江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)、不等式與導數(shù) 5.2 小題考法—不等式達標訓練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)、不等式與導數(shù) 5.2 小題考法—不等式達標訓練（含解析） 1．當x＞0時，f(x)＝的最大值為________． 解析：因為x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1， 當且僅當x＝，即x＝1時取等號． 答案：1 2．若0

2、b＝1，則2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2，當且僅當a＝2b＝，即a＝且b＝時等號成立． 答案：2 4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當a－2＝0，即a＝2時，原不等式為－4<0， 所以a＝2時不等式恒成立， 當a－2≠0，即a≠2時，由題意得 即 解得－2

3、____． 解析：設(shè)底面矩形的一邊長為x.由容器的容積為4 m3，高為1 m，得另一邊長為 m. 記容器的總造價為y元， 則y＝4×20＋2×1×10 ＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 當且僅當x＝，即x＝2時等號成立． 因此，當x＝2時，y取得最小值160， 即容器的最低總造價為160元． 答案：160元 6．已知a>0, b>0，且＋＝，則ab的最小值是________． 解析：因為＝＋≥2 ，所以ab≥2，當且僅當＝＝時取等號． 答案：2 7．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________． 解析：因為x∈(a

4、，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，當且僅當x－a＝1時等號成立． 由題意可知4＋2a≥7，解得a≥，即實數(shù)a的最小值為. 答案： 8．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化簡得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實

5、數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因為f(x)＝x2＋mx－1是開口向上的二次函數(shù)，所以函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點處取到，所以對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需 即 解得所以－

6、_． 解析：由cos(α＋β)＝， 得cos αcos β－sin αsin β＝， 即cos αcos β＝sin α， 由α，β均為銳角得cos α≠0，tan β>0， 所以tan α＝＝＝＝＝≤＝， 當且僅當2tan β＝，即tan β＝時，等號成立． 答案： 12．(2018·山西八校聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________. 解析：設(shè)z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由z＝3(x－a)＋2(y＋1)， 得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當直線過點A

7、時，z取得最大值， 由得即A(1,3)． 又目標函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2. 答案：2 13．設(shè)實數(shù)x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________． 解析：法一：因為－y2＝1， 所以3x2－2xy＝＝， 令k＝∈， 則3x2－2xy＝＝， 再令t＝3－2k∈(2,4)，則k＝， 故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當且僅當t＝2時等號成立． 法二：因為－y2＝1＝，所以令＋y＝t，則－y＝，從而則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當且僅當t2＝時等號成立． 答案：6＋4 14．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于

8、x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示． 當x≤1時，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故對于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；當x>1時，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，當且僅當＝，即x＝2時等號成立，所以a≤2.綜上，a的取值范圍是. 答案： B組——力爭難度小題 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x，若當x∈[0,1]時，－1≤f(x)≤1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：

9、當x＝0時，f(x)＝0，不等式成立； 當x∈(0,1]時，不等式－1≤f(x)≤1，即 其中∈[1，＋∞)， 從而 解得－2≤a≤0. 答案：[－2,0] 2．(2018·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為________． 解析：由a，b，c均為正數(shù)，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2 ＋2 ＝8，當且僅當a＝b＝2時，等號成立，所以a＋b＋c的最小值為8. 答案：8 3．(2018·洛陽尖子生統(tǒng)考)已知x，y滿足約束條件則的取值范圍是________． 解

10、析：畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的點(x，y)與點P(－1，－1)連線的斜率．由圖可知，當x＝0，y＝3時，取得最大值，且max＝9.因為點P(－1，－1)在直線y＝x上，所以當點(x，y)在線段AO上時，取得最小值，且min＝3.所以的取值范圍是[3,9]． 答案：[3,9] 4．已知函數(shù)f(x)＝若存在唯一的整數(shù)x，使得＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 易知，點A(1,3)，B(－1,2)，C(2,0)，D(－2,8)． 當a<0時，則點M(0，a)與點C，點A連線的斜率都大于0，故

11、不符合題意； 當0≤a≤2時，則僅有點M(0，a)與點A連線的斜率大于0，故符合題意； 當28時，則點M(0，a)與點B，點D連線的斜率都大于0，故不符合題意． 綜上，實數(shù)a的取值范圍為[0,2]∪[3,8]． 答案：[0,2]∪[3,8] 5．(2018·鎮(zhèn)江期末)已知a，b∈R，a＋b＝4，則＋的最大值為________． 解析：法一：(ab作為一個變元)ab≤2＝4， ＋＝ ＝＝. 設(shè)t＝9－ab≥5， 則＝≤

12、＝， 當且僅當t2＝80時等號成立， 所以＋的最大值為. 法二：(均值換元)因為a＋b＝4， 所以令a＝2＋t，b＝2－t， 則f(t)＝＋＝＋ ＝， 令u＝t2＋5≥5， 則g(u)＝＝≤＝，當且僅當u＝4時等號成立．所以＋的最大值為. 答案： 6．已知對任意的x∈R,3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，則當a＋b取得最小值時，a的值是________． 解析：由題意可令sin x＋cos x＝－，兩邊平方得1＋2sin xcos x＝，即sin 2x＝－，代入3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3，解得－a－b≤3，可得a＋b≥－2，當a＋b＝－2時，令t＝sin x＋cos x＝sin∈[－， ]，則sin 2x＝t2－1. 所以3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3對t∈[－，]恒成立， 即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0對t∈[－，]恒成立． 記f(t)＝2(a＋2)t2－3at－2a－1，t∈[－，]． 因為f＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t為自變量的一元二次函數(shù)， 所以解得a＝－. 答案：－