4、)．
A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125
解析 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，則f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)
∴52 011與57的末四位數(shù)字相同，均為8 125.故選D.
答案 D
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．(xx·山東省實驗中學(xué)一模)以下是對命題“若兩個正實數(shù)a1，a2滿
5、足a＋a＝1，則a1＋a2≤”的證明過程：
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根據(jù)上述證明方法，若n個正實數(shù)滿足a＋a＋…＋a＝1時，你能得到的結(jié)論為________________________________(不必證明)．
解析 依題意，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，則有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋an)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋a
6、n)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋an≤.
答案 a1＋a2＋…＋an≤
6．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形，則按此規(guī)律，第100個圖形中有白色地磚________塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是________．
解析 按拼圖的規(guī)律，第1個圖有白色地磚3×3－1(塊)，第2個圖有白色地磚3×5－2(塊)，第3個圖有白色地磚3×7－3(塊)，…，則第100個圖中有白色地磚3×201－100＝503(塊)．第100個圖中黑白地磚共有603塊，則將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，豆子落在白色地磚上的概率是.
答案
7、503
三、解答題(共25分)
7．(12分)給出下面的數(shù)表序列：
…
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．
解 表4為 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列
8、．
將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列．
8．(13分)(xx·福建)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)試從上述
9、五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．
解 (1)選擇②式，計算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
證明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos
10、α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
B級 能力突破
(時間：30分鐘 滿分：45分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(xx·九江質(zhì)檢)觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為 ( )．
A．76 B．80 C．86 D．92
解析 由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)
11、為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.
答案 B
2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．
比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( )．
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析 觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為
12、{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225.
答案 C
二、填空題(每小題5分，共10分)
3．(xx·福州模擬)對一個邊長為1的正方形進行如下操作；第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖1所示的幾何圖形，其面積S1＝；第二步，將圖1的5個小正方形中的每個小正方形都進
13、行與第一步相同的操作，得到圖2；依此類推，到第n步，所得圖形的面積Sn＝n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則到第n步，所得幾何體的體積Vn＝________.
解析 對一個棱長為1的正方體進行如下操作：第一步，將它分割成3×3×3個小正方體，接著用中心和8個角的9個小正方體，構(gòu)成新1幾何體，其體積V1＝＝；第二步，將新1幾何體的9個小正方體中的每個小正方體都進行與第一步相同的操作，得到新2幾何體，其體積V2＝2；…，依此類推，到第n步，所得新n幾何體的體積Vn＝n.
答案 n
4．(xx·湖南)設(shè)N＝2n(n∈N*，n≥2)，將N個數(shù)x1，x2，…，xN依次放入編號為1,
14、2，…，N的N個位置，得到排列P0＝x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，將此操作稱為C變換．將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當(dāng)2≤i≤n－2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到Pi＋1.例如，當(dāng)N＝8時，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置．
(1)當(dāng)N＝16時，x7位于P2中的第________個位置；
(2)當(dāng)N＝2n(n≥8)時，x173位于P4中的第________個位置．
解析 (1)當(dāng)N＝16時，
15、P1＝x1x3x5x7x9…x16，此時x7在第一段內(nèi)，再把這段變換x7位于偶數(shù)位的第2個位置，故在P2中，x7位于后半段的第2個位置，即在P2中x7位于第6個位置．
(2)在P1中，x173位于兩段中第一段的第87個位置，位于奇數(shù)位置上，此時在P2中x173位于四段中第一段的第44個位置上，再作變換得P3時，x173位于八段中第二段的第22個位置上，再作變換時，x173位于十六段中的第四段的第11個位置上，也就是位于P4中的第(3×2n－4＋11)個位置上．
答案 6 3×2n－4＋11
三、解答題(共25分)
5．(12分)觀察下表：
1，
2,3
4,5,6,7，
8,9
16、,10,11,12,13,14,15，
…
問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？
(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？
(3)2 013是第幾行的第幾個數(shù)？
解 (1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n，
∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048，
∴2 013在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1 024，
由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990個數(shù)．
6．(13分
17、)(xx·南昌二模)將各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示．記表中各行的第一個數(shù)a1，a2，a4，a7，…，構(gòu)成數(shù)列{bn}，各行的最后一個數(shù)a1，a3，a6，a10，…，構(gòu)成數(shù)列{cn}，第n行所有數(shù)的和為Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q，且a1＝a13＝1，a31＝.
(1)求數(shù)列{cn}，{Sn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Tn的表達(dá)式．
解 (1)bn＝dn－d＋1，前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝個數(shù)，因為13＝＋3，所以a13＝b5×q2，
即(4d＋1)q2＝1，又因為31＝＋3，所以a31＝b8×q2，
即(7d＋1)q2＝，解得d＝2，q＝，
所以bn＝2n－1，cn＝bnn－1＝，
Sn＝＝(2n－1)·.
(2)Tn＝＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋＋…＋. ②
①②兩式相減，得
Tn＝1＋2－
＝1＋2×－＝2－，
所以Tn＝3－.
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2022年高考數(shù)學(xué) 第十二篇第1講 合情推理與演繹推理限時訓(xùn)練 新人教A版
