2022高中數學 第二章 推理與證明單元檢測 新人教B版選修2-2

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1、2022高中數學 第二章 推理與證明單元檢測 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．設S(n)＝＋＋＋＋…＋，則(　　)． A．S(n)共有n項，當n＝2時， B．S(n)共有n＋1項，當n＝2時， C．S(n)共有n2－n項，當n＝2時， D．S(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時， 2．某人在上樓梯時，一步上一個臺階或兩個臺階，設他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法，從平地上到第二級臺階時有f(2)種走法……則他從平地上到第n級(n≥3)臺階時的走法f(n)等于(　　)． A．

2、f(n－1)＋1 B．f(n－2)＋2 C．f(n－2)＋1 D．f(n－1)＋f(n－2) 3．觀察數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點，問第100項為(　　)． A．10 B．14 C．13 D．100 4．由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xtm＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·pa＝x”； ⑤

3、“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“”類比得到“”． 以上式子中，類比得到的結論正確的個數是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 5．命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)． A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．對任意的x∈R，x3－x2＋1＞0 6．證明命題：“在(0，＋∞)上是增函數”．現給出的證法如下：因為.所以.因為x＞0.所以ex＞1,0＜＜1.所以ex－＞0即f′(x)＞0.所以f(x)在(0

4、，＋∞)上是增函數，使用的證明方法是(　　)． A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．以上都不是 7．“因為指數函數y＝ax是增函數(大前提)，而是指數函數(小前提)，所以是增函數(結論)”，上面推理的錯誤是(　　)． A．大前提錯誤導致結論錯誤 B．小前提錯誤導致結論錯誤 C．推理形式錯誤導致結論錯誤 D．大前提和小前提都錯誤導致結論錯誤 8．，(m，n，a，b，c，d均為正數)，則p，q的大小為(　　)． A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不確定 9．對于直角坐標平面內的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，定義它

5、們之間的一種“距離”：||AB||＝|x2－x1|＋|y2－y1|. 給出下列三個命題： ①若點C在線段AB上，則||AC||＋||CB||＝||AB||； ②在△ABC中，若C＝90°，則||AC||2＋||CB||2＝||AB||2； ③在△ABC中，||AC||＋||CB||＞||AB||. 其中真命題的個數為(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，若f(x)在區(qū)間[1，a](a＞2)上單調遞增且f(x)＞0，則以下不等式不一定成立的是(　　)． A．f(a)＞f(0) B．

6、 C． D． 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上) 11．若符號“*”表示求實數a與b的算術平均數的運算，即，則兩邊均含有運算符號“*”和“＋”，且對于任意3個實數a，b，c都能成立的一個等式可以是______________． 12．觀察下面的幾個算式，找出規(guī)律． 1＋2＋1＝4； 1＋2＋3＋2＋1＝9； 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16； 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25. 利用上面的規(guī)律，請你迅速算出1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝________. 13．設n∈N＋，則4×6n＋5n＋1除

7、以20的余數為______． 14．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一個三角形中不能有兩個直角； ③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號排列為________． 15．用數學歸納法證明不等式的過程中，由n＝k推導n＝k＋1時，不等式的左邊增加的式子是________． 三、解答題(本大題共2小題，共25分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(10分)用分析法和綜

8、合法證明. 17．(15分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1,3Sn＝(n＋2)an，則是否存在實數a，b，c，使得an＝an2＋bn＋c對一切n∈N＋都成立？若存在，求出a，b，c；若不存在，說明理由． 參考答案 1. 答案：D　從n到n2共有n2－n＋1個自然數，即S(n)共有n2－n＋1項． 2. 答案：D　要到達第n級臺階有兩種走法：(1)在第n－2級的基礎上到達；(2)在第n－1級的基礎上到達． 3. 答案：B　由于1有1個，2有2個，3有3個……則13有13個，所以1～13的總個數為，從而第100個數為14. 4. 答案：B　只有①②對，其余錯誤

9、5. 答案：C 6. 答案：A　從已知條件出發(fā)進行推證，為綜合法． 7. 答案：A 8. 答案：B　q＝≥＝＝p 9. 答案：B?、佼旤cC在線段AB上時，可知||AC||＋||CB||＝||AB||，故①是正確的． ②取A(0,0)，B(1,1)，C(1,0)，則||AC||2＝1，||BC||2＝1，||AB||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正確的． ③取A(0,0)，B(1,1)，C(1,0)，可證明||AC||＋||CB||＝||AB||，故③不正確．故選B. 10. 答案：D　∵f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，又已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)

10、，∴選項A成立；∵，∴選項B成立；當a＞2時，1－3a＜0，又f(x)為奇函數，∴，f(－a)＝－f(a)，且， ∴選項C即＝＜0，∴選項C成立，對于選項D，有，由于a＞2時，a－3的符號不確定，∴未必成立． 11. 答案：a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)　答案不唯一．因為a＋(b*c)＝，又(a＋b)*(a＋c)＝＝，因此a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．同理：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)；a*(b＋c)＝(a＋b)*c＝(b＋c)*a＝(a＋c)*b；(a*b)＋c＝(b*a)＋c也符合題意． 12. 答案：10 000　觀察歸納中間數為2，結果為4＝22；中間

11、數為3，結果為9＝32；中間數為4，結果為16＝42；于是中間數為100，結果應為1002＝10 000. 13. 答案：9　取n＝1，則4×6＋52＝24＋25＝49，被20除余數為9. 14. 答案：③①② 15. 答案：　不等式左邊增加的式子是＝. 16. 答案：證法一：(分析法)要證，只需證log1930＜log19192，即證30＜192，又∵30＜192恒成立，∴原不等式成立． 證法二：(綜合法)＝log195＋log193＋log192＝log1930＜log19192＝2. 17. 答案：分析：應用歸納、猜想、證明的方法求解． 解：假設滿足條件的a，b，c存在，將n＝2,3代入3Sn＝(n＋2)an中，可得a2＝3，a3＝6，代入an＝an2＋bn＋c，可得解得∴. 下面用數學歸納法證明：(1)當n＝1時，a1＝×12＋×1＝1，與已知符合．(2)假設當n＝k時，結論成立，即ak＝k2＋k，則當n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋3)ak＋1－(k＋2)ak，∴3ak＋1＝(k＋3)ak＋1－(k＋2)ak.∴kak＋1＝(k＋2)ak.∴ak＋1＝＝＝＝(k＋1)2＋(k＋1)，故當n＝k＋1時，結論也成立．綜合(1)和(2)，知存在實數，，c＝0使得an＝an2＋bn＋c對一切nN＋都成立．