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1、2022屆九年級數(shù)學下冊 小專題（六）圓的切線的判定方法（教材變式）練習 （新版）湘教版
例 (教材P75習題T2)如圖，AB是⊙O的直徑，直線MN過點B，△ABC內接于⊙O，∠CBM＝∠A.
求證：MN是⊙O的切線．
【解答】 ∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°.
又∵∠CBM＝∠A，
∴∠CBM＋∠ABC＝90°.
∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半徑，
∴MN是⊙O的切線．
證明一條直線為圓的切線，主要有以下兩種方法：①直線與圓有公共點：要判斷是不是圓的切線關鍵看直線和圓是不是有公共點，若有(但沒說唯一)，那么就連出這條半徑，如果能夠
2、證明該直線和這個半徑垂直，就說明直線是圓的切線(簡稱為“連半徑證垂直”)；②不確定直線與圓是否有公共點：若題目中沒有告訴直線和圓有公共點，那就算圓心到直線的距離是不是等于圓的半徑．若等于，則該直線就是圓的切線．(簡稱為“作垂直證半徑”)
1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.
(1)求∠ABC的度數(shù)；
(2)求證：AE是⊙O的切線．
解：(1)∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°.
(2)證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BAC＝30°.
∴∠BAE＝∠BAC＋∠E
3、AC＝30°＋60°＝90°.
∴BA⊥AE，且OA是⊙O的半徑．
∴AE是⊙O的切線．
2．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，且過點D的⊙O的切線DE平分邊BC，交BC于E.求證：BC是⊙O的切線．
證明：連接OD，OE，
∵O為AB的中點，E為BC的中點，
∴OE為△ABC的中位線．
∴OE∥AC.
∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠DOE＝∠BOE(SAS)．
∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE.
∴∠ODE＝∠OBE.
∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.
∴OB⊥B
4、C.
∵OB是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E.求證：CE為⊙O的切線．
證明：連接OD.
∵點C，D為半圓O的三等分點，
∴∠BOC＝∠BOD.
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.
∵AD⊥EC，∴OC⊥EC.
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE為⊙O的切線．
4．如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB相交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE＝∠DFE，交AB的延長線于點E.過點A作⊙O的切線交ED的延長線于
5、點G.求證：GE是⊙O的切線．
證明：連接OD，
∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC.
∵OC⊥AB，
∴∠COF＝90°，
∴∠OCD＋∠CFO＝90°.
∴∠ODC＋∠CFO＝90°.
∵∠EFD＝∠CFO，∠EFD＝∠CDE，
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.
∴OD⊥GE.又∵OD是⊙O的半徑，
∴GE是⊙O的切線．
5．如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M，與AB，AD分別相交于點E，F(xiàn).求證：CD與⊙O相切．
證明：連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N.
∵⊙O與BC相切于點M，
∴OM⊥BC.
6、
∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.
∴點N在⊙O上．
∴CD與⊙O相切．
6．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為D，且∠BAC＝∠CAD.
(1)求證：直線MN是⊙O的切線；
(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半徑．
解：(1)證明：連接OC.
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO.
又∵∠BAC＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠CAD.
∴OC∥AD.
又∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線MN是⊙O的切線．
(2)∵在R
7、t△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝3，
∴AC＝2CD＝6.
∵∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝30°.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，即⊙O的直徑為4.
∴⊙O的半徑為2.
7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3.
(1)求證：AC是⊙D的切線；
(2)求線段AC的長．
解：(1)證明：過點D作DF⊥AC于點F.
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC，
8、DF⊥AC，
∴BD＝DF.∴點F在⊙D上．
∴AC是⊙D的切線．
(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．
∴EB＝CF.
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，
∴AB＝AF.
∴AB＋EB＝AF＋FC，
即AB＋EB＝AC.
∴AC＝5＋3＝8.
8．已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.
(1)如圖1所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是(至少說出兩種)：①∠BAE＝90°；②∠EAC＝∠ABC；
(2)如圖2所示，若AB不是⊙O的直徑而是弦，且∠CAE＝∠B，EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷．
圖1 圖2
解：EF是⊙O的切線．
證明：連接AO并延長，交⊙O于點M，連接CM，
則∠ACM＝90°，∠M＝∠ABC，
即∠M＋∠CAM＝∠ABC＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠ABC，
∴∠CAM＋∠CAE＝90°.
∴AE⊥AM.
∵AM為直徑，
∴EF是⊙O的切線．
2022屆九年級數(shù)學下冊 小專題（六）圓的切線的判定方法（教材變式）練習 （新版）湘教版
