高中數學 第二章 圓錐曲線與方程綜合檢測 新人教B版選修2-1

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1、高中數學 第二章 圓錐曲線與方程綜合檢測 新人教B版選修2-1 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．(xx·西安高二檢測)雙曲線3x2－y2＝9的焦距為(　　) A.　　　 B．2　　　 C．2　　 D．4 【解析】　方程化為標準方程為－＝1，∴a2＝3，b2＝9. ∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4. 【答案】　D 2．(xx·荊州高二檢測)對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是(　　) A．開口向上，焦點為(0,1) B．開口向上，焦點為(0，) C．開口向右，焦點為(1,0)

2、 D．開口向右，焦點為(0，) 【解析】　拋物線可化為x2＝y(tǒng)，故開口向上，焦點為(0，)． 【答案】　B 3．若焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則n＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　依題意，a＝，b＝， ∴c2＝a2－b2＝2－n， 又e＝， ∴＝＝，∴n＝. 【答案】　B 4．(xx·石家莊高二檢測)設定點F1(0，－3)，F2(0,3)，動點P滿足條件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，則點P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．不存在 【解析】　∵a＋≥2＝6，故當|PF1|＋|PF2|＝6時，動點P

3、表示線段F1F2，當|PF1|＋|PF2|＞6時，動點P表示以F1、F2為焦點的橢圓． 【答案】　C 5．(xx·長沙高二檢測)已知拋物線C1：y＝2x2的圖象與拋物線C2的圖象關于直線y＝－x對稱，則拋物線C2的準線方程是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 【解析】　拋物線C1：y＝2x2關于直線y＝－x對稱的C2的表達式為－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其準線方程為x＝. 【答案】　C 6．已知點F，A分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點、右頂點，點B(0，b)滿足·＝0，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D.

4、 【解析】　∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2得，e2－1－e＝0，∴e＝. 【答案】　D 7．已知直線y＝kx＋1和橢圓x2＋2y2＝1有公共點，則k的取值范圍是(　　) A．k＜－或k＞ B．－＜k＜ C．k≤－或k≥ D．－≤k≤ 【解析】　由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0，因為直線與橢圓有公共點，故Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，∴k≥或k≤－. 【答案】　C 8．若AB為過橢圓＋＝1中心的弦，F1為橢圓的焦點，則△F1AB面積的最大值為(　　) A．6 B．12 C．24 D

5、．48 【解析】　如圖S△F1AB＝|OF1|·|yA－yB|≤c·2b ＝×3×2×4＝12. 【答案】　B 9．(xx·臨沂高二檢測)若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 【解析】　設橢圓上任意一點P(x0，y0)，則有＋＝1，即y＝3－x，O(0,0)，F(－1,0)， 則·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3 ＝(x0＋2)2＋2. ∵|x0|≤2，∴當x0＝2時，·取得最大值為6. 【答案】　C 10．已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(，0)，直線y＝x－

6、1與雙曲線交于M，N兩點，且MN中點的橫坐標為－，則此雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】　由c＝，得a2＋b2＝7. ∵焦點為F(，0)， ∴可設雙曲線方程為－＝1， ① 并設M(x1，y1)、N(x2，y2)． 將y＝x－1代入①并整理得 (7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0， ∴x1＋x2＝－， 由已知得－＝－，解得a2＝2， 得雙曲線方程為－＝1. 【答案】　D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．) 11．已知圓x2＋y2＝1，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，則線段P

7、P′的中點M的軌跡方程是________． 【解析】　設M(x，y)，P(x1，y1)，則有，將x1，y1代入到x＋y＝1，有x2＋4y2＝1. 【答案】　x2＋4y2＝1 12．橢圓＋y2＝1的兩個焦點F1，F2，過點F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，其中一個交點為P，則|PF2|＝________. 【解析】　不妨設F1(－，0)，則|PF1|＝|yP|＝. 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4－＝. 【答案】　 13．(xx·安徽高考)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點，若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．

8、 【解析】　設C(x，x2)，由題意可取A(－，a)，B(，a)， 則＝(－－x，a－x2)，＝(－x，a－x2)， 由于∠ACB＝，所以·＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0， 整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0， 即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0， 所以解得a≥1. 【答案】　[1，＋∞) 14．給出如下四個命題：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的圖形是圓；②橢圓＋＝1的離心率e＝；③拋物線x＝2y2的準線方程是x＝－；④雙曲線－＝－1的漸近線方程是y＝±x.其中不正確的是________．(填序號) 【解析】　①表示的圖形是一個點(1,0)，②e＝，④漸

9、近線方程為y＝±x，③正確． 【答案】?、佗冖? 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) 15．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為.求橢圓C的方程． 【解】　設橢圓的半焦距為c，依題意， 得a＝且e＝＝， ∴a＝，c＝. 從而b2＝a2－c2＝1. 因此所求橢圓的方程為＋y2＝1. 16．(本小題滿分12分)已知F1，F2分別為橢圓＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦點，P是橢圓上一點． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面

10、積為，求b的值． 【解】　(1)|PF1|·|PF2|≤()2＝100(當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號)，∴|PF1|·|PF2|的最大值為100. (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝， ∴|PF1|·|PF2|＝， ① 由題意知 ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ② 由①②得c＝6，∴b＝8. 17．(本小題滿分12分)已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點． (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出

11、直線l的方程；若不存在，請說明理由． 【解】　(1)依題意，可設橢圓C的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，且可知左焦點為F′(－2,0)， 從而有解得 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝x＋t， 由得3x2＋3tx＋t2－12＝0， 因為直線l與橢圓有公共點，所以有Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)≥0， 解得－4≤t≤4， 另一方面，由直線OA與l的距離為4可得：＝4，從而t＝±2， 由于±2?[－4，4]，所以符合題意的直線l不存在． 18．(本小題滿分14分)(xx·江西高考)已知三點O(0,0)

12、，A(－2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點M(x，y)，滿足|＋|＝·(＋)＋2. (1)求曲線C的方程； (2)點Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)是曲線C上的動點，曲線C在點Q處的切線為l，點P的坐標是(0，－1)，l與PA，PB分別交于點D，E，求△QAB與△PDE的面積之比． 【解】　(1)由＝(－2－x,1－y)， ＝(2－x,1－y)，得 |＋|＝， ·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y. 由已知得＝2y＋2， 化簡得曲線C的方程是x2＝4y. (2)直線PA，PB的方程分別是y＝－x－1，y＝x－1，曲線C在Q處的切線l的方程是y＝x－，且與y軸的交點為F(0，－)， 分別聯(lián)立方程組 解得D，E的橫坐標分別是xD＝，xE＝， 則xE－xD＝2，|FP|＝1－， 故S△PDE＝|FP|·|xE－xD|＝×(1－)×2＝，而S△QAB＝×4×(1－)＝. 則＝2，即△QAB與△PDE的面積之比為2.