4、過定點D(－1,0)，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影所示，當m＝0時，直線為x＝－1，此時直線和平面區(qū)域沒有公共點，故m≠0.x＋my＋1＝0的斜截式方程為y＝－x－，斜率k＝－.
要使直線和平面區(qū)域有公共點，則直線x＋my＋1＝0的斜率k>0，即k＝－>0，即m<0，且滿足kCD≤k≤kAD.
由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD＝＝.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD＝＝，即≤k≤，則≤－≤，解得
－3≤m≤－，故選D.
對點練(二) 簡單的線性規(guī)劃問題
1．(2018·河南八市重點高中聯(lián)考)已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋，2)，若點(x，y)在三
5、角形內(nèi)部(不包含邊界)，則z＝－2x＋y的取值范圍是( )
A．(－，－1) B．(－1,1)
C．(－2，1) D．(－1，)
解析：選C 如圖，畫出三角形ABC，其內(nèi)部即為可行域．當直線y＝2x＋z經(jīng)過點B時，zmax＝－2＋3＝1，經(jīng)過點C時，zmin＝－2×(1＋)＋2＝－2.故選C.
2．(2017·河南鄭州二模)若實數(shù)x，y滿足且z＝2x＋y的最小值為4，則實數(shù)b的值為( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：選D 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，由圖可知z＝2x＋y在點A處取得最小值，且由解得∴A(1,2)．
又由題意可知A在直線y＝－x＋b上，
6、
∴2＝－1＋b，解得b＝3，故選D.
3．(2018·山東泰安檢測)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，已知點A(－1,2)，則直線AM斜率的最小值為( )
A．－ B．－2
C．0 D．
解析：選B 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖四邊形OBCD及其內(nèi)部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)．
點A(－1,2)，當M位于O時，AM的斜率最?。藭rAM的斜率k＝＝－2，故選B.
4．(2018·四川南充高中模擬)若實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的最大值為________．
解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．z＝的幾何意義是可行域內(nèi)的
7、點與點D(－1,0)連線的斜率，由圖象知直線AD的斜率最大．由得所以A(1,3)，此時z＝＝，即為要求的最大值．
答案：
5．(2018·湖北黃石模擬)已知變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為________．
解析：作出不等式組表示的可行域如圖所示，因為目標函數(shù)y＝－的斜率小于y＝x－1的斜率，
所以目標函數(shù)在點A(1,0)時，縱截距－取到最小值，此時z取到最大值為z＝1－0＝1.
答案：1
6．(2018·吉林省吉林市普通高中調(diào)研)已知O是坐標原點，點A(－1,1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是________．
解析：由題中的線性約束條
8、件作出可行域，如圖．其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.由圖可知，當直線y＝x＋z分別過點C和B時，z分別取得最大值2和最小值0，所以·的取值范圍為[0,2]．
答案：[0,2]
對點練(三) 線性規(guī)劃的實際應用
1．(2018·江西上饒模擬)甲、乙兩工廠根據(jù)賽事組委會要求為獲獎者定做某工藝品作為獎品，其中一等獎獎品3件，二等獎獎品6件；制作一等獎、二等獎獎品所用原料完全相同， 但工藝不同，故價格有所差異．甲廠收費便宜，但原料有限，最多只能制作4件獎品，乙廠原料充足，但收費較貴．兩廠具體收費如下表所示，則組委會定做獎品的費用最低為_______
9、_元.
獎品
工廠
一等獎獎品
二等獎獎品
甲
500
400
乙
800
600
解析：設甲廠生產(chǎn)一等獎獎品x件，二等獎獎品y件，x，y∈N，則乙廠生產(chǎn)一等獎獎品3－x件，二等獎獎品6－y件．由題意得x和y滿足設所需費用為z元，則z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000.
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分的整點所示．
平移直線－300x－200y＝0，即y＝－x，由圖知當直線z＝－300x－200y＋6 000，即y＝－x＋30－經(jīng)過點A時，直線的縱截距最大，z最?。山獾眉碅(3,
10、1)，滿足x∈N，y∈N，所以組委會定做獎品的費用最低為z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲廠生產(chǎn)一等獎獎品3件，二等獎獎品1件，其余都由乙廠生產(chǎn)，所需費用最低，最低費用為4 900元．
答案：4 900
2．A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品．已知A產(chǎn)品需要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；B產(chǎn)品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時．在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時．A產(chǎn)品每件利潤300元，B產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是________元．
11、
解析：設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z＝300x＋400y.作出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然z＝300x＋400y在點M或其附近的整數(shù)點處取得最大值，
由方程組解得則zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利潤是1 700元．
答案：1 700
[大題綜合練——遷移貫通]
1．已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)為頂點的三角形區(qū)域
(包括邊界與內(nèi)部)．如圖所示．
(1)寫出表示區(qū)域D的不等式組．
(2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側(cè)，求a的取值范圍．
12、
解：(1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(0,0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為
(2)根據(jù)題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，
即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.
故a的取值范圍是(－18,14)．
2．若x，y滿足約束條件
(1)求目標函數(shù)z＝x－y＋的最值；
(2)若目標函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．
解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直線x－y＋＝0，
13、可知z＝x－y＋，過A(3,4)時取最小值－2，
過C(1,0)時取最大值1.
所以z的最大值為1，最小值為－2.
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范圍為(－4,2)．
3．(2016·天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．
14、已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．
(1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤．
解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分．
(2)設利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝2x＋3y.
考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖象是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在
y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大．根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖②可知，當直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．
解方程組得點M的坐標為(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元．
（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 課時達標檢測（三十一）二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 文
