2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第58講 橢圓檢測(cè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第58講 橢圓檢測(cè) 1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(C) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 m>n>0?<，所以＋＝ny2＋mx2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，反之亦然，故選C. 2．一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由點(diǎn)(2，)在橢圓上知＋

2、＝1. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列， 則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|， 即2a＝2·2c，即＝， 又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6. 3. 已知F1, F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)， 點(diǎn)A(1，)在橢圓C上，|AF1|＋|AF2|＝4, 則橢圓C的離心率是(D) A. B. C. D. |AF1|＋|AF2|＝2a＝4，所以a＝2， 所以橢圓C的方程為＋＝1， 又點(diǎn)A(1，)在橢圓C上， 所以＋＝1，得b＝1，又c＝＝， 所以橢圓C的離心率e＝＝. 4．(2017·新課標(biāo)卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢

3、圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(A) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 當(dāng)03時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上， 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 5．(2017·石家莊市第一次模擬)已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)F1關(guān)

4、于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓上，則△PF1F2的周長(zhǎng)為　2＋2　_. 因?yàn)镕1(－c,0)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)P(0，c)在橢圓上， 所以c2＝1，c＝1，易知b＝1，所以a＝. 所以周長(zhǎng)為2c＋2a＝2＋2. 6．橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為　(－，)　. 由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 設(shè)P(x0，y0)， 則1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)， 所以1·2＝x－5＋y<0.① 又＋＝1，② 由①②得x<，所以－

5、，)． 7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，若·＝0，橢圓的離心率為，△AOF2的面積為2，求橢圓的方程． 因?yàn)椤ぃ?，所以AF2⊥x軸． 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(c，y)(y>0)， 將(c，y)代入＋＝1得y＝， 所以S△AOF2＝·c·＝2， 又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8. 由＝，設(shè)c＝k，a＝2k(k>0)，則4k2＝8＋2k2， 所以k＝2，所以a＝4，b2＝8， 所以橢圓方程為＋＝1. 8．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大

6、值為(B) A．20 B．15 C．10 D．5 因?yàn)镻在橢圓上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2| ＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15， 當(dāng)P在MF2的延長(zhǎng)線上取等號(hào)． 9．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是　　. 將y＝代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得＋＝1， 所以x＝±a，故B(－a，)，C(a，)． 又因?yàn)镕(c,0)，所以＝(c＋a，－)， ＝(

7、c－a，－)． 因?yàn)椤螧FC＝90°，所以·＝0， 所以(c＋a)(c－a)＋(－)2＝0， 即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡(jiǎn)， 得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負(fù)值舍去)． 10．已知橢圓C：＋＝1(a>)的離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若P是橢圓C上任意一點(diǎn)，Q為圓E：x2＋(y－2)2＝1上任意一點(diǎn)，求PQ的最大值． (1)由題設(shè)知e＝， 所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)圓E：x2＋(y－2)2＝1的圓心為E(0,2)，點(diǎn)Q在圓E上， 所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(當(dāng)且僅當(dāng)直線PQ過點(diǎn)E時(shí)取等號(hào))． 設(shè)P(x0，y0)是橢圓C上的任意一點(diǎn)， 則＋＝1，即x＝6－3y. 所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12. 因?yàn)閥0∈[－，]， 所以當(dāng)y0＝－1時(shí)，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1. 所以PQ的最大值為2＋1.