2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題2 三角函數(shù)及解三角形 專題能力提升練七 2.2.2 三角恒等變換與解三角形一、選擇題(每小題5分,共30分)1.cos 15-4sin215cos 15=()A.B.C.1D.【解析】選D.cos 15-4sin215cos 15=cos 15-2sin 152sin 15cos 15=cos 15-2sin 15sin 30=cos 15-sin 15=2cos(15+30)=.2.(2018永州二模)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若+ =2a,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角

2、形【解析】選C.因?yàn)?=2a,所以由正弦定理可得,+=2sin A2=2,所以sin A=1,當(dāng)=時,“=”成立,所以A=,b=c,所以ABC是等腰直角三角形.3.(2018全國卷)在ABC中,cos =,BC=1,AC=5,則AB=()A.4B.C.D.2【解析】選A.cos C=2cos2-1=2-1=-,在ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CACBcos C,得AB2=25+1-215=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin 22.5),則ab=()A.2B.-2C.D.-【解析】選A.由題得ab=tan 67.5+=tan 67.5+=tan 67.5-t

3、an 22.5=tan 67.5-=2=2=2.【加固訓(xùn)練】(2018會寧一中一模)已知x為銳角,=,則a的取值范圍為()A.-2,2B.(1,)C.(1,2D.(1,2)【解析】選C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x,所以x+,所以a的取值范圍為(1,2.5.在銳角ABC中,A=2B,則的取值范圍是()A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】選D.=3-4sin2B.因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以得Bsin2B.所以=3-4sin2B(1,2).6.(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC的面積為,則C=()A.B.C

4、.D.【解析】選C.由題意SABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C(0,),所以C=.【加固訓(xùn)練】(2018濮陽一模) 已知ABC中,sin A,sin B,sin C成等比數(shù)列,則的取值范圍是()A.B.C.(-1,D.【解析】選B.由已知可知sin2B=sin Asin C,即b2=ac,cos B=,即0B,sin B+cos B=sin(1,原式=,設(shè)t=sin B+cos B,即原式=t-(11)米,AC=t(t0)米,依題設(shè)AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC中,由余弦定理得: AB2=AC2+BC2-2AC

5、BCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡并整理得:t=(x1),即t=x-1+2,因?yàn)閤1,故t=x-1+22+,當(dāng)且僅當(dāng)x=1+時取等號,此時取最小值2+.答案:2+三、解答題(每小題10分,共40分)9.(2018全國卷)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在ABD中,由正弦定理得=.由題設(shè)知,=,所以sinADB=.由題意知,ADB90,所以cosADB=.(2)由題意及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosB

6、DC=25+8-252=25.所以BC=5.10.如圖,在ABC中,AB=2,cos B=,點(diǎn)D在線段BC上.(1)若ADC=,求AD的長.(2)若BD=2DC,ACD的面積為,求的值.【解題指南】(1)首先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的長.(2)首先利用三角形面積間的關(guān)系求得SABC,然后利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因?yàn)閏os B=,所以sin B=,在ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因?yàn)锽D=2DC,所以SABD=2SADC,SABC=3SADC,又SA

7、DC=,所以SABC=4,因?yàn)镾ABC=ABBCsinABC,所以BC=6,因?yàn)镾ABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD,SABD=2SADC,所以=2,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC.所以AC=4,所以=2=4.11.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0,求cos 2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2

8、x=2sin,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為;因?yàn)閤,所以2x+,sin,所以函數(shù)f(x)=2sin在區(qū)間上的最大值為2,最小值為-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因?yàn)閒(x0)=,所以sin=,由x0,得2x0+,從而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=coscos +sinsin =12.在ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AB=AD=,cosBAD=.(1)求sin B.(2)若AC=4,求ADC的面積.【解題指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果.(2)利用(1)的結(jié)論和余弦定理求出三角形的面積.【解析】(1)在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos

9、BAD=7+7-2=12,得BD=2.由cosBAD=,得sinBAD=,在ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=.(2)因?yàn)閟in B=,B是銳角,所以cos B=,設(shè)BC=x,在ABC中,AB2+BC2-2ABBCcos B=AC2,即7+x2-2x=16,化簡得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),則CD=BC-BD=3-2=,由ADC和ADB互補(bǔ),得sinADC=sinADB=sin B=,所以ADC的面積S=ADDCsinADC=.【加固訓(xùn)練】(2018肇慶二模)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為acsin 2B.(1)求sin B的值.

10、(2)若c=5,3sin2C=5sin2Bsin2A,且BC的中點(diǎn)為D,求ABD的周長.【解析】(1)由SABC=acsin B=acsin 2B,得sin B=2sin Bcos B,因?yàn)?B0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2Bsin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因?yàn)閏=5,所以a=4,BD=a=2,在ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2cBDcos B=52+22-252=24,所以AD=2.所以ABD的周長為c+BD+AD=7+2.(建議用時:50分鐘)1.(20

11、18石家莊一模)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在數(shù)書九章中就獨(dú)立創(chuàng)造了已知三角形三邊求其面積的公式:“以小斜冪并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減之,以四約之,為實(shí),一為從隅,開方得積.”(即:S=,cba),并舉例“問沙田一段,有三斜(邊),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知為田幾何?”則該三角形田面積為()A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】選C.由題意可得:a=13,b=14,c=15代入:S=84,則該三角形田面積為84平方里.2.已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2sin=1,且a=2,則ABC的面積的最大值為(

12、)A.B.C.D.2【解析】選B.sin=,-=,A=,由于a=2為定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根據(jù)基本不等式得4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc,即bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,等號成立.S=bcsin A=.3.在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,則邊b=_.【解析】 由sin Acos B-(c-cos A)sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b=1.答案:14.在ABC中

13、,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)ABC的面積為S,若3a2=2b2+c2,則的最大值為_.【解析】因?yàn)?a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以=tan A.由題得a2=,所以 cos A=,所以tan A=,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.所以的最大值為.答案:【加固訓(xùn)練】(2018衡水中學(xué)模擬)在銳角ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tan A=bc,2cos2=(-1)cos C,則ABC的面積等于_.【解析】條件(b2+c2-3)tan A=bc即為(b2+c2

14、-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A為銳角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在ABC中,由正弦定理得=,所以c=.故ABC的面積S=acsin B=sin =.答案:5.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sin A.(2)若a=2,且sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,求ABC的面積.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因?yàn)?A,

15、所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差數(shù)列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以SABC=bcsin A=.6.(2018太原一模)ABC的內(nèi)角為A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 =+.(1)求sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,當(dāng)ABC的面積最大時,求ABC的周長.【解題指南】(1)先根據(jù)正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再根據(jù)三角公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.(2)根據(jù)

16、余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,當(dāng)且僅當(dāng)A=時,上式取最大值,最大值為.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac(2-)ac,ac2+,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=等號成立;Smax=,周長L=a+b+c=2+.7.(2018唐山二模) 如圖,在平面四邊形ABCD中,AB=2,AC=2,ADC=CAB=90,設(shè)DAC=.(1)若=60,求BD 的長度;(2)若ADB=30,求tan .【解題指南】(1)在ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在ABD中,寫出正弦定理再化簡即得解.【解析】(1)由題意可知,AD=1.在ABD中,DAB=150,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-221=19,BD=.(2)由題意可知,AD=2cos ,ABD=60-,在ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan =.