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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第64講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用檢測(cè)
1．(2014·新課標(biāo)卷Ⅱ) 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
(1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M(c，)，
因?yàn)椋剑?b2＝3ac，
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)．
故C的離心率為.
(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥
2、y軸，
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2) 是線段MF1的中點(diǎn)，
故＝4，即b2＝4a，①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.
將①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
2．(2016·北京卷)已知橢圓C：＋＝1過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程及離心率；
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．
(1)由題意得a＝2，b＝1，
3、
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
又c＝＝，所以離心率e＝＝.
(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則x＋4y＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
所以直線PA的方程為y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，從而|BM|＝1－yM＝1＋.
直線PB的方程為y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
從而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四邊形ABNM的面積
S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2.
從而四邊形ABNM的面積為定值．
3．(2017·湖南省六校聯(lián)考)在圓x2＋y2＝1上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，作PQ⊥x軸于Q，M滿足＝2，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M 的
4、軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)曲線C與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A，B，直線y＝kx(k>0)與曲線C交于E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AEBF面積最大時(shí)，求k的值．
(1)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，
則 得
而P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，
即x＋y＝1，故x2＋＝1，此即曲線C的方程．
(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)，
則直線AB的方程為2x＋y－2＝0.
設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1
5、B的距離分別為
h1＝＝，
h2＝＝，
|AB|＝＝，
所以四邊形AEBF的面積為
S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝
＝2＝2＝2
≤2.
當(dāng)k2＝4(k>0)，即當(dāng)k＝2時(shí)，上式取等號(hào)，
所以當(dāng)四邊形AEBF面積最大時(shí)，k＝2.
4．(2017·浙江卷)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A(－，)，B(，)，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)(－
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