2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)7 空間線、面的位置關(guān)系 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時(shí)集訓(xùn)7 空間線、面的位置關(guān)系 文 一、選擇題 1．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l⊥α，α∥β，則l⊥β C．若l∥α，α∥β，則l?β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β B　[若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A錯(cuò)誤； 若l⊥α，α∥β，由平面平行的性質(zhì)，可得l⊥β，故B正確； 若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故C錯(cuò)誤； 若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β或l?β，故D錯(cuò)誤；故選B.] 2．(2018·安慶模擬)正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，

2、BD的中點(diǎn)，則異面直線AF，CE所成角的余弦值為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. C　[取BF的中點(diǎn)G，連接CG，EG，(圖略)易知EG∥AF，所以異面直線AF，CE所成的角即為∠GEC(或其補(bǔ)角)． 不妨設(shè)正四面體棱長為2，易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，∴異面直線AF，CE所成角的余弦值為.] 3．如圖2-4-28，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD.則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是(　　) 圖2-4-28 A．

3、平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC D　[∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故選D.] 圖2-4-29 4．(2018·南昌模擬)如圖2-4-29，在四面體ABCD中， 已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(　　) A．直線AB上

4、 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 A　[因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．] 5．在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)，且E，F(xiàn)不重合，則直線AB1與直線EF的位置關(guān)系是(　　) A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．異面且垂直 D　[連接A1B，則AB1⊥平面A1BCD1，又EF?平面A1BCD1，則AB1⊥EF，且AB1，EF是異面直線，故選D.] 6．如圖2-4-3

5、0是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) 圖2-4-30 A．平面EFGH∥平面ABCD B．直線BE，CF相交于一點(diǎn) C．EF∥平面BGD D．PA∥平面BGD C　[把圖形還原為一個(gè)四棱錐，如圖所示， 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EH∥AB，GH∥BC， ∴平面EFGH∥平面ABCD，A正確； 在△PAD中，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥AD， 又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四邊形EFCB是梯形，故直線BE與直線CF相交于一點(diǎn)，所以B是正確的；連接

6、AC，設(shè)AC中點(diǎn)為M，則M也是BD的中點(diǎn)，連接MG，因?yàn)镸G∥PA，且直線MG在平面BDG上，所以有PA∥平面BDG，所以D是正確的；∵EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直線EF∥平面PBC，再結(jié)合圖形可得：直線EF與平面BDG不平行，因此C是錯(cuò)誤的，故選C.] 7．如圖2-4-31所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝(　　) 圖2-4-31 A．8 B．9 C．10 D．11 A　[如圖，CE?平面ABPQ，從而CE∥平面A1B1P1Q1，易知

7、CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，∴m＝4，∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8，選A. ] 8．(2018·武漢模擬)如圖2-4-32，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1ABC的四個(gè)面中，有n對(duì)平面相互垂直，則n等于(　　) 圖2-4-32 A．2 B．3 C．4 D．5 B　[設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E⊥平面ABC， ∵D1E?平面ABD1，∴平面

8、ABD1⊥平面ABC. ∵D1E⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E， ∴BC⊥平面ABD1，又BC?平面BCD1， ∴平面BCD1⊥平面ABD1， ∵BC⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1， ∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C， ∴AD1⊥平面BCD1，又AD1?平面ACD1， ∴平面ACD1⊥平面BCD1. ∴共有3對(duì)平面互相垂直，故選B.] 二、填空題 9．(2018·黃山模擬)已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長和高均為1，則異面直線SC與DE所成角的大小為________． 　[設(shè)正六邊形AB

9、CDEF的中心為O，連接SO，CO，BO，則由正六邊形的性質(zhì)知OC∥DE，SO⊥平面ABCDEF，所以∠SCO為異面直線SC與DE所成角．又易知△BOC為等邊三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠SCO＝.] 10．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，有下列命題： ①若m，n平行于同一平面，則m與n平行； ②若m∥α，n⊥α，則m⊥n； ③若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線； ④若α∩β＝n，m∥n，則m∥α且m∥β. 其中真命題有________(填寫所有正確命題的編號(hào))． ②　[①若m，n平行于同一平面，則m與n平行或相交或異面，故①錯(cuò)誤； ②若

10、n⊥α，則n垂直于α內(nèi)的所有直線，又m∥α，則m⊥n，故②正確； ③若α，β不平行，則α，β相交，設(shè)α∩β＝l，在α內(nèi)作直線a∥l，則a∥β，故③錯(cuò)誤； ④若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，故④錯(cuò)誤． 所以正確命題的序號(hào)是②.] 11．如圖2-4-33所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論： 圖2-4-33 ①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中正確的結(jié)論是________(填寫所有正確命題的序號(hào))． ①③④　[MN⊥平面A1DC，

11、從而MN⊥A1C，故①正確； A1C與平面MNPQ相交，故②錯(cuò)誤；A1C與PM都在平面ACC1A1內(nèi)，且不平行，因此A1C與PM相交，故③正確；點(diǎn)P，M，C都在平面ACC1A1內(nèi)，點(diǎn)N不在平面ACC1A1內(nèi)，故NC與PM異面，因此④正確．] 12．如圖2-4-34，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論： 圖2-4-34 ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號(hào)是________． ①②③　[∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑， ∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩

12、AC＝A， ∴CB⊥平面PAC. 又AF?平面PAC，∴CB⊥AF. 又∵F是點(diǎn)A在PC上的射影， ∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC， ∴AF⊥平面PBC， 故①③正確．又∵E為A在PB上的射影，∴AE⊥PB， ∴PB⊥平面AEF，故②正確． 而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC. 故④錯(cuò)．] 三、解答題 13．(2018·煙臺(tái)模擬)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為3，E，F(xiàn)分別為CC1，BB1上的點(diǎn)，且EC＝3FB＝3，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2-4-35所示． 圖2-4-35 (1)試確定點(diǎn)M的位置，使BM∥平

13、面AEF，并說明理由； (2)若M為滿足(1)中條件的點(diǎn)，求三棱錐M-AEF的體積． [解]　(1)當(dāng)點(diǎn)M是線段AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEF. 事實(shí)上，在AE上取點(diǎn)N，使AN＝AE，于是＝＝， 所以MN∥EC且MN＝EC. 由題意知，BF∥EC且BF＝EC，所以MN∥BF且MN＝BF， 所以四邊形BMNF為平行四邊形，所以BM∥FN. 又FN?平面AEF，BM?平面AEF，所以BM∥平面AEF. (2)連接EM，F(xiàn)M.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是正三棱柱， 所以BB1∥平面ACC1A1. 所以V三棱錐M-AEF＝V三棱錐F-AEM＝V三棱錐B-AEM，

14、 取AC的中點(diǎn)O,連接BO，則BO⊥AC. 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC. 又BO?平面ABC，所以AA1⊥BO. 因?yàn)锽O⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A， 所以BO⊥平面ACC1A1. 所以BO為三棱錐B-AEM的高． 又在正三角形ABC中，BO＝. ∴V三棱錐M-AEF＝V三棱錐B-AEM＝·S△AEM·BO＝××＝. 14．如圖2-4-36，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝120°，四邊形EBDF是矩形，BE＝1，平面EBDF⊥平面ABCD. 圖2-4-36 (1)求證：AE⊥CF； (2)求直

15、線CF與平面EBDF所成角的正弦值． [解]　(1)證明：連接AC，在△ABC中， AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°， 由余弦定理易得AC＝，所以AB2＋AC2＝BC2， 則AB⊥AC. 又AB∥CD，所以AC⊥CD， 同理在△BCD中，由余弦定理易得BD＝， 又四邊形EBDF是矩形，則BE⊥BD， 又平面EBDF⊥平面ABCD， 且平面EBDF∩平面ABCD＝BD， 所以BE⊥平面ABCD， 又BC?平面ABCD，所以BE⊥BC， 同理FD⊥DC，AC⊥DF， 由勾股定理易求得EC＝，CF＝， 又EF＝BD＝，顯然EF2＝CE2＋CF2，故CE⊥CF. 由AC⊥CD，AC⊥DF，CD∩DF＝D， 所以AC⊥平面CDF，所以AC⊥CF，又AC∩CE＝C， 所以CF⊥平面ACE，所以CF⊥AE. (2)過點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為H，連接FH，顯然CH⊥平面EBDF，則FH為CF在平面EBDF內(nèi)的射影， 于是∠CFH為直線CF與平面EBDF所成角的平面角，由S△BCD＝·|CH|·|BD|＝·|BC|·|CD|·sin 120°，解得|CH|＝，sin∠CFH＝＝＝.