（浙江專版）2018年高考數學 第1部分 重點強化專題 專題2 數列 突破點4 等差數列、等比數列教學案

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1、 專題二　數　列 建知識網絡　明內在聯(lián)系 [高考點撥]　數列專題是浙江新高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數列的基本量運算及數列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結合浙江新高考的命題研究，本專題我們按照“等差、等比數列”和“數列求和及綜合應用”兩條主線展開分析和預測． 突破點4　等差數列、等比數列 (對應學生用書第16頁) [核心知識提煉] 提煉1等差數列、等比數列的運算 　 (1)通項公式 等差數列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數列：an＝a1·qn－1. (2)求和公式 等差數列：Sn＝＝na1＋d

2、； 等比數列：Sn＝＝(q≠1)． (3)性質 若m＋n＝p＋q， 在等差數列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數列中am·an＝ap·aq. 提煉2等差數列、等比數列的判定與證明 　 數列{an}是等差數列或等比數列的證明方法： (1)證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數； ②利用中項性質，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數列的兩種基本方法 ①利用定義，證明(n∈N*)為同一常數； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2). 提煉3數列

3、中項的最值的求法 　 (1)根據數列與函數之間的對應關系，構造相應的函數f(n)＝an，利用求解函數最值的方法(多利用函數的單調性)進行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數的限制． (2)利用數列的單調性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數列單調性的變化，進而確定相應的最值． (3)轉化為關于n的不等式組求解，若求數列{an}的最大項，則可解不等式組若求數列{an}的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項． [高考真題回訪] 回訪1　等差數列及其運算 1．(2017·浙江高考)已知等差數列{an}的公差為d，

4、前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　) 【導學號：68334059】 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 C　[法一：∵數列{an}是公差為d的等差數列， ∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d， ∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d. 若d>0，則21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d， 即S4＋S6>2S5. 若S4＋S6>2S5，則10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d， ∴d>0.∴“d>0”是“

5、S4＋S6>2S5”的充分必要條件． 故選C. 法二：∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要條件． 故選C.] 2．(2015·浙江高考)已知{an}是等差數列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數列，則(　　) A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 B　[∵a3，a4，a8成等比數列，∴a＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開整理，

6、得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.] 3．(2014·浙江高考)已知等差數列{an}的公差d＞0.設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 【導學號：68334060】 [解]　(1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 2分 將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因為d＞0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*). 5分

7、(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 11分 由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，故所以 15分 4．(2013·浙江高考)在公差為d的等差數列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數列． (1)求d，an； (2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. [解]　(1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數列得，d2－3d－4＝0， 2分 解得d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11

8、(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*). 5分 (2)設數列{an}的前n項和為Sn. 因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11， 6分 所以當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； 8分 當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 11分 綜上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝ 15分 回訪2　等比數列及其運算 5．(2016·浙江高考)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5

9、＝________. 1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數列是公比為3的等比數列， ∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝×34＝×34＝， ∴S5＝121.] 6．(2015·浙江高考)已知{an}是等差數列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數列，且2a1＋a2＝1，則a1＝______，d＝________. 【導學號：68334061】 　－1　[∵a2，a3，a7成等比數列，∴a＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即

10、2d＋3a1＝0.① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.② 由①②解得a1＝，d＝－1.] 7．(2016·浙江高考)設數列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項公式an； (2)求數列{|an－n－2|}的前n項和． [解]　(1)由題意得則 2分 又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. 5分 (2)設bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，則b1＝2，b2＝1. 當n≥3時，由于3n－1>

11、n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設數列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 10分 當n≥3時，Tn＝3＋－＝， 13分 所以Tn＝ 15分 (對應學生用書第17頁) 熱點題型1　等差、等比數列的基本運算 題型分析：以等差(比)數列為載體，考查基本量的求解，體現方程思想的應用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小. 【例1】　(1)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設bn＝1＋log3an，那么數列{bn}的前15項和為(　　) 【導學號：68334062】 A．152 B．135

12、 C．80 D．16 (2)(2017·臺州市高三年級調考)已知數列{an}的前m(m≥4)項是公差為2的等差數列，從第m－1項起，am－1，am，am＋1，…成公比為2的等比數列．若a1＝－2，則m＝________，{an}的前6項和S6＝________. (1)B　(2)4　28　[(1)設等比數列{an}的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝＝3，首項a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數列{bn}是等差數列，前15項的和為＝135，故選B. (2)由題意，得am－1＝a1＋(m－2)d＝2m－6，a

13、m＝2m－4，則由＝＝2，解得m＝4，所以數列{an}的前6項依次為－2,0,2,4,8,16，所以S6＝28.] [方法指津] 在等差(比)數列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據已知條件建立關于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數列問題的基本量的方法，這其中蘊含著方程思想的運用. 提醒：應用等比數列前n項和公式時，務必注意公比q的取值范圍. [變式訓練1]　(1)已知在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝51，則n＝__________. (2)已知{an}

14、為等差數列，若a1＋a5＋a9＝8π，則|an|前9項的和S9＝________，cos(a3＋a7)的值為________． (1)6　(2)24π?。(1)由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3， 所以數列{an}是首項為1，公差為3的等差數列． 由Sn＝n＋×3＝51，即(3n＋17)(n－6)＝0， 解得n＝6或n＝－(舍)． (2)由{an}為等差數列得a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9項的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos ＝cos ＝－.] 熱點題型2　等差、等比數列的基本

15、性質 題型分析：該熱點常與數列中基本量的運算綜合考查，熟知等差(比)數列的基本性質，可以大大提高解題效率. 【例2】　(1)已知實數列{an}是等比數列，若a2a5a8＝－8，則＋＋ (　　) 【導學號：68334063】 A．有最大值　　　　 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 (2)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，，…，中最大的項為(　　) A. B. C. D. (1)D　(2)C　[(1)由題意可得a2a5a8＝a＝－8，則a5＝－2.設等比數列{an}的公比為q，則＋＋＝＋＋＝＋＋1≥2＋1＝，當且僅當＝，q

16、2＝時取等號，所以＋＋有最小值，故選D. (2)由S15＝＝＝15a8>0，S16＝＝16×<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.] [方法指津] 1．若{an}，{bn}均是等差數列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，仍為等差數列，其中m，k為常數． 2．若{an}，{bn}均是等比數列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數)，{a}，仍為等比數列． 3．公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成

17、等比數列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數列，且公比為＝＝q. 4．(1)等比數列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數列，其公比為qk. (2)等差數列中連續(xù)k項的和成等差數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數列，公差為k2d. 5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則＝. [變式訓練2]　 (1)在等比數列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．2或4 (2

18、)已知公比q不為1的等比數列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且a2＋S2，a3＋S3，a4＋S4成等差數列，則q＝________，S6＝________. (1)C　(2)　　[(1)∵{an}為等比數列，∴a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項，∴(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2. 同理a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項， ∴(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15) 故a13＋a15＝＝＝1. ∴a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (2)由a2＋S2＝＋q，a3＋S3＝＋q＋q

19、2，a4＋S4＝＋q＋q2＋q3成等差數列，得2＝＋q＋＋q＋q2＋q3，化簡得2q2－3q＋1＝0，q≠1，解得q＝，所以S6＝＝1－6＝.] 熱點題型3　等差、等比數列的證明 題型分析：該熱點常以數列的遞推關系為載體，考查學生的推理論證能力. 【例3】　已知數列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. 【導學號：68334064】 [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 1分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λ

20、an＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 2分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 3分 因此{an}是首項為，公比為的等比數列， 4分 于是an＝n－1. 6分 (2)由(1)得Sn＝1－n. 8分 由S5＝得1－5＝， 即5＝. 13分 解得λ＝－1. 15分 [方法指津] 判斷或證明數列是否為等差或等比數列，一般是依據等差數列、等比數列的定義，或利用等差中項、等比中項進行判斷. 提醒：利用a＝an＋1·an－1(n≥2)來證明數列{an}為等比數列時，要注意數列中的各項均不為0. [變式訓練3]　已知數列{an}的前n項和

21、為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由． [解]　(1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 2分 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. 4分 (2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 5分 由(1)知，a3＝λ＋1. 6分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 7分 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3. 9分 {a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1. 13分 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列. 15分 9