2022度高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課時作業(yè) 新人教A版必修2

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1、2022度高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課時作業(yè) 新人教A版必修2 【選題明細表】 知識點、方法 題號 二面角的概念及求解 3,6,8,9,10 面面垂直的定義及判定定理的理解 1 面面垂直的判定 4,5 綜合問題 2,7,11,12 基礎(chǔ)鞏固 1.下列說法中,正確的是(　B　) (A)垂直于同一直線的兩條直線互相平行 (B)平行于同一平面的兩個平面平行 (C)垂直于同一平面的兩個平面互相平行 (D)平行于同一平面的兩條直線互相平行 解析:A.垂直于同一直線的兩條直線可能平行、相交或異面. B.正確.

2、C.垂直于同一平面的兩個平面可能相交、也可能平行. D.平行于同一平面的兩條直線可能相交、平行或異面. 只有B正確. 2.(2018·江西三市聯(lián)考)設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則(　C　) (A)若a∥α,b∥α,則a∥b (B)若a∥α,a∥β,則α∥β (C)若a∥b,a⊥α,則b⊥α (D)若a∥α,α⊥β,則a⊥β 解析:選項A.若a∥α,b∥α,則a∥b,或a,b異面或a,b相交,A錯;選項B.若a∥α,a∥β,則α∥β,或α∩β=b,B錯;選項C.若a∥b, a⊥α,則b⊥α,C正確;選項D.若a∥α,α⊥β,則a?β或a∥β或a⊥β,D錯.故選

3、C. 3.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(不同于A,B)且PA=AC,則二面角P-BC-A的大小為(　C　) (A)60° (B)30° (C)45° (D)15° 解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角,在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°. 故選C. 4.如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有(　D　) (A)2對 (B)3對 (C)4對 (D)5對 解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥

4、平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面 PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對.選D. 5.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成幾何體A-BCD,則在幾何體A-BCD中,下列結(jié)論正確的是(　D　) (A)平面ABD⊥平面ABC (B)平面ADC⊥平面BDC (C)平面ABC⊥平面BDC (D)平面ADC⊥平面ABC 解析:由已知得BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD, 從而CD⊥AB

5、,故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.選D. 6.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面積是△ACD的面積的2倍.沿AD將△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此時二面角B-AD-C的大小為(　C　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:由已知得,BD=2CD. 翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°, 而AD⊥BD,CD⊥AD, 故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小為60°. 故選C. 7.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,將△ABC沿斜邊BC上的高AD

6、折疊,使平面ABD⊥平面ACD,則折疊后BC=　　　　.? 解析:因為在原△ABC中,AD⊥BC, 所以折疊后有AD⊥BD,AD⊥CD, 所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角. 因為平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°. 在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=, 所以BC==1. 答案:1 8.如圖所示,α∩β=CD,P為二面角內(nèi)部一點.PA⊥α,PB⊥β,垂足分別為A,B. (1)證明:AB⊥CD; (2)若△PAB為等邊三角形,求二面角α-CD-β的大小. (1)證明:因為 所以CD⊥平面PAB,所以AB⊥CD. (2)解:如圖所示,

7、設(shè)平面PAB∩CD=O, 則由(1)可知,OB⊥CD,OA⊥CD,從而∠BOA是二面角α-CD-β的平 面角. 因為PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠AOB+∠APB=180°. 因為△PAB為等邊三角形, 所以∠APB=60°. 故二面角α-CD-β的平面角為120°. 能力提升 9.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,則下列結(jié)論中錯誤的是(　D　) (A)D1O∥平面A1BC1 (B)MO⊥平面A1BC1 (C)異面直線BC1與AC所成的角等于60° (D)二面角M-AC-B等于90° 解:對于選項A,連接B

8、1D1,交A1C1于E,連接BO,則四邊形D1OBE為平行四邊形,所以D1O∥BE,因為D1O?平面A1BC1,BE?平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故正確; 對于選項B,連接B1D,因為O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,所以MO∥B1D,易證B1D⊥平面A1BC1,所以MO⊥平面A1BC1,故正確; 對于選項C,因為AC∥A1C1,所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角,因為△A1C1B為等邊三角形, 所以∠A1C1B=60°,故正確;對于選項D,因為BO⊥AC,MO⊥AC,所以 ∠MOB為二面角M-AC-B的平面角,顯然不等于90°,故不正確.

9、綜上知,選D. 10.正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于　　　　.? 解析:設(shè)AC與BD相交于O點,因為ABCD-A1B1C1D1為正方體, 所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A, 所以BD⊥平面A1AO, 所以BD⊥A1O, 所以∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角,設(shè)正方體的棱長為a,在直角 △A1AO中,AA1=a,AO=a, 所以tan∠A1OA==. 答案: 11.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將三角形ABD沿BD折起,得到

10、三棱錐A-BCD. (1)求證:平面AOC⊥平面BCD, (2)若三棱錐A-BCD的體積為,求AC的長. (1)證明:折疊前,因為四邊形ABCD是正方形, 所以BD⊥AO,BD⊥CO. 在折疊后的△ABD和△BCD中, 仍有BD⊥AO,BD⊥CO. 因為AO∩CO=O,AO?平面AOC,CO?平面AOC, 所以BD⊥平面AOC. 因為BD?平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD. (2)解:設(shè)三棱錐A-BCD的高為h, 由于三棱錐A-BCD的體積為, 所以S△BCDh=. 因為S△BCD=BC×CD=×2×2=2, 所以h=

11、. ①當(dāng)∠AOC為鈍角時,如圖①,過點A作CO的垂線AH交CO的延長線于點H, 由(1)知BD⊥平面AOC,所以BD⊥AH. 又CO⊥AH,且CO∩BD=O, 所以AH⊥平面BCD. 所以AH為三棱錐A-BCD的高,即AH=. 在Rt△AOH中,因為AO=, 所以O(shè)H===. 在Rt△ACH中,因為CO=, 所以CH=CO+OH=+=, 所以AC===. ②當(dāng)∠AOC為銳角時,如圖②,過點A作CO的垂線AN交CO于點N,由(1)知BD⊥平面AOC,所以BD⊥AN.又CO⊥AN,且CO∩BD=O,CO?平面BCD,BD?平面BCD,所以AN⊥平面BCD. 所以AN

12、為三棱錐A-BCD的高,即AN=. 在Rt△AON中,因為AO=, 所以O(shè)N===. 在Rt△ACN中,因為CO=, 所以CN=CO-ON=-=, 所以AC===. 綜上可知,AC的長為或. 探究創(chuàng)新 12.如圖所示,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點. (1)求證:B1C∥平面A1BD; (2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1; (3)設(shè)E是CC1上一點,試確定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并說明理由. (1)證明:連接AB1,與A1B相交于M,則M為A1B的中點,連接MD. 又D為AC的

13、中點,所以B1C∥MD. 又B1C?平面A1BD,MD?平面A1BD, 所以B1C∥平面A1BD. (2)證明:因為AB=B1B, 所以四邊形ABB1A1為正方形. 所以A1B⊥AB1. 又因為AC1⊥平面A1BD, 所以AC1⊥A1B. 所以A1B⊥平面AB1C1, 所以A1B⊥B1C1. 又在棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥B1C1, 所以B1C1⊥平面ABB1A. (3)解:當(dāng)點E為C1C的中點時,平面A1BD⊥平面BDE, 因為D,E分別為AC,C1C的中點, 所以DE∥AC1. 因為AC1⊥平面A1BD, 所以DE⊥平面A1BD. 又DE?平面BDE, 所以平面A1BD⊥平面BDE.