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1、湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練07 幾何動點探究題練習(xí)
07
幾何動點探究題
1.[xx·宿遷] 如圖ZT7-1,在邊長為1的正方形ABCD中,動點E,F分別在邊AB,CD上,將正方形ABCD沿直線EF折疊,使點B的對應(yīng)點M始終落在邊AD上(點M不與點A,D重合),點C落在點N處,MN與CD交于點P,設(shè)BE=x.
(1)當(dāng)AM=時,求x的值.
(2)隨著點M在邊AD上位置的變化,△PDM的周長是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出該定值.
(3)設(shè)四邊形BEFC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最小值.
圖ZT7-1
2、
2.[xx·湘潭] 如圖ZT7-2,動點M在以O(shè)為圓心,AB為直徑的半圓弧上運(yùn)動(點M不與點A,B及的中點F重合),連接OM,過點M作ME⊥AB于點E,以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE,過點M作☉O的切線交射線DC于點N,連接BM,BN.
(1)探究:如圖①,當(dāng)動點M在上運(yùn)動時:
①判斷△OEM∽△MDN是否成立?請說明理由.
②設(shè)=k,k是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
③設(shè)∠MBN=α,α是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
(2)拓展:如圖②,當(dāng)動點M在上運(yùn)動時:
分別判斷(1)中的三個結(jié)論是否保持不
3、變?如有變化,請直接寫出正確的結(jié)論(均不必說明理由).
圖ZT7-2
3.[xx·湖州] 如圖ZT7-3①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC中,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側(cè)),BC=2,AB=2,△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱.
(1)當(dāng)OB=2時,求點D的坐標(biāo).
(2)若點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上,求OB的長.
(3)如圖②,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點D1的反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象與BA的延
4、長線交于點P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點P,A1,D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由.
圖ZT7-3
4.[xx·永州] 如圖ZT7-4①,在△ABC中,矩形EFGH的一邊EF在AB上,頂點G,H分別在BC,AC上,CD是邊AB上的高,CD交GH于點I.若CI=4,HI=3,AD=,矩形DFGI恰好為正方形.
(1)求正方形DFGI的邊長.
(2)如圖②,延長AB至P,使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移,當(dāng)點G剛好落在CP上時,試
5、判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形,為什么?
(3)如圖③,連接DG,將正方形DFGI繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF'G'I',正方形DF'G'I'分別與線段DG,DB相交于點M,N,求△MNG'的周長.
圖ZT7-4
參考答案
1.解: (1)由折疊可知,ME=BE=x,
∴AE=1-x.
在Rt△AEM中,由AM=,
得2+(1-x)2=x2.
解得x=.
(2)不發(fā)生變化.
如圖①,連接BM,BP,過點B作BH⊥MN,垂足為H.
∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB.
∵∠EBC=
6、∠EMN,
∴∠EBC-∠EBM=∠EMN-∠EMB,即∠MBC=∠BMN.
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,
∴∠AMB=∠BMN.
又∵∠A=∠MHB,BM=BM,
∴△BAM≌△BHM.
∴AM=HM,BH=AB.
∵BC=AB,∴BH=BC.
又∵BP=BP,
∴Rt△BHP≌Rt△BCP.
∴HP=PC.
∴△MDP的周長=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.
∴△MDP的周長為定值,周長為2.
(3)如圖②,連接BM,過點F作FQ⊥AB,垂足為Q,則QF=BC=AB.
∵∠BEF+∠EBM=90°,∠
7、AMB+∠EBM=90°,
∴∠BEF=∠AMB.
又∵∠A=∠EQF=90°,
∴△AMB≌△QEF.
∴AM=EQ.
設(shè)AM=a,則a2+(1-x)2=x2.
∴a=.
∴CF=QB=x-.
∴S=(CF+BE)×1
=(x-+x)
=(2x-).
設(shè)=t,則2x=t2+1.
∴S=(t2+1-t)=t-2+.
∴當(dāng)t=,即x=時,S的最小值為.
2.解:(1)①△OEM∽△MDN.理由:∵M(jìn)E⊥AB,∴∠MEO=90°.
∵四邊形BCDE是正方形,
∴∠NDM=90°.
∴∠NDM=∠MEO.
∵M(jìn)N是過點M的☉O的切線,
∴OM⊥MN.
8、∴∠DMN+∠EMO=90°.
又∠EMO+∠EOM=90°,
∴∠DMN=∠EOM.
∴△OEM∽△MDN.
②設(shè)OE=x,ME=y,圓的半徑為r,
則BE=BC=CD=DE=x+r,
MD=DE-ME=x+r-y,x2+y2=r2.
∵△OEM∽△MDN,
∴==,即==,可以得到MN=,DN=,
ME+NC=ME+DC-DN=y+x+r-=====MN.
∴=1,
即k=1為定值.
③α=45°為定值.如圖,在射線DC上取點H,使得ME=CH,連接BH.
在△MEB和△HCB中,
∴△MEB≌△HCB(SAS).
∴∠MBE=∠HBC,BM=BH.
9、
由②知,ME+NC=MN,
∴MN=NC+CH=NH.
在△MBN和△HBN中,
∴△MBN≌△HBN(SSS).
∴∠MBN=∠HBN.
∵∠EBC=∠EBM+∠MBN+∠NBC=∠MBN+∠NBH=2∠MBN=90°,
∴∠MBN=45°.
(2)(1)中的第一個結(jié)論和第三個結(jié)論不變,第二個結(jié)論變成=k,k為定值.
3.解:(1)如圖,過點D作DE⊥x軸于點E.
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ACB==.∴∠ACB=60°.
由對稱可知DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠DCE=60°.
∴∠CDE=90°-60°=30°.
∴CE=1,DE=
10、.
∴OE=OB+BC+CE=5.
∴點D的坐標(biāo)是(5,).
(2)設(shè)OB=a,則點A的坐標(biāo)是(a,2).
由題意,得CE=1,DE=.
∴點D的坐標(biāo)是(3+a,).
∵點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上,
∴2a=(3+a).
解得a=3,即OB的長為3.
(3)存在,k的值為10或12.
求解過程如下:
由(2)可知,D的坐標(biāo)為(6,).
∴點D1的縱坐標(biāo)為.
∵點D1在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴點D1的橫坐標(biāo)為=.
∴點D1的坐標(biāo)為,.
同理,點P的坐標(biāo)為3,.
由(2)可知,點A,D的橫坐標(biāo)相差3,
∴點A1的橫坐標(biāo)為-3.
∴點A1的坐標(biāo)
11、為-3,2.
由此可得A1D2=-3-62+(2-)2=-6k+84,
PD2=(3-6)2+-2=-+12,
A1P2=-62+2-2=-+48.
①當(dāng)PD2=A1D2+A1P2時,
-+12=-6k+84+-+48,
解得k1=10,k2=6.
當(dāng)k=6時,點D和點D1重合,不合題意,舍去.
②當(dāng)A1P2=A1D2+PD2時,
-+48=-6k+84+-+12,
解得k=12.
③當(dāng)A1D2=A1P2+PD2時,
-6k+84=-+48+-+12,
解得k1=6(舍去),k2=-6(舍去).
綜上,k的值為10或12.
4.解:(1)∵HI∥AD,∴=.
∴
12、=.∴CD=6,∴ID=CD-CI=2.
∴正方形DFGI的邊長為2.
(2)如圖①,設(shè)點G落在PC上時對應(yīng)的點為G',點F的對應(yīng)點為F'.
∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P.
∵HG'∥PA,∴∠CHG'=∠A,∠CG'H=∠P.
∴∠CHG'=∠CG'H.∴CH=CG'.∴IH=IG'=DF'=3.
∵IG∥DB,∴=,∴=.
∴DB=3.∴DF'=DB=3.∴點B與點F'重合.
∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG'.
∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形.
(3)如圖②(忽略線段GF),將△DMI'繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF'R,此時點N,F',R共線.
∵∠MDN=∠NDF'+∠MDI'=∠NDF'+∠F'DR=∠NDR=45°,
DN=DN,DM=DR.
∴△NDM≌△NDR.
∴MN=NR=NF'+RF'=NF'+MI'.
∴△MNG'的周長=MN+MG'+NG'=MG'+MI'+NF'+NG'=2I'G'=4.
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