（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一單元 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案 文

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1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一單元 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案 文 [過(guò)雙基] 1．集合的含義及表示 (1)集合的含義：研究對(duì)象叫做元素，一些元素組成的總體叫做集合．集合中元素的性質(zhì)：確定性、無(wú)序性、互異性． (2)元素與集合的關(guān)系：①屬于，記為；②不屬于，記為. (3)集合的表示方法：列舉法、描述法和圖示法． (4)常用數(shù)集的記法：自然數(shù)集，正整數(shù)集N*或N＋，整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集. 2．集合間的基本關(guān)系 　　表示 關(guān)系　　 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A?x∈B A?B或B?A 真子集

2、 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A A?B，且?x0∈B，x0?A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B， B?A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ?x，x??， ??A ? 3．集合的基本運(yùn)算 　 表示 運(yùn)算　 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 記法 交集 屬于集合A屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，x∈B} A∩B 并集 屬于集合A屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，x∈B} A∪B 補(bǔ)集 全集U中屬于集合A的元素組成的集合 {x|x∈U，且x

3、A} ?UA 4．集合問(wèn)題中的幾個(gè)基本結(jié)論 (1)集合A是其本身的子集，即A?A； (2)子集關(guān)系的傳遞性，即A?B，B?C?A?C； (3)A∪A＝A∩A＝，A∪?＝，A∩?＝，?UU＝，?U?＝. 　 1．(2018·江西臨川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2?A}，則集合B中所有的元素之和為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．－2 C．0 D. 解析：選B　若k2－2＝2，則k＝2或k＝－2，當(dāng)k＝2時(shí)，k－2＝0，不滿足條件，當(dāng)k＝－2時(shí)，k－2＝－4，滿足條件；若k2－2＝0，則k＝±，顯然滿足條件；若k2

4、－2＝1，則k＝±，顯然滿足條件；若k2－2＝8，則k＝±，顯然滿足條件．所以集合B中的元素為－2，±，±，±，所以集合B中的元素之和為－2，故選B. 2．(2018·河北武邑中學(xué)期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，則B＝中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0

5、 B．{1,4} C．{2,4} D．{1,3,4} 解析：選B　因?yàn)榧蟄＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}＝{x∈N|1

6、}，B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}，則A∩B為(　　) A．(0,1) B．[0,1] C．(1,2) D．[1,2] 解析：選D　因?yàn)锳＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}． [清易錯(cuò)] 1．在寫(xiě)集合的子集時(shí)，易忽視空集． 2．在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 3．在應(yīng)用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時(shí)，易忽略A＝?的情況． 1．(2018·西安質(zhì)檢)已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈

7、M，且2x?M}的子集的個(gè)數(shù)為(　　) A．8　　　　B．4　　　　　C．3　　　　　D．2 解析：選B　由題意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4個(gè)，故選B. 2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，?UA＝{a＋3}，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：∵?UA＝{a＋3}， ∴a＋3≠2且a＋3≠|(zhì)a＋1|且a＋3∈U， 由題意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3， 解得a＝0或a＝2或a＝－3， 又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2. 答案：2 3．設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|m

8、x－1＝0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)m組成的集合是________． 解析：由題意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B?A. 當(dāng)m＝0時(shí)，B＝?，顯然成立； 當(dāng)m≠0時(shí)，B＝?{2,3}，所以＝2或＝3，即m＝或. 故m組成的集合是. 答案： [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 集合的基本概念 5年2考 集合的表示、集合元素的性質(zhì) 集合間的基本關(guān)系 未考查 集合的基本運(yùn)算 5年11考 交、并、補(bǔ)運(yùn)算，多與不等式相結(jié)合 集合的基本概念 [典例]　(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B

9、}，則M中的元素個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 (2)(2018·廈門(mén)模擬)已知P＝{x|2

10、制條件． (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．　　 [即時(shí)演練] 1．(2018·萊州一中模擬)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C?A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選C　A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4個(gè)子集，因此集合B中元素的個(gè)數(shù)為4，選C. 2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為_(kāi)_______． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－，當(dāng)m＝1時(shí)

11、，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－時(shí)，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－. 答案：－ 集合間的基本關(guān)系 [典例]　(1)已知集合A＝{x|0

12、?(A∩B)，所以B?A. ①當(dāng)B＝?時(shí)，滿足B?A， 此時(shí)－a≥a＋3，即a≤－； ②當(dāng)B≠?時(shí)，要使B?A，則 解得－

13、 B＝{x|x＝－1或x＝－m}． 因?yàn)锽?A， 當(dāng)－m＝－1，即m＝1時(shí)，滿足題意； 當(dāng)－m＝－2，即m＝2時(shí)，滿足題意，故m＝1或2. 答案：1或2 2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，則c＝________. 解析： 由log2x≤2，得04，即c＝4. 答案：4 集合的基本運(yùn)算 集合運(yùn)算多與解簡(jiǎn)單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對(duì)集合的理解及不等式的有關(guān)知識(shí)；有些集合題為抽象集合題或新定義型集

14、合題，考查學(xué)生的靈活處理問(wèn)題的能力. 常見(jiàn)的命題角度有： (1)求交集或并集； (2)交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算； (3)集合運(yùn)算中的參數(shù)范圍； (4)集合的新定義問(wèn)題. 角度一：求交集或并集 1．(2017·山東高考)設(shè)函數(shù)y＝的定義域?yàn)锳，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域?yàn)锽，則A∩B＝(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) 解析：選D　由題意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}． 2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1

15、．(－1,2) B．(0,1) C．(－1,0) D．(1,2) 解析：選A　根據(jù)集合的并集的定義，得P∪Q＝(－1,2)． 角度二：交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算 3．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩(?UB)＝(　　) A．(0,2] B．(－1,2] C．[－1,2] D．[2，＋∞) 解析：選D　因?yàn)锳＝{x|x>0}，B＝{x|－1

16、_. 解析：A＝{x|0

17、　) A．P B．M∩P C．M∪P D．M 解析：選B　設(shè)全集U，由題意可得M－P＝M∩(?UP)，所以M－(M－P)＝M∩P. 7．對(duì)于集合M，定義函數(shù)fM(x)＝對(duì)于兩個(gè)集合A，B，定義集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，則用列舉法寫(xiě)出集合AΔB的結(jié)果為_(kāi)_______． 解析：由題意知當(dāng)x∈A且x?B或x∈B且x?A時(shí)，有fA(x)·fB(x)＝－1成立，所以AΔB＝{1,6,10,12}． 答案：{1,6,10,12} [方法技巧] 解集合運(yùn)算問(wèn)題4個(gè)注意點(diǎn) (1)看元素構(gòu)成 集合是

18、由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵． (2)對(duì)集合化簡(jiǎn) 有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決． (3)應(yīng)用數(shù)形 常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸和Venn圖． (4)創(chuàng)新性問(wèn)題 以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來(lái)的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決．　　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則(　　) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝? 解析：選A　∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x

19、<0}， ∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故選A. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 解析：選C　因?yàn)锽＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1

20、,2) D．(2,3) 解析： 選A　將集合A與集合B在數(shù)軸上畫(huà)出(如圖)． 由圖可知A∪B＝(－1,3)，故選A. 4．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2 －x－2＝0}，則A∩B＝(　　) A．? B．{2} C．{0} D．{－2} 解析：選B　因?yàn)锽＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故選B. 5．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，則(　　) A．A∩B＝? B．A∪B＝R C．B?A D.A?B 解析：選

21、B　因?yàn)榧螦＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故選B. 一、選擇題 1．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－23}，則A∩B＝(　　) A．{x|－2

22、{x|2x∈N}， 所以由2x∈N可得A∩B＝，其元素的個(gè)數(shù)是6. 3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　因?yàn)锳表示圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)的集合，B表示直線y＝x上的點(diǎn)的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2. 4．設(shè)集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>0}，則A∪B＝(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，3) C．(0,3) D．(－1,3) 解析：選A　因?yàn)榧螦＝{x|x2－2

23、x－3<0}＝{x|－10}，所以A∪B＝{x|x>－1}． 5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 解析：選C　因?yàn)锳∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}． 6．設(shè)集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個(gè)數(shù)是(　

24、　) A．7 B．10 C．25 D．52 解析：選B　因?yàn)锳＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}， 所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}． 由x∈A∩B，可知x可取0,1； 由y∈A∪B，可知y可?。?,0,1,2,3. 所以元素(x，y)的所有結(jié)果如下表所示： 　 y －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A*B中的元素共有10個(gè)． 7．(2017·吉林一模)設(shè)集合A＝{0,1}，集

25、合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．[0,1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：選B　由題意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，畫(huà)出數(shù)軸(如圖所示)．若A∩B中只有一個(gè)元素，則0≤a<1，故選B. 8．設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(　　) A．{x|0

26、P＝{x|0

27、集合{x|x≥a}的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：∵由≥1，得x≥2，∴B＝{x|x≥2}． ∵A＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}． 若集合A∩B＝{x|2≤x≤3}是集合{x|x≥a}的子集， 則a≤2. 答案：(－∞，2] 11．(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有兩個(gè)元素的子集，且滿足下列三個(gè)條件：①若a1∈A，則a2∈A；②若a3?A，則a2?A；③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝________.(用列舉法表示) 解析：假設(shè)a1∈A，則a2∈A，由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A

28、，故假設(shè)不成立；假設(shè)a4∈A，則a3?A，a2?A，a1?A，故假設(shè)不成立．故集合A＝{a2，a3}． 答案：{a2，a3} 12．(2016·北京高考)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類(lèi)情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種．則該網(wǎng)店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有________種； ②這三天售出的商品最少有________種． 解析：設(shè)三天都售出的商品有x種，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y種，則三天售出商品的種類(lèi)關(guān)系如圖所示． 由圖可知： ①第一天售出但第二天未售出的商

29、品有19－(3－x)－x＝16(種)． ②這三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(種)． 由于所以0≤y≤14. 所以(43－y)min＝43－14＝29. 答案：①16?、?9 三、解答題 13．已知A＝{x|－13}． 當(dāng)B＝?時(shí)，則m≥1＋3m，得m≤－，滿足B??RA，

30、 當(dāng)B≠?時(shí)，要使B??RA，須滿足或解得m>3. 綜上所述，m的取值范圍是∪(3，＋∞)． 14．記函數(shù)f(x)＝ 的定義域?yàn)锳，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定義域?yàn)锽. (1)求A； (2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由2－≥0，得≥0， 解得x<－1或x≥1， 即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)由(x－a－1)(2a－x)>0， 得(x－a－1)(x－2a)<0， ∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)， ∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2， ∵a<1，∴≤a<1或a≤－2， ∴實(shí)數(shù)

31、a的取值范圍是(－∞，－2]∪. 1．已知定義域均為{x|0≤x≤2}的函數(shù)f(x)＝與g(x)＝ax＋3－3a(a>0)，設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的值域分別為A與B，若A?B，則a的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．[1,2] C．[0,2] D．[1，＋∞) 解析：選B　因?yàn)閒′(x)＝，所以f(x)＝在[0,1)上是增函數(shù)，在(1,2]上是減函數(shù)， 又因?yàn)閒(1)＝1，f(0)＝0，f(2)＝，所以A＝{x|0≤x≤1}； 由題意易得B＝[3－3a,3－a]， 因?yàn)閇0,1]?[3－3a,3－a]， 所以3－3a≤0且3－a≥1，解得1≤a≤2. 2．已

32、知集合A＝{x|x2－2 018x＋2 017<0}，B＝{x|log2x

33、分類(lèi) 命題、命題 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系： (2)四種命題中真假性的等價(jià)關(guān)系：原命題等價(jià)于逆否命題，原命題的否命題等價(jià)于逆命題．在四種形式的命題中真命題的個(gè)數(shù)只能是0,2,4. 3．充要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p成立的對(duì)象的集合為A，q成立的對(duì)象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且qp A是B的真子集 集合與 充要條件 p是q的必要不充分條件 pq且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q A＝B p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp A，B互不包含 1．命題“若

34、a>b，則ac>bc”的逆否命題是(　　) A．若a>b，則ac≤bc　　　 B．若ac≤bc，則a≤b C．若ac>bc，則a>b D．若a≤b，則ac≤bc 解析：選B　由逆否命題的定義可知，答案為B. 2．已知命題p：對(duì)于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命題q：奇函數(shù)f(x)的圖象必過(guò)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．p∧q為真 B．(綈p)∨q為真 C．p∧(綈q)為真 D．(綈p)∧q為真 解析：選C　由指數(shù)函數(shù)與基本不等式可知，命題p是真命題；當(dāng)函數(shù)f(x)＝時(shí)，是奇函數(shù)但不過(guò)原點(diǎn)，則可知命題q是假命題，所以p∧(綈q)是真命題，故選C. 3．已知p：x

35、>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：選A　法一：設(shè)P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因?yàn)閝是p的充分不必要條件，所以QP，因此a≥1. 法二：令a＝－3，則q：x>－3，則由命題q推不出命題p，此時(shí)q不是p的充分條件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，選A. 4．已知命題p：x≠＋2kπ，k∈Z；命題q：sin x≠，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選

36、B　令x＝，則sin x＝，即p?/ q；當(dāng)sin x≠時(shí)，x≠＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，即q?p，因此p是q的必要不充分條件． [清易錯(cuò)] 1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論． 2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同． 1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題是(　　) A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，則x，y全不為0 B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，則x，y不全為0 C．若x，y∈R且x，y全為0，則x2＋y2＝0 D．若x，y∈R

37、且xy≠0，則x2＋y2＝0 解析：選B　原命題的條件：x，y∈R且x2＋y2＝0， 結(jié)論：x，y全為0.否命題是否定條件和結(jié)論． 即否命題：“若x，y∈R且x2＋y2≠0，則x，y不全為0”． 2．設(shè)a，b∈R，函數(shù)f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，則f(x)>0恒成立是a＋2b>0成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　充分性：因?yàn)閒(x)>0恒成立， 所以則a＋2b>0，即充分性成立； 必要性：令a＝－3，b＝2，則a＋2b>0成立，但是，f(1)＝a＋b>0不成立，即f(x)>0不恒成立，則必要性

38、不成立． 所以答案為A. [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 四種命題的相互關(guān)系及真假判斷 5年1考 命題的真假判斷 充分條件、必要條件 5年1考 充要條件的判斷 命題的相互關(guān)系及真假性 [典例]　(1)(2018·西安八校聯(lián)考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　) A．逆命題　　　　　　　 B．否命題 C．逆否命題 D．否定 (2)原命題為“若

39、．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 [解析]　(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫(xiě)成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題． (2)原命題是：“若an＋1

40、數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷；二是利用原命題和其逆否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷．　　 [即時(shí)演練] 1．已知命題α：如果x<3，那么x<5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如果x≥5，那么x≥3.關(guān)于這三個(gè)命題之間的關(guān)系，下列三種說(shuō)法正確的是(　　) ①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題； ②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題； ③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題． A．①③　　 B．②　　 　　C．②③　　　　D．①②③ 解析：選A　命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以

41、否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定，然后交換條件與結(jié)論所得，因此①正確，②錯(cuò)誤，③正確． 2．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．3　　　　B．2　　　　　C．1　　　　　D．0 解析：選C　易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題只有一個(gè)． 充分、必要條件的判定 [典例]　(1)(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5

42、”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)設(shè)α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分條件，則m的取值范圍是________． [解析]　(1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5. (2)若α是β的充分條件，則α對(duì)應(yīng)的集合是β對(duì)應(yīng)集合的子集，則解得－≤m≤0. [答案]　(1)C　(2) [方法技巧] 充要條件的3種判斷方法 定義法 直接判斷若p則q，若q

43、則p的真假 等價(jià)法 即利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法 集合法 即設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若A＝B，則p是q的充要條件 [即時(shí)演練] 1．(2016·四川高考)設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　∵∴x＋y>2，即p?q. 而當(dāng)x＝0，y＝

44、3時(shí)，有x＋y＝3>2，但不滿足x>1且y>1，即q ?/ p．故p是q的充分不必要條件． 2．已知m，n∈R，則“mn <0”是“拋物線mx2＋ny＝0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　若“mn<0”，則x2＝－y中的－>0，所以“拋物線mx2＋ny＝0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”成立，是充分條件；反之，若“拋物線mx2＋ny＝0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”，則x2＝－y中的－>0，即mn <0，則“mn <0”成立，故是充要條件. 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍 根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)

45、的范圍是對(duì)充分條件、必要條件與集合之間關(guān)系的深層次考查． 此類(lèi)題的解決方法一般有兩種： (1)直接法：先求出p，q為真命題時(shí)所對(duì)應(yīng)的條件，然后表示出綈p與綈q，把綈p與綈q所對(duì)應(yīng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為綈p與綈q所對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，列出參數(shù)所滿足的條件求解； (2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法，把綈p，綈q的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p，q的關(guān)系． [典例]　(2018·安徽黃山調(diào)研)已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1， ∴條件p對(duì)應(yīng)的集合P＝. 由x2－(2a＋

46、1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1， ∴條件q對(duì)應(yīng)的集合為Q＝{x|a≤x≤a＋1}． 法一：用“直接法”解題 綈p對(duì)應(yīng)的集合A＝， 綈q對(duì)應(yīng)的集合B＝{x|x>a＋1或x

47、要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．　　 [即時(shí)演練] 1．(2018·安陽(yáng)調(diào)研)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴?RB＝{x|xm＋2}．

48、∵p是綈q的充分條件，∴A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3. 答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞) 2．若“x2>1”是“x1，得x<－1，或x>1， 又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值為－1. 答案：－1 1．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)，則(　　) A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

49、 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 解析：選C　當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，x＝x0不一定是f(x)的極值點(diǎn)，比如，y＝x3在x＝0時(shí)，f′(0)＝0，但在x＝0的左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)相同，因而x＝0不是y＝x3的極值點(diǎn)． 由極值的定義知，x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)必有f′(x0)＝0.綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件． 2．(2017·天津高考)設(shè)θ∈R，則“<”是“sin θ<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　法一：由<，得0<θ<，

50、 故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”． 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 法二：. 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 3．(2016·北京高考)設(shè)a，b是向量，則“| a |＝|b|”是“|a＋b |＝|a－b|”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　若|a|＝|b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為菱形．a(chǎn)＋b，a－b表示的是該菱形的對(duì)角線，而菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度不

51、一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，從而不是充分條件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，而矩形的鄰邊長(zhǎng)度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，從而不是必要條件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件． 4．(2015·陜西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　cos 2α＝0等價(jià)于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2

52、α＝0，反之不成立，故選A. 5．(2015·重慶高考)“x＞1”是“l(fā)og (x＋2)＜0”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　∵x＞1?log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，∴“x＞1”是“l(fā)og (x＋2)＜0”的充分而不必要條件． 一、選擇題 1．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1　 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α＝ D．若tan α≠1，則α≠ 解析：選D　逆否命題是將原命題中的條

53、件與結(jié)論都否定后再交換位置即可． 所以逆否命題為：若tan α≠1，則α≠. 2．在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是(　　) A．都真 B．都假 C．否命題真 D．逆否命題真 解析：選D　對(duì)于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，這是一個(gè)真命題，所以其逆否命題也為真命題；但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下”是一個(gè)假命題，因?yàn)楫?dāng)不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空時(shí)，可以有a>0，即拋物線的

54、開(kāi)口可以向上，因此否命題也是假命題．故選D. 3．“直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝1相交”是“0e，a－ln x<0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1 解析：選B　由題意知?x>e，a

55、n x恒成立，因?yàn)閘n x>1，所以a≤1，故答案為B. 5．a(chǎn)2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因?yàn)閍2＋b2＝1，所以設(shè)a＝cos α，b＝sin α，則asin θ＋bcos θ＝sin(α＋θ)≤1恒成立；當(dāng)asin θ＋bcos θ≤1恒成立時(shí)，只需asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)≤≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不滿足必要性． 6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，則“a⊥b”是“x＝2”的(　　) A．充分不必要條件

56、 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　若“a⊥b”，則a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，則x＝2或x＝－；若“x＝2”，則a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分條件． 7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　在△ABC中，當(dāng)A＝B時(shí)，sin A－sin B＝cos B－cos A顯然成立，即必要性成立；當(dāng)s

57、in A－sin B＝cos B－cos A時(shí)，則sin A＋cos A＝sin B＋cos B，兩邊平方可得sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝，即充分性不成立．則在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分條件． 8．設(shè)m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是(　　) A．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”的充要條件 B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 解析：選C　由垂直于同一

58、條直線的兩個(gè)平面平行可知，A正確；顯然，當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”?“α⊥β”；當(dāng)m?α?xí)r，“α⊥β”?/ “m⊥β”，故B正確；當(dāng)m?α?xí)r，“m∥n”?/ “n∥α”， n也可能在平面α內(nèi)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”?“m⊥n”，反之不成立，故D正確． 二、填空題 9．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是________． 解析：其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題． 答案：2 10．下列命題正確的序號(hào)是________． ①命題“若a>b，則2a>2b”的否命題是真命題； ②命題“a，b都是偶數(shù)，則a＋b是

59、偶數(shù)”的逆否命題是真命題； ③若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件； ④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要條件是a＝±. 解析：①否命題“若2a≤2b，則a≤b”，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，該命題正確；②由互為逆否命題真假相同可知，該命題為真命題；由互為逆否命題可知，③是真命題；④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，則a＝0或求解可得a＝0或a＝±，故④是假命題． 答案：①②③ 11．已知集合A＝，B＝{x|－1

60、的一個(gè)充分不必要條件是x∈A， ∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 答案：(2，＋∞) 12．給出下列四個(gè)結(jié)論： ①若am2

61、置關(guān)系，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)m＝3時(shí)，直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直；當(dāng)直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直時(shí)，(m＋3)m－6m＝0，則m＝3或m＝0，即m＝3是直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要條件，則④正確． 答案：①②④ 三、解答題 13．寫(xiě)出命題“已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假． 解：(1)逆命題：已知a，b∈R，若a2≥4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題． (2)否命

62、題：已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒(méi)有非空解集，則a2<4b，為真命題． (3)逆否命題：已知a，b∈R，若a2<4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒(méi)有非空解集，為真命題． 14．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：y＝x2－x＋1＝2＋， ∵x∈，∴≤y≤2， ∴A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2， ∴B＝{x|x≥1－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件， ∴A?B，∴1－m2≤， 解得m≥或m≤－， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. 1．下列四個(gè)命題中， ①命題“

63、若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”； ②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件； ③命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆命題為真命題； ④命題“若m2＋n 2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0且n≠0”； ⑤對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若滿足＝＋＋，則P，A，B，C四點(diǎn)一定共面． 其中真命題的為_(kāi)_______．(填序號(hào)) 解析：①命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，故①正確； ②x＝4?x2－3x－4＝0；由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4

64、. ∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要條件，故②正確； ③命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m>0”，是假命題，如m＝0時(shí)，方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，故③錯(cuò)誤； ④命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”，故④錯(cuò)誤； ⑤∵＋＋＝1，∴對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若滿足＝＋＋，則P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，故⑤正確． 答案：①②⑤ 2．已知p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)． (1)若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____

65、__； (2)若“綈p”是“綈q”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：由題知，p為真時(shí)，－2≤x≤6，q為真時(shí)，1－m≤x≤1＋m， 令P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)∵p是q的充分不必要條件，∴PQ， ∴或解得m≥5， ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5，＋∞)． (2)∵“綈p”是“綈q”的充分條件，∴“p”是“q”的必要條件， ∴Q?P，∴解得0

66、，綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 2．全稱量詞與存在量詞 量詞名稱 常見(jiàn)量詞 符號(hào)表示 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等 存在量詞 存在一個(gè)、至少一個(gè)、有些、某些等 3．全稱命題和特稱命題 　　名稱 形式　　 全稱命題 特稱命題 結(jié)構(gòu) 對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立 存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立 簡(jiǎn)記 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0) 否定 ?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x) 1．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題的是(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．①④ C．②③ D．②④ 解析：選C　當(dāng)x>y時(shí)，－x<－y，故命題p為真命題，從而綈p為假命題． 當(dāng)x>y時(shí)，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題． 故①p∧q為假