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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練（六）（理）（含解析）
1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知矩陣A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲線C1：＋＝1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．
解：(1)因為A＝，B＝，
所以AB＝＝.
(2)設(shè)Q(x0，y0)為曲線C1上的任意一點，
它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)，
則＝，即所以
因為點Q(x0，y0)在曲線C1上，則＋＝1，
從而＋＝1，即x2＋y2＝8.
因此曲線C1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得
2、到曲線C2：x2＋y2＝8.
B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為θ＝β，若圓C與直線l相切，求直線l的極坐標方程．
解：圓的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝1，
設(shè)直線l對應(yīng)的直角坐標方程為y＝kx，
因為圓C與直線l相切，
所以d＝＝1，得到k＝±，
故直線l的極坐標方程θ＝或θ＝.
C．[選修4－5：不等式選講]
已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.
證明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋
3、b2)(c2＋d2)．
因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
因此ac＋bd≤8.
2.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，D為CC1上任意一點(含端點)．
(1)若D為CC1的中點，求異面直線BA1與AD所成角的余弦值；
(2)當(dāng)點D與點C1重合時，求二面角A1BDA的正弦值．
解：建立如圖所示的空間直角坐標系，易知A(0,0,0)，B(0，－2,0)，A1(0,0,2)，C1(2,0,2)，
所以＝(0，－2,0)，＝(0,2,2)．
(1)若D為CC1的中點，則＝(2,0,1)，
設(shè)直線B
4、A1與直線AD的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
因此異面直線BA1與AD所成角的余弦值為.
(2)當(dāng)點D與點C1重合時，易知D(2,0,2)，則＝(2,2,2)，
設(shè)平面A1BD的法向量為m＝(x，y，z)，
則即
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，即平面A1BD的一個法向量為m＝(0,1，－1)，
同理，可得平面ABD的一個法向量為n＝(－1,0,1)．
設(shè)二面角A1BDA的大小為α，
則|cos α|＝＝＝，
因為α∈[0，π]，所以sin α＝＝，
因此二面角A1BDA的正弦值為.
3．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，對任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋
5、.
(1)求證：當(dāng)n≥2時，an≥2；
(2)利用“?x＞0，ln(1＋x)＜x”，證明：an＜2e (其中e是自然對數(shù)的底數(shù))．
證明：(1)①由題意，a2＝×1＋＝2，故當(dāng)n＝2時，a2＝2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時不等式成立，即ak≥2，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋＞2.
所以，當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立．
根據(jù)①②可知，對所有n≥2，an≥2成立.
(2)當(dāng)n≥2時，由遞推公式及(1)的結(jié)論有an＋1＝an＋≤an(n≥2)．
兩邊取對數(shù)，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得
ln an＋1≤ln＋ln an＜ln an＋＋，
故ln an＋1－ln an＜＋(n≥2)，
求和可得ln an－ln a2＜＋＋…＋＋＋＋…＋
＝＋＋…＋＋·＝－＋－<.
由(1)知，a2＝2，故有l(wèi)n＜，
即an＜2e (n≥2)，
而a1＝1＜2e，所以對任意正整數(shù)n，有an＜2e.
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