31、要證明a>b只要證明a－b>0即可，這種方法稱為求差比較法．
(2)求商比較法：
由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為求商比較法．
(3)用比較法證明不等式的一般步驟是：作差(商)—變形—判斷—結論，而變形的方法一般有配方、通分和因式分解．
[即時演練]
求證：當x∈R時，1＋2x4≥2x3＋x2.
證明：法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]
32、＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
綜合法證明不等式
[典例] 已知a，b均為正數(shù)，且a＋b＝1，求證：
(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；
(2)2＋2≥.
[證明] (1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，
因為a＋b＝1，
所以a－1＝－b，b－1＝－a，又a，b均為正數(shù)，
所以a(a－1)x
33、2＋b(b－1)y2＋2abxy
＝－ab(x2＋y2－2xy)
＝－ab(x－y)2≤0，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．
所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
(2)2＋2＝4＋a2＋b2＋
＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋＋≥6＋＋4＋2＝，
當且僅當a＝b＝時，等號成立，
所以2＋2≥.
[方法技巧]
1．綜合法證明不等式的方法
綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進行轉換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵．
2．綜合法證明時常用的不等式
(1)a2≥0.
(2)|a|≥
34、0.
(3)a2＋b2≥2ab，它的變形形式有：
a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；
a2＋b2≥(a＋b)2；≥2.
(4)≥，它的變形形式有：
a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；
＋≤－2(ab<0)．
[即時演練]
設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab
35、＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
分析法證明不等式
[典例] 設a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.
求證：(1)a＋b＋c≥.
(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．
[證明] (1)要證a＋b＋c≥，
由于a，b，c＞0，
因此只需證明(a＋b＋c)2≥3.
即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即證a2＋
36、b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而這可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)證得．
所以原不等式成立．
(2) ＋ ＋ ＝.
在(1)中已證a＋b＋c≥.
因此要證原不等式成立，
只需證明≥ ＋＋，
即證a＋b＋c≤1，
即證a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤.
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca當且僅當a＝b＝c＝時等號成立．
所以原不等式成立．
[方法技巧]
1．用分析法證“若A則B”這個命題的模式
為了證明命題B為真，
只需證明命題B1為真，從而有…
只需證明命題B2為真，從而有…
……
只需證
37、明命題A為真，而已知A為真，故B必真．
2．分析法的應用
當所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式沒有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的關系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆．
[即時演練]
已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－0，所以只要證a－2c<－b，
即證a＋b<2c.
由已知條件知，上式顯然成立，所以原不等式成立．
1．(2017·全國卷Ⅱ
38、)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2．(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|.
解：(1)f(x)＝
39、
當x≤－時，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；
當－cd，則＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．
證明：(1)因為(＋)2＝a
40、＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由題設a＋b＝c＋d，ab>cd，
得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，
則(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)，得＋>＋.
②充分性：若＋>＋，
則(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因為a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
綜上，＋>＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件．
4
41、．(2014·全國卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且當a＝b＝時等號成立．
故a3＋b3≥2≥4，且當a＝b＝時等號成立．
所以a3＋b3的最小值為4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，從而不存在a，b，
使得2a＋3b＝6.
1．已知a，b都是正實數(shù)，且a＋b＝2，求證：＋≥1.
證明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
∴＋－1＝
＝
＝
＝＝＝.
∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∴≥0.
∴＋≥1.
2．已知定
42、義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.
解：(1)因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
當且僅當－1≤x≤2時，等號成立，
所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)證明：由(1)知p＋q＋r＝3，
又因為p，q，r是正實數(shù)，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.
3．(2018·云南統(tǒng)一檢測)已知a是常數(shù)，對任意實數(shù)x，不等式|x＋1|－|2－
43、x|≤a≤|x＋1|＋|2－x|都成立．
(1)求a的值；
(2)設m＞n＞0，求證：2m＋≥2n＋a.
解：(1)設f(x)＝|x＋1|－|2－x|，
則f(x)＝
∴f(x)的最大值為3.
∵對任意實數(shù)x，|x＋1|－|2－x|≤a都成立，即f(x)≤a，
∴a≥3.
設h(x)＝|x＋1|＋|2－x|，
則h(x)＝
則h(x)的最小值為3.
∵對任意實數(shù)x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，
∴a≤3.
∴a＝3.
(2)證明：由(1)知a＝3.
∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，
∴(m－n)＋(m－n)＋
≥3
44、＝3.
∴2m＋≥2n＋a.
4．已知x，y，z是正實數(shù)，且滿足x＋2y＋3z＝1.
(1)求＋＋的最小值；
(2)求證：x2＋y2＋z2≥.
解：(1)∵x，y，z是正實數(shù)，且滿足x＋2y＋3z＝1，
∴＋＋＝(x＋2y＋3z)
＝6＋＋＋＋＋＋ ≥6＋2＋2＋2，
當且僅當＝且＝且＝時取等號．
(2)由柯西不等式可得
1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)
＝14(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥，
當且僅當x＝＝，即x＝，y＝，z＝時取等號．
故x2＋y2＋z2≥.
5．(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x|＋
45、|x－1|.
(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求實數(shù)m的最大值M；
(2)在(1)成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a2＋b2＝M，證明：a＋b≥2ab.
解：(1)由絕對值不等式的性質知
f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－x＋1|＝1，
∴f(x)min＝1，
∴只需|m－1|≤1，
即－1≤m－1≤1，
∴0≤m≤2，
∴實數(shù)m的最大值M＝2.
(2)證明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2，
∴ab≤1，
∴≤1，當且僅當a＝b時取等號．①
又≤，∴≤，
∴≤，當且僅當a＝b時取等號．②
由①②得，≤，∴a＋b≥2ab.
6．(2018·吉林實驗中學
46、模擬)設函數(shù)f(x)＝|x－a|.
(1)當a＝2時，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集為[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求證：m＋2n≥4.
解：(1)當a＝2時，不等式為|x－2|＋|x－1|≥4.
①當x≥2時，不等式可化為x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②當1＜x＜2時，不等式可化為2－x＋x－1≥4，
不等式的解集為?；
③當x≤1時，不等式可化為2－x＋1－x≥4，解得x≤－.
綜上可得，不等式的解集為∪.
(2)證明：∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，
∴解得a＝1
47、，
所以＋＝1(m>0，n>0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
當且僅當m＝2，n＝1時取等號．
7．已知a，b，c，d均為正數(shù)，且ad＝bc.
(1)證明：若a＋d>b＋c，則|a－d|>|b－c|；
(2)若t··＝＋，求實數(shù)t的取值范圍．
解：(1)證明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均為正數(shù)，
得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，
所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|.
(2)因為(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，
所以
48、t··＝t(ac＋bd)．
由于≥ ac, ≥ bd，
又已知t··＝ ＋，
則t(ac＋bd)≥ (ac＋bd)，故t≥ ，當且僅當a＝c，b＝d時取等號．
所以實數(shù)t的取值范圍為[，＋∞)．
8．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0，求證：>f.
解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|
＝
當x<－3時，由－3x－2≥8，解得x≤－；
當－3≤x<時，－x＋4≥8無解；
當x≥時，由3x＋2≥8，解得x≥2.
所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集為∪[2，
49、＋∞)．
(2)證明：>f等價于f(ab)>|a|f，
即|ab－1|>|a－b|.
因為|a|<1，|b|<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，
所以|ab－1|>|a－b|.
故所證不等式成立.
階段滾動檢測(六)全程仿真驗收
(時間120分鐘 滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x＋y－4＞0，x，y∈A}，則集合B中的元素個數(shù)為( )
A．9
50、 B．6
C．4 D．3
解析：選D 集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x＋y－4＞0，x，y∈A}＝{(2,3)，(3,2)，(3,3)}，則集合B中的元素個數(shù)為3.
2．若復數(shù)(a∈R)是純虛數(shù)，則復數(shù)2a＋2i在復平面內對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選B ＝＝，由題意可知2a＋2＝0且2－2a≠0，所以a＝－1，則復數(shù)2a＋2i在復平面內對應的點(－2,2)在第二象限．
3．已知命題p：?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0；命題q：?x∈0，，cos x＜1，則下列命題為真命題的是( )
A
51、．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：選C 因為x∈(－∞，0)時，＝x＞1，所以2x＞3x，故命題p是假命題；命題q：?x∈，cos x＜1，是真命題，則綈p是真命題，綈q是假命題，故(綈p)∧q是真命題．
4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A．1＋2π B．1＋
C．1＋ D．1＋
解析：選D 由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，上面是一個半徑為的球，下面是一個棱長為1的正方體，所以該幾何體的體積V＝·3＋1＝1＋.
5．函數(shù)y＝的圖象可能是( )
解析：選C 因為f(－x)＝＝－f(x)，即函數(shù)
52、y＝是奇函數(shù)，故排除B、D；當x>0，且x→＋∞時，y→0，故排除A，因此選C.
6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的m，n分別為1 848,936，則輸出的m的值為( )
A．168 B．72
C．36 D．24
解析：選D 根據(jù)題意，運行程序：m＝1 848，n＝936；r＝912，m＝936，n＝912；r＝24，m＝912，n＝24；r＝0，m＝24，n＝0，此時滿足條件，循環(huán)結束，輸出m＝24，故選D.
7.如圖，Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，O為BC的中點，以O為圓心，1為半徑的半圓與BC交于點D，P為半圓上任意一點，則·的最小
53、值為( )
A．2＋ B.
C．2 D．2－
解析：選D 建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(－2,0)，A(0,2)，D(1,0)，設P(x，y)，故＝(x＋2，y)，＝(1，－2)，所以·＝x－2y＋2.令x－2y＋2＝t，根據(jù)直線的幾何意義可知，當直線x－2y＋2＝t與半圓相切時，t取得最小值，由點到直線的距離公式可得＝1，t＝2－，即·的最小值是2－.
8．將函數(shù)f(x)＝cos ωx(ω＞0)的圖象向右平移個單位，若所得圖象與原圖象重合，則f不可能等于( )
A．0 B．1
C. D.
解析：選D 將函數(shù)f(x)＝cos ωx(ω＞0)的圖象向
54、右平移個單位，得函數(shù)y＝cos，由題意可得＝2kπ，k∈Z，因為ω＞0，所以ω＝6k＞0，k∈Z，則f＝cos＝cos，k∈Z，顯然，f不可能等于，故選D.
9．(2017·鄭州二模)已知實數(shù)x，y滿足則z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：選C 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1，3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]．
∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，當直線y＝2x－4＋z過點A(2,4)時，直線在y軸上的截距最小，此時z有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故選
55、C.
10．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝，b2－a2＝c2，則tan C＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：選A 因為b2－a2＝c2且b2＋c2－a2＝2bccos A＝bc，所以b＝，a＝，由余弦定理可得cos C＝＝，則角C是銳角，sin C＝，則tan C＝＝2.
11．已知點P在雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，若| |2－| |2＝12a2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．[3，＋∞) B．(2,4]
C．(2,3] D．(1,3]
解析：選D 根據(jù)題意，因
56、為||2－||2＝12a2，且|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PF2|＝6a≥|F1F2|＝2c，所以e≤3.又因為e>1，所以該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3]．
12．已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，且f(x)＝x2－f(0)x＋f′(1)ex－1，若g(x)＝f(x)－x2＋x，則方程g－x＝0有且僅有一個根時，實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0)∪{1} B．(－∞，1]
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析：選A 由函數(shù)的解析式可得f(0)＝f′(1)e－1，f′(x)＝x－f(0)＋f′(1)ex－1，f′(1)＝1－f(0)＋f′(
57、1)，
所以f′(1)＝e，f(0)＝1，
所以f(x)＝x2－x＋ex，g(x)＝f(x)－x2＋x＝ex，
則e－x－x＝0有且僅有一個根，即＝x＋ln x有且僅有一個根，分別作出y＝和y＝x＋ln x的圖象，由圖象知a<0或a＝1.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)
13．(m＋x)(1＋x)3的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為16，則xmdx＝________.
解析：(m＋x)(1＋x)3＝(m＋x)(Cx3＋Cx2＋Cx＋C)，所以x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為
mC＋mC＋C＋C＝16，解得m＝3，
所以xmdx＝
58、x3dx＝x4＝0.
答案：0
14．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________．
解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為＝＋，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y－t＝0，所以點P到直線BC的距離為d＝，BC＝，所以△PBC的面積為××＝≥，當且僅當t＝時取等號．
答案：
15．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為________．
解析：令x＝0，
59、得y＝；令y＝0，得x＝.
所以·|x|·|y|＝··＜，因為m∈(0,3)，所以解得0b>0)上一點，A，B是其左、右頂點，若2·＝x－a2，則離心率e＝________.
解析：由題意知A(－a,0)，B(a,0)，∴＝(x0＋a，y0)，＝(x0－a，y0)，∵2·＝x－a2，
∴2(x－a2＋y)＝x－a2，∴x＝a2－2y.
又＋＝1，∴＋＝1，
∴－＋＝0，∴a2＝2b2，
∴＝＝1－＝1－＝，∴e＝.
答案：
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答
60、時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且滿足an＋1＝Sn＋2n＋1(n∈N*)．
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求S1＋S2＋…＋Sn.
解：(1)證明：由條件可知，Sn＋1－Sn＝Sn＋2n＋1，
即Sn＋1－2Sn＝2n＋1，整理得－＝1，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)可知，＝1＋n－1＝n，即Sn＝n·2n，
令Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，
則Tn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n①
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，②
①－②，得－Tn＝2＋2
61、2＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
18．(本小題滿分12分)如圖所示的是某母嬰用品專賣店根據(jù)以往銷售奶粉的銷售記錄繪制的日銷售量的頻率分布直方圖．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立．
(1)估計日銷售量的平均值；
(2)求未來連續(xù)三天里，有兩天日銷售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋的概率；
(3)記X為未來三天里日銷售量不低于150袋的天數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學期望)．
解：(1)估計日銷售量的平均值為25×0.003×50＋75×0.005×50＋125×0.00
62、6×50＋175×0.004×50＋225×0.002×50＝117.5.
(2)不低于100袋的概率為0.6，低于50袋的概率為0.15，設事件A表示有兩天日銷售量不低于100袋且另一天銷售量低于50袋，則P(A)＝C(0.6)2×0.15＝0.162.
(3)不低于150袋的概率為0.3，由題意知，X～B(3,0.3)，
P(X＝0)＝C(0.7)3＝0.343，
P(X＝1)＝C(0.7)2×0.3＝0.441，
P(X＝2)＝C×0.7×0.32＝0.189，
P(X＝3)＝C×0.33＝0.027.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.343
63、0.441
0.189
0.027
則X的均值為E(X)＝3×0.3＝0.9.
19．(本小題滿分12分)如圖①，等腰直角三角形ABC的底邊AB＝4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖②)．
(1)求證：PB⊥DE；
(2)若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．
解：(1)證明：∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB.
又∵PE∩BE＝E，∴DE⊥平面PEB.
∵PB?平面PEB，∴PB⊥DE.
(2)由(1)知DE⊥PE，DE⊥EB，且PE⊥BE，所以DE，BE，PE兩兩垂直．分別以，，的方向為x
64、軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．
設PE＝a，則B(0,4－a,0)，D(a,0,0)，C(2,2－a,0)，P(0,0，a)，可得＝(0,4－a，－a)，＝(2，－2,0)．
設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝1，得y＝1，z＝，∴n＝.
∵直線PD與平面PBC所成的角為30°，且＝(a,0，－a)，
∴sin 30°＝|cos〈，n〉|＝＝.
解得a＝或a＝4(舍去)．
所以PE的長為.
20．(本小題滿分12分)(2018·甘肅張掖一診)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2，點P為橢圓短軸的
65、端點，且△PF1F2的面積為2.
(1)求橢圓的方程；
(2)點Q是橢圓上任意一點，A(4，6)，求|QA|－|QF1|的最小值；
(3)點B是橢圓上的一定點，B1，B2是橢圓上的兩動點，且直線BB1，BB2關于直線x＝1對稱，試證明直線B1B2的斜率為定值．
解：(1)由題意可知c＝，S△PF1F2＝|F1F2|×b＝2，
所以b＝2，求得a＝3，故橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)得|QF1|＋|QF2|＝6，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
那么|QA|－|QF1|＝|QA|－(6－|QF2|)
＝|QA|＋|QF2|－6，
而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝9，
66、
所以|QA|－|QF1|的最小值為3.
(3)設直線BB1的斜率為k，因為直線BB1與直線BB2關于直線x＝1對稱，所以直線BB2的斜率為－k，所以直線BB1的方程為y－＝k(x－1)，設B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，
由
可得(4＋9k2)x2＋6k(4－3k)x＋9k2－24k－4＝0，
因為該方程有一個根為x＝1，所以x1＝，
同理得x2＝，
所以kB1B2＝
＝
＝
＝＝，
故直線B1B2的斜率為定值.
21．(本小題滿分12分)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝·e2x－2＋x2－2f(0)x，g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)g(x)的單調區(qū)間；
(3)若x，y，m滿足|x－m|≤|y－m|，則稱x比y更接近m.當a≥2且x≥1時，試比較和ex－1＋a哪個更接近ln x，并說明理由．
解：(1)∵f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，
∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.
又f(0)＝·e－2，∴f′(1)＝2e2，
∴f(x)＝e2x
（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 選考部分 不等式選講學案 理
