2022高考數(shù)學一輪復習 第11章 計數(shù)原理和概率 第8課時 n次獨立重復試驗與二項分布練習 理

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第11章 計數(shù)原理和概率 第8課時 n次獨立重復試驗與二項分布練習 理 1．(2018·福建漳州二模)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，在取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，取到的2個數(shù)均為奇數(shù)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　記“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”為事件A，“取到的2個數(shù)均為奇數(shù)”為事件B，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率的計算公式得P(B|A)＝＝＝，故選D. 2．某廠大量生產(chǎn)某種小零件，經(jīng)抽樣檢驗知道其次品率是1%，現(xiàn)把這種零件每6件裝成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是(　　)

2、A．()6 B．0.01 C.(1－)5 D．C62()2(1－)4 答案　C 解析　P＝C61·1%·(1－)5. 3．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　) A. B.× C.× D．C41×× 答案　B 解析　由題意知，第四次取球后停止是當且僅當前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情況，此事件發(fā)生的概率為×. 4．(2017·滄州七校聯(lián)考)某道路的A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒．某輛車在這

3、條路上行駛時，三處都不停車的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　三處都不停車的概率是P(ABC)＝××＝. 5．如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設A表示“第一個圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”，則P(A)＝，B表示“第二個圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”，則P(B)＝. 則P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 6．(2017·保定模擬)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　

4、　) A. B. C. D. 答案　A 解析　所求概率P＝C31·()1·(1－)3－1＝. 7．設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C21p(1－p)＋C22p2＝，解得p＝.(0≤p≤1，故p＝舍去)． 故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C40×()4－C41××()3＝. 8．口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列{an}：an＝ 如果Sn為數(shù)列{an}的前n

5、項和，那么S7＝3的概率為(　　) A．C75· B．C72· C．C75· D．C72· 答案　B 解析　S7＝3說明摸取2個紅球，5個白球，故S7＝3的概率為C72·. 9．(2018·山東師大附中模擬)已知某次考試中一份試卷由5個選擇題和3個填空題組成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有1個選項是正確的．已知每題答案正確得5分，答案錯誤得0分，滿分40分．若小強做對任一個選擇題的概率為，做對任一個填空題的概率為，則他在這次考試中得分為35分的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設小強做對選擇題的個數(shù)為ξ，做對填空題的個數(shù)為η，則ξ～B

6、(5，)，η～B(3，)，由于每題答案正確得5分，答案錯誤得0分，若小強得分為35分，則他做對題的個數(shù)為7，故所求概率為P(ξ＝5)P(η＝2)＋P(ξ＝4)P(η＝3)＝C55()5×C32()2(1－)＋C54()4(1－)×C33()3＝. 10．(2018·洛陽模擬)在某次人才招聘會上，假定某畢業(yè)生贏得甲公司面試機會的概率為，贏得乙、丙兩公司面試機會的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．則該畢業(yè)生只贏得甲、乙兩個公司面試機會的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　記事件A為“該畢業(yè)生贏得甲公司的面試機會”，事件B為“該畢業(yè)生贏得乙公司的面試

7、機會”，事件C為“該畢業(yè)生贏得丙公司的面試機會”． 由題可得P(A)＝，P(B)＝P(C)＝. 則事件“該畢業(yè)生只贏得甲、乙兩個公司面試機會”為ABC， 由相互獨立事件同時成立的概率公式，可得 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××(1－)＝，故選B. 11．(2018·長沙調(diào)研)某次數(shù)學摸底考試共有10道選擇題，每道題給的四個選項中有且只有一個選項是正確的；張三同學每道題都隨意地從中選了一個答案，記該同學至少答對9道題的概率為P，則下列數(shù)據(jù)中與P的值最接近的是(　　) A．3×10－4 B．3×10－5 C．3×10－6 D．3×10－7 思路　由“隨意”兩字知

8、道這是個獨立重復試驗問題． 答案　B 解析　由題意知本題是一個獨立重復試驗，試驗發(fā)生的次數(shù)是10，選題正確的概率是，該同學至少答對9道題包括答對9道題或答對10道題，根據(jù)獨立重復試驗的公式得到該同學至少答對9道題的概率為P＝C109·()9×＋C1010()10≈3×10－5. 12．(2017·上海十二校聯(lián)考)小李同學在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，則他在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率為________．(用最簡分數(shù)表示) 答案　 解析　由于在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，則第三個路口首次遇到紅燈的

9、概率為P＝(1－)×(1－)×＝. 13．(2018·天津一中期末)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為________． 答案　 解析　記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，若小球落入B袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝()3＋()3＝，從而P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 14．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層停靠．若

10、該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(ξ＝4)＝________． 答案　 解析　考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故ξ～B(5，)． 即有P(ξ＝k)＝C5k()k×()5－k，k＝0，1，2，3，4，5. ∴P(ξ＝4)＝C54()4×()1＝. 15．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概

11、率等于________． 答案　0.128 解析　依題意得，事件“該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪”即意味著“該選手在回答前面4個問題的過程中，要么第一個問題答對且第二個問題答錯，第三、四個問題都答對了；要么第一、二個問題都答錯；第三、四個問題都答對了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128. 16．(2018·山東師大附中測試)在一次數(shù)學考試中，第22，23，24題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題，設5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為，每位考生對每題的選擇是相互獨立的，各考生的選擇相互之間沒有影響． (1)求

12、其中甲、乙兩人選做同一題的概率； (2)設選做第23題的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望． 答案　(1)　(2) 解析　(1)設事件A1表示甲選第22題，A2表示甲選第23題，A3表示甲選第24題， B1表示乙選第22題，B2表示乙選第23題，B3表示乙選第24題， 則甲、乙兩人選做同一題的事件為A1B1＋A2B2＋A3B3，且A1與B1，A2與B2，A3與B3相互獨立， 所以P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝3×＝. (2)設ξ可能的取值為0，1，2，3，4，5.∵ξ～B(5，)， ∴P(ξ＝k)＝C5k()

13、k()5－k＝C5k，k＝0，1，2，3，4，5. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P ∴E(ξ)＝np＝5×＝. 17．(2018·河南五個一聯(lián)盟)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；>300為嚴重污染． 一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如下． (1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這

14、個月總共30天計算) (2)將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學期望． 答案　(1)18　(2) 解析　(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為＝，估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×＝18. (2)由(1)可估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0，1，2，3. P(ξ＝0)＝()3＝， P(ξ＝1)＝C31××()2＝， P(ξ＝2)＝C32×()2×＝， P(ξ＝3)＝()3＝. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1

15、2 3 P ∵ξ～B(3，)，∴E(ξ)＝3×＝. 1．每次試驗的成功率為p(0

16、＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C30×()0×()3－C31×()1×()2＝1－－＝，故選C. 3．如果ξ～B，那么使P(ξ＝k)取最大值的k值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．3或4 答案　D 解析　采取特殊值法． ∵P(ξ＝3)＝C153，P(ξ＝4)＝C154，P(ξ＝5)＝C155， 從而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．故選D. 4.如圖所示，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(

17、　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 答案　B 解析　A1，A2不能同時工作的概率為0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－0.04＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864. 5．由0，1組成的三位編號中，若用A表示“第二位數(shù)字為0的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為0的事件”，則P(A|B)＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因為第一位數(shù)字可為0或1，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)＝，第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也是0，即事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)＝×

18、＝，所以P(A|B)＝＝＝. 6．在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是(　　) A．[0.4，1) B．(0，0.6] C．(0，0.4] D．[0.6，1) 答案　A 解析　C41p(1－p)3≤C42p2(1－p)2，4(1－p)≤6p，p≥0.4，又0

19、＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝. 8．一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答)． 答案　0.947 7 解析　分情況討論：若共有3人被治愈，則P1＝C43(0.9)3×(1－0.9)＝0.291 6；若共有4人被治愈，則P2＝(0.9)4＝0.656 1，故至少有3人被治愈概率P＝P1＋P2＝0.947 7. 9．(2017·武漢調(diào)研)如圖所示，圓通快遞公司送貨員從公司A處準備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線．若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨立的，且各路段發(fā)生堵車事件

20、的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為)．若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應選擇的路線是________． 思路　利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式與對立事件的概率公式、求出路線A→C→D→B途中堵車與路線A→E→F→B途中堵車的概率，哪條路線堵車的概率小，就選擇哪條路線． 答案　A→E→F→B 解析　路線A→C→D→B途中發(fā)生堵車事件的概率為P1＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝， 路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車事件的概率為P2＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝. 因為<，所以應選擇路線A→E→F→B.

21、 10．在某校老師趣味投藍比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進每個球的概率都是. (1)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望； (2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率． 答案　(1)E(X)＝4　(2) 解析　(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，依條件可知，X～B(6，)， P(X＝k)＝C6k·()k·()6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)＝(0×1＋1

22、×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝＝4. (或因為X～B(6，)，所以E(X)＝6×＝4.) (2)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則P(A)＝C42·()2·()4＋C41··()5＋()6＝， 即教師甲在一場比賽中獲獎的概率為. 11．(2018·福州市高三質(zhì)檢)質(zhì)檢過后，某校為了解理科班學生的數(shù)學、物理學習情況，利用隨機數(shù)表法從全年級600名理科生的成績中抽取100名學生的成績進行統(tǒng)計分析．已知學生考號的后三位分別為000，001，002，…，599. (1)若從隨機數(shù)表的第4行第7列的數(shù)開始向右讀，請依次寫出抽取的前7人的后三位考號；

23、(2)如果第(1)問中隨機抽取到的7名同學的數(shù)學、物理成績(單位：分)依次對應如下表： 數(shù)學成績 90 97 105 123 117 130 135 物理成績 105 116 120 127 135 130 140 從這7名同學中隨機抽取3名同學，記這3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望(規(guī)定成績不低于120分為優(yōu)秀)． 附：(下面是摘自隨機數(shù)表的第3行到第5行) …… 15 76 62 27 66　56 50 26 71 07　32 90 79 78 53　13 55 38 58 59　88 97 54 14 10 12

24、 56 85 99 26　96 96 68 27 31　05 03 72 93 15　57 12 10 14 21　88 26 49 81 76 55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30 …… 答案　(1)310，503，315，571，210，142，188　(2)E(ξ)＝ 解析　(1)抽出的前7人的后三位考號分別為：310，503，315，571，210，142，188. (2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3.依題意知，ξ服從超幾何分布H(7，3，3)， 所以P(ξ＝

25、0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 故隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 方法一：所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方法二：所以E(ξ)＝＝. 解題技巧　求解此類問題的關(guān)鍵：一是會“讀數(shù)”，即會利用隨機數(shù)表的讀數(shù)規(guī)則，得到樣本；二是求概率，即會利用排列、組合知識，以及古典概型的概率公式求基本事件的概率；三是定分布，即判斷離散型隨機變量是否服從超幾何分布H(N，M，n)；四是用公式，即利用超幾何分布的概率、期望、方差的公式P(X＝k)＝(k＝0，1，…，m)，E(X)＝，D(X)＝(1－)，求出X取每個值時的概率及X的期望、方差．