（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.1.2 極坐標系學案 蘇教版選修4-4

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1、 4.1.2　極坐標系 1．了解極坐標系． 2．會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置． 3．體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別． [基礎·初探] 1．極坐標系 (1)在平面上取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系．其中，點O稱為極點，射線Ox稱為極軸． (2)設M是平面上任一點，ρ表示OM的長度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，每一個有序實數(shù)對(ρ，θ)確定一個點的位置． ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．有序實數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極

2、坐標．約定ρ＝0時，極角θ可取任意角． (3)如果(ρ，θ)是點M的極坐標，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成點M的極坐標． 2．極坐標與直角坐標的互化 以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位(如圖4-1-3所示)，平面內任一點M的直角坐標(x，y)與極坐標(ρ，θ)可以互化，公式是：或 圖4-1-3 通常情況下，將點的直角坐標化為極坐標時，取ρ≥0,0≤θ＜2π. [思考·探究] 1．建立極坐標系需要哪幾個要素？ 【提示】　建立極坐標系的要素是：(1)極點；(2)極軸；(3)長度單位；(4

3、)角度單位和它的正方向，四者缺一不可． 2．為什么點的極坐標不惟一？ 【提示】　根據(jù)我們學過的任意角的概念：一是終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差2π的整數(shù)倍，所以點(ρ，θ)還可以寫成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是終邊在一條直線上且互為反向延長線的兩角的關系，所以點(ρ，θ)的坐標還可以寫成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)． 3．將直角坐標化為極坐標時如何確定ρ和θ的值？ 【提示】　由ρ2＝x2＋y2求ρ時，ρ不取負值；由tan θ＝(x≠0)確定θ時，根據(jù)點(x，y)所在的象限取得最小正角．當x≠0時，θ角才能由tan θ＝按上述方法確定．當x＝0時，tan θ沒有意義，這時又分

4、三種情況：(1)當x＝0，y＝0時，θ可取任何值；(2)當 x＝0，y＞0時，可取θ＝；(3)當x＝0，y＜0時，可取θ＝. [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：__________________

5、___________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 極坐標系中點的坐標 　寫出圖4-1-4中A、B、C、D、E、F、G各點的極坐標(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 圖4-1-4 【自主解答】　對每個點我們先看它的極徑的長，再確定它的極角，因此這些點的極坐標為A，B，C，D，E，F(xiàn)(3，π)，G. [再練一題] 1．已知邊長

6、為a的正六邊形ABCDEF，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出各點的極坐標． 【導學號：98990003】 【解】　以正六邊形中心O為極點，OC所在直線為極軸建立如圖所示的極坐標系．由正六邊形性質得： C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，π)，B(a，π) 或C(a,0)，D(a，)， E(a，)，F(xiàn)(a，π)，A(a，－)，B(a，－). 極坐標的對稱性 　在極坐標系中，求與點M(3，－)關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標． 【自主解答】　極坐標系中點M(ρ，θ)關于極軸對稱的點的極坐標為M′(ρ，2kπ－θ)(k∈Z)，利用這個規(guī)律可得對稱點的坐標為(

7、3,2kπ＋)(k∈Z)． [再練一題] 2．在極坐標系中，點A的極坐標為(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)． (1)點A關于極軸對稱的點的極坐標是________； (2)點A關于極點對稱的點的極坐標是________． (3)點A關于直線θ＝對稱的點的極坐標是________． 【解析】　通過作圖如圖可求解為 【答案】　(1)(3，)　(2)(3，)　(3)(3，) 極坐標與直角坐標的互化 　(1)把點M的極坐標化成直角坐標； (2)把點P的直角坐標(，－)化成極坐標(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 【自主解答】　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，點M的直

8、角坐標是(－4,4)． (2)ρ＝＝2， tan θ＝＝－， 又因為點P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，點P的極坐標為(2，)． [再練一題] 3．(1)把點A的極坐標(2，)化成直角坐標； (2)把點P的直角坐標(1，－)化成極坐標(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】　(1)x＝2cos ＝－， y＝2sin ＝－1， 故點A的直角坐標為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因為點P在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝. 因此點P的極坐標是(2，)． 極坐標系的應用 　在極坐標系中，已知A，B，求A、B兩點之間的距離． 【思路探究】　將

9、點的極坐標化為直角坐標，在用兩點間距離公式求解． 【自主解答】　對于A(3，－)， x＝3cos(－)＝；y＝3sin(－)＝－， ∴A(，－)． 對于B(1，)，x＝1×cos ＝－，y＝1×sin ＝，∴B(－，)． ∵AB＝＝＝4， ∴A、B兩點之間的距離為4. 有些問題在用極坐標表示時沒有現(xiàn)成的解法，但在直角坐標系中卻是一個常見的問題．因此，換一個坐標系，把極坐標系中的元素換成直角坐標系中的元素，問題就可以迎刃而解了．如果題目要求用極坐標作答，那么解完再用極坐標表示就行了． [再練一題] 4．在極坐標系中，已知三點：A(4,0)、B、C. (1)求直線AB與

10、極軸所成的角； (2)若A、B、C三點在一條直線上，求ρ的值． 【解】　(1)點A的直角坐標為(4,0)，點B的直角坐標為(0，－4)，直線AB在直角坐標系中的方程為x－y＝4.故直線AB與x軸所成角為. (2)點C的直角坐標為， 代入直線方程得 ρ－ρ＝4， 解得ρ＝＝4(＋1)． [真題鏈接賞析] 　(教材第17頁習題4.1第6題)將下列各點的極坐標化為直角坐標： ，，，(5，π)，， . 　已知下列各點的直角坐標，求它們的極坐標． (1)A(3，)；(2)B(－2，－2)； (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【命題意圖】　本題主要考查極坐標與直角坐標

11、的互化，屬基礎題． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2，tan θ＝，所以θ＝， 所以點A的極坐標為(2，)． (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點的極坐標為(4，π)． (3)ρ＝＝2.θ為π，θ在y軸負半軸上，所以點C的極坐標為(2，π)． (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0. 所以D點的極坐標為(3,0)． 1．點P(－2,2)的極坐標(θ∈[0,2π))為________． 【解析】　由ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1， ∵P點在第二象限內， ∴θ＝， ∴ρ的極坐標為(2，)． 【答案】　(2，) 2．在極坐標

12、系中，與(ρ，θ)關于極軸對稱的點是________． 【導學號：98990004】 【解析】　極徑為ρ，極角為θ，θ關于極軸對稱的角為負角－θ，故所求的點為(ρ，－θ)． 【答案】　(ρ，－θ) 3．將極坐標化為直角坐標為________． 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝0，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－2， 故直角坐標為(0，－2)． 【答案】　(0，－2) 4．已知A，B的極坐標分別是和，則A和B之間的距離等于________． 【解析】　由余弦定理得 AB＝ ＝ ＝＝ ＝. 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 8