過”曲線. 下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號) ①直線在點處“切過”曲線： ②直線在點處“切過”曲線： ③直線在點處“切過”曲線： ④直線在點處“切過”曲線： ⑤直線在點處“切過”曲線： 【解題提示】根據(jù)各選項分別判斷。 【解析】根據(jù)題意滿足條件的有（1）（3）（4），剩余選項（2）（5）都在切線的一邊。 答案：??④ 4.（xx·安徽高考理科·Ｔ14））設分別是橢圓 的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若軸，則橢圓的方程為__________ 【解題提示】構造直角三角形，利用線段平行、垂直關

4、系及點A,B在橢圓上求得參數(shù)b. 【解析】如圖所示，設，作,則 ① ② 又點A,B在橢圓上，所以與①②聯(lián)立解得。 所以橢圓方程為。 5. （xx·湖南高考文科·Ｔ14）平面上以機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線，則的取值范圍是 【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關系求解。 【解析】把機器人看做一個動點，則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線，其方程為，過點且斜率為的直線方程為，兩個方程聯(lián)立，消去y得，由題意， 所以。 答案： 三、解答題 6. (xx·新課標全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學·

5、T20)(本小題滿分12分)設F1,F2分別是橢圓+=1的左右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為,求C的離心率. (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且=5,求a,b. 【解題提示】(1)利用直線MN的斜率為再結合a2=b2+c2表示出關于離心率e的方程,解方程求得離心率. (2)結合圖形,利用橢圓的性質和焦半徑公式求得a,b. 【解析】(1)因為由題知, =,所以·=,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0, 解得e=.所以C的離心率為. (2)由三角形中位線知識可知,MF2=2×2,即=4. 設F1

6、N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點橫坐標分別為c,- c.由焦半徑公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=2. 所以,a=7,b=2. 7. （xx·湖南高考文科·Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖5，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形. （1） 求的方程； （2） 是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結論. 【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線位置關系，聯(lián)立方程組，求解。 【解析】（

7、1）設的焦距為，由題意知，從而因為點，在雙曲線上，所以，故 由橢圓的定義知 于是， 故的方程分別為 （2）不存在符合題設條件的直線 （i）若直線垂直于x軸， 因為與只有一個公共點，所以直線的方程為或 當時，易知,所以 ，此時， 當，同理可知 (ii)若直線不垂直于x軸，設的方程為 由得 當與相交于A,B兩點時，設，則是上述方程的兩個實根，從而， 于是 由得 因為直線與只有一個公共點，所以上述方程的判別式 化簡，得。因此 于是 即，故 綜合（i）（ii）可知，不存在符合題設條件的直線 8.(xx·廣東高考文科·T20)(14分)已知橢圓C:+=1

8、(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標準方程. (2)若動點P(x0,y0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因為c=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標準方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時點P有四個點, 分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當兩條切線斜率都存在時, 設切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中,

9、整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個公共點, 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進一步化簡得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因為兩條切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,

10、-2); 當兩條切線斜率都存在時, 設切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方程分別為+=1和+=1, 因為兩條切線都過點P(x0,y0), 所以+=1且+=1, 因為兩條切線相互垂直, 所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1, 整理得+=13. 顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點P的軌跡方程為+=13. 9.(xx·廣東高考理科)(14分) 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標準方程. (2)若動點P(x0,y

11、0)為橢圓C外一點,且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因為c=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標準方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當兩條切線斜率都存在時,設切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個公共點

12、, 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進一步化簡得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因為兩條切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時點P有四個點,分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當兩條切線斜率都存在時,設切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方

13、程分別為+=1和+=1, 因為兩條切線都過點P(x0,y0),所以+=1且+=1, 因為兩條切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1,整理得+=13. 顯然,點(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點P的軌跡方程為+=13. 10.（xx·福建高考理科·Ｔ19）（本小題滿分13分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為. （1）求雙曲線的離心率； （2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一， 四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公 共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的

14、方程；若不存在，說明理由。 【解題指南】⑴由漸近線可知，由基本量關系式求；⑵設直線，再根據(jù)條件建立k,m的兩個方程． 【解析】解法一：(1)∵雙曲線的漸近線分別為，……………1分 ∴，有，即，于是雙曲線的離心率；…3分 (2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設直線與軸相交于點， 當軸時，若直線與雙曲線E有且只有一個公共點， 則，又因為的面積為8， ∴，即，解得， 此時雙曲線E的方程為.……………………………………………6分 若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為. 以下證明：當直線不與軸垂直時，雙曲線也滿足條件，……7分 設直線的方程，依題意，得或，……………………

15、…8分 則，記， 由得，同理， 由得， 即，……………………………………………………10分 由得，∵， ∴，又， ∴，即直線與雙曲線E有且只有一個公共點.……………………………12分 因此，存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程只能為…………………………………………………………………13分 方法二：(1)同方法一； (2)由(1)知，雙曲線E的方程為. 設直線的方程為，，依題意得， 由得，同理， 設直線與軸相交于點，則， 由得，∴， 由得，∵， ∴直線與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當 ，即， ∴，即，有， 因此，存在總與直線有且只有一個公

16、共點的雙曲線E，且E的方程只能為. 方法三：(1)同方法一； (2)當直線不與軸垂直時，設直線，， 依題意得或， 由得，由，，得， 又因為的面積為8，所以，而， ∴，化簡得，∴，即， 由(1)得雙曲線E的方程為， 由得， 因為，直線與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當 ，即，有， ∴雙曲線E的方程為， 當軸時，由的面積為8，可得，又知與雙曲線 有且只有一個公共點， 綜上，存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程只能為. 11. （xx·遼寧高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切

17、點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求的方程. 【解析】（Ⅰ）設切點坐標為，.則切線斜率為 切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標軸的正半軸的交點為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為 由（當且僅當時取最大值，即有最小值，此時點的坐標為.由題意得解得 故的方程為 （Ⅱ）由（1）知，橢圓的焦點為，因此設橢圓的方程為 .由點在橢圓上，得， 解得；因而的方程為 當直線的斜率不存在時，的方程為，易知,以線段AB為直徑的圓不經過點P；不合

18、題意. 當直線的斜率存在時，設的方程為,， 則是方程組的解. 整理得 由韋達定理， ① 所以 ② 由題意知,從而 因為 所以 即 所以 將①②代入解得或 因此的方程為或 即或 12. （xx·遼寧高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分）圓的切線與錯誤！未找到引用源。軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為. （Ⅰ）求點的坐標； （Ⅱ）焦點在錯誤！未找到引用源。軸上的橢圓錯誤！未找到引用源。過點錯誤！未找到引用源。，且與直線交于兩點，若的面積為，求錯誤！未找到引用源。的標準方程. 【解析】（Ⅰ）設切點坐標為，.則切線斜

19、率為 切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標軸的正半軸的交點為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為 由（當且僅當時取最大值，即有最小值，此時點的坐標為. （Ⅱ）設C的方程為，點，則是方程組的解.整理得， 由偉達定理得， 又 所以 而點到直線的距離 所以 則 又由點在C上知. 解得.故所求C的方程為 13. （xx·山東高考理科·Ｔ21） 已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為3時，為正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點， （?。┳C明直線過定點

20、，并求出定點坐標； （ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由. 【解題指南】（Ⅰ）由拋物線的定義及已知條件點的橫坐標為3時，為正三角形.可求得p的值.（Ⅱ）（?。┫仍O出點A的坐標,根據(jù)表示出D點坐標，然后根據(jù)求出AE的方程，即可判斷AE是否過定點.（ⅱ）可利用設出的A點坐標表示出的面積，然后利用基本不等式求出最值. 【解析】（Ⅰ）由題意知 設， 因為, 由拋物線的定義知， 解得t=3+p或t=-3(舍去)， 由，解得p=2. 所以拋物線的方程為. （Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲狥(1，0) 因為,則， 故直線AB的斜率，因為直線和直線AB平

21、行， 設直線的方程為，代入拋物線方程得， 由題意 設. 當， 可得直線AE的方程為，由， 整理可得，直線AE恒過點F（1,0）， 直線AE的方程為x=1，過點F（1,0）， 所以直線AE過定點F（1,0）. （ii）由（i）知直線AE過焦點F（1,0）， 所以， 設直線AE的方程為x=my+1, 因為點在直線AE上，故, 直線AB的方程為， 由于， 可得，代入拋物線方程得 所以， 可求得， 所以點B到直線AE的距離為 則的面積 14. （xx·山東高考文科·Ｔ21） 在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為. （Ⅰ）求

22、橢圓的方程； （Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點. （i）設直線的斜率分別為.證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值. 【解題指南】（Ⅰ）求橢圓的方程即求出a,b,的值即可. （Ⅱ）可先設出直線方程，聯(lián)立，利用韋達定理表示，找出兩個斜率之間的關系，第二小問，可直接用表示出來面積，再利用基本不等式求出最大值. 【解析】(1) 設直線與橢圓交于兩點.不妨設點為直線和橢圓在第一象限的交點. (2)(i)設，則， 因為直線AB的斜率， 又,所以直線AD的斜率 設直線AD的方程為， 由題意知. 由可得. 所以 因此. 由題意知 所以 所以直線BD的方程為. 令y=0，得 可得 所以. 因此存在常數(shù)使得結論成立. （ii）直線BD的方程為. 令x=0得，即， 由（i）知 可得的面積. 因為，當且僅當時等號成立， 此時S取得最大值， 所以的面積為最大值.