（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達標(biāo)檢測（四十一）古典概型命題2類型——簡單問題、交匯問題 文

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達標(biāo)檢測（四十一）古典概型命題2類型——簡單問題、交匯問題 文 一、選擇題 1．(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅

2、，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 2．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩次朝上的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　骰子的點數(shù)為1,2,3,4,5,6，先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子， 設(shè)基本事件為(x，y)，共有6×6＝36個， 記兩次點數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A， 有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共9個， 所以兩次朝上的點數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)＝＝. 3．(2018·豫東名校聯(lián)考)在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機

3、取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝. 4．(2018·泉州質(zhì)檢)一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(　　) A. B.

4、C. D. 解析：選C　由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個； 同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個； 由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個．所以共有4×6＝24個． 當(dāng)b＝1時，有214,213,312,314,412,413，共6個“凹數(shù)”； 當(dāng)b＝2時，有324,423，共2個“凹數(shù)”． 所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 5．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　) A.

5、 B. C. D. 解析：選A　設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2 4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝. 6．甲盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4張卡片，乙盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字2,5的2張卡片，若從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，則2張卡片上的數(shù)字為相鄰數(shù)字的概率為(　　) A. B

6、. C. D. 解析：選B　從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，有(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(4,2)，(4,5)，共8種不同的取法，其中數(shù)字為相鄰數(shù)字的取法有(1,2)，(3,2)，(4,5)，共3種不同的取法，所以所求概率P＝. 7．拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)分別為a，b，則<|b－a2|<6－a成立的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意知(a，b)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種， 設(shè)“<|b－a2|<6－a

7、成立”為事件A， 則事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7種， 故P(A)＝. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2， 要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個不等實根， 即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b. 又(a，b)的取法共有9種， 其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3

8、,0)，(3,1)，(3,2)，共6種， 故所求的概率P＝＝. 二、填空題 9．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子落地后面朝上的點數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為________． 解析：根據(jù)題意，每枚骰子朝上的點數(shù)都有6種情況，則(x，y)的情況有6×6＝36(種)． 若log2xy＝1，則y＝2x，其情況有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種， 所以log2xy＝1的概率P＝＝. 答案： 10．從－1,0,1,3,4這五個數(shù)中任選一個數(shù)記為a，則使曲線y＝的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組無解的概率為________． 解析：曲線y＝的圖象在第一、三象限，

9、且滿足不等式組無解，即7－3a>0且a≤3，所以a<，所以a可?。?,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝. 答案： 11．從－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為________． 解析：當(dāng)方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3， －1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點在x軸上的雙曲線時，m＞0，n＞0，有(2,

10、2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝. 答案： 12．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上一個點P(a，b)，設(shè)“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的值為________． 解析：由題意知，點P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9種． 當(dāng)n＝0時，落在直線x＋y＝0上的點的坐標(biāo)為(0,0)，共1種； 當(dāng)n＝1時，落在直線x＋y＝1上的點的坐標(biāo)為

11、(0,1)和(1,0)，共2種； 當(dāng)n＝2時，落在直線x＋y＝2上的點的坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3種； 當(dāng)n＝3時，落在直線x＋y＝3上的點的坐標(biāo)為(1,2)，(2,1)，共2種； 當(dāng)n＝4時，落在直線x＋y＝4上的點的坐標(biāo)為(2,2)，共1種． 因此，當(dāng)Cn的概率最大時，n＝2. 答案：2 三、解答題 13．有一枚正方體骰子，六個面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6，規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個數(shù)字．已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)． (1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時，函數(shù)

12、y＝f(x)有零點的概率； (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解：(1)記“函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點”為事件A， 由題意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6， ∴所有的基本事件為(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6個． 當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點時，方程x2＋bx＋c＝0有實數(shù)根， 即Δ＝b2－4c≥0，∴c≤，∴c＝1或2， 即事件A包含2個基本事件， ∴函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點的概率P(A)＝＝. (2)由題意可知，所有的基本事件為(1,1)

13、，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個． 記“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)”為事件B. ∵y＝f(x)的圖象開口向上， ∴要想使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)， 只需－≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6. ∴事件B包含的基本事件有6個． ∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率P(B)＝＝. 14．學(xué)校組織學(xué)生參加某項比賽，參賽選手必須有很好的語言表達能力和文字組織能力．學(xué)校對10位已入圍的學(xué)生進行語言表達能力和文字組織能力的測試，測試成績分為A，B，C三個等級，

14、其統(tǒng)計結(jié)果如下表： 　　　語言表達能力 文字組織能力　　　 A B C A 2 2 0 B 1 a 1 C 0 1 b 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這10位參加測試的學(xué)生中隨機抽取一位，抽到語言表達能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為. (1)求a，b的值； (2)從測試成績均為A或B的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位語言表達能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率． 解：(1)依題意可知，語言表達能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b＋2)人， 所以＝，a＋b＝3，解得b＝1，a＝2. (2)測試成績均為A或B的學(xué)生共有7人，其中語言表達能力和

15、文字組織能力均為B的有2人，設(shè)為b1，b2，其余5人設(shè)為a1，a2，a3，a4，a5. 則基本事件空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)， (a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}． 所以基本事件空間總數(shù)為21. 選出的2人語言表達能力和文字組織能力均為B的有(b1，b2)． 所以至少有一位語言表達能力或文字組織能

16、力為A的學(xué)生的概率P＝1－＝. 1．若x∈A的同時，還有∈A，則稱A是“好搭檔集合”，在集合B＝的所有非空子集中任選一集合，則該集合是“好搭檔集合”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可得，集合B的非空子集有25－1＝31個，其中是“好搭檔集合”的有：{1}，，，，，，，共7個，所以該集合是“好搭檔集合”的概率為P＝. 2．某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”活動，按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖所示． (1)下表是年齡的頻數(shù)分布表，求出表中a，b的值； 組別 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]

17、 人數(shù) 50 50 a 150 b (2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,3組的各抽取多少人？ (3)在第(2)問的前提下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)活動，求至少有1人年齡在第3組的概率． 解：(1)由圖可知，年齡在[35,40)間的頻率為0.08×5＝0.4，年齡在[45,50)間的頻率為0.02×5＝0.1， 故a＝0.4×500＝200，b＝0.1×500＝50. (2)由(1)及表中數(shù)據(jù)知抽取的1,2,3組的人數(shù)比為1∶1∶4，故1,2,3組抽取的人數(shù)分別為1,1,4. (3)設(shè)第1組的人為A，第2組的人為B，第3組的人為c，d，e，f.現(xiàn)在隨機抽取6人，則所有的抽取方法為AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15種．記事件E為“至少有1人來自第3組”，則P(E)＝1－＝.