（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 第2課時 拋物線及其標準方程學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 第2課時　雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標　1.理解直線與雙曲線的位置關(guān)系.2.會求解弦長問題． 知識點一　直線與雙曲線的位置關(guān)系 思考　直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點，則直線與圓(橢圓)相切，那么，直線與雙曲線相切，能用這個方法判斷嗎？ 答案　不能． 梳理　設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，① 雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點． (2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±時，Δ＝(－2a2mk)

2、2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ＞0?直線與雙曲線有兩個公共點，此時稱直線與雙曲線相交； Δ＝0?直線與雙曲線有一個公共點，此時稱直線與雙曲線相切； Δ＜0?直線與雙曲線沒有公共點，此時稱直線與雙曲線相離． 知識點二　弦長公式 若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則 |AB|＝＝. (1)若直線與雙曲線交于一點，則直線與雙曲線相切．(×) (2)過點A(1,0)作直線l與雙曲線x2－y2＝1只有一個公共點，這樣的直線可作2條．(×) (3)直線l：y＝x與雙曲線C：2x2－y2＝2有兩個公共點．(√)

3、 類型一　直線與雙曲線位置關(guān)系 例1　已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，試確定滿足下列條件的實數(shù)k的取值范圍． (1)直線l與雙曲線有兩個不同的公共點； (2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點； (3)直線l與雙曲線沒有公共點． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 解　聯(lián)立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 當(dāng)1－k2≠0，即k≠±1時， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)． (1)由得－＜k＜且k≠±1， 此時方程(*)有兩個不同的實數(shù)解， 即直線與雙

4、曲線有兩個不同的公共點． (2)由得k＝±， 此時方程(*)有兩個相同的實數(shù)解， 即直線與雙曲線有且只有一個公共點， 當(dāng)1－k2＝0，即k＝±1時， 直線l與雙曲線的漸近線平行， 方程(*)化為2x＝5， 故方程(*)只有一個實數(shù)解，即直線與雙曲線相交， 有且只有一個公共點． 故當(dāng)k＝±或±1時， 直線與雙曲線有且只有一個公共點． (3)由得k＜－或k＞， 此時方程(*)無實數(shù)解，即直線與雙曲線無公共點． 反思與感悟　(1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數(shù)為0時，直線與漸近線平行的特殊情況． (2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目，

5、應(yīng)分兩種情況討論：雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行． (3)注意對直線l的斜率是否存在進行討論． 跟蹤訓(xùn)練1　已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k. 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 解　當(dāng)直線l的斜率不存在時， l：x＝1與雙曲線相切，符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時， 設(shè)l的方程為y＝k(x－1)＋1， 代入雙曲線方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 當(dāng)4－k2＝0時，k＝±2， l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點； 當(dāng)4－k2≠0時

6、，令Δ＝0，得k＝. 綜上，k＝或k＝±2或k不存在． 類型二　弦長公式及中點弦問題 例2　過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，求|AB|的長． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線相交弦長與三角形面積 解　易得雙曲線的左焦點F1(－2,0)， ∴直線AB的方程為y＝(x＋2)， 與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2－4x－13＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝· ＝×＝3. 反思與感悟　解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數(shù)的取值范圍問題． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)A，B為雙曲線x2－＝1上

7、的兩點，線段AB的中點為M(1,2)．求： (1)直線AB的方程； (2)△OAB的面積(O為坐標原點)． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線相交弦長與三角形面積 解　(1)顯然直線AB的斜率存在， 設(shè)直線AB的方程為y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 由消去y， 整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則1＝＝，解得k＝1. 當(dāng)k＝1時，滿足Δ＞0， ∴直線AB的方程為y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， ∴|AB|＝· ＝×＝4. 又O到直線A

8、B的距離d＝＝， ∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2. 類型三　直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合問題 例3　直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B. (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其他問題 解　(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線C的方程2x2－y2＝1，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，① 依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點， 故 解得k的取值范圍為－2＜k

9、＜－. (2)設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則由①式，得 假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F，則FA⊥FB， ∴＋y1y2＝0， 即＋(kx1＋1)·(kx2＋1)＝0， (1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＝0， ∴(1＋k2)·＋·＋＝0， 化簡得5k2＋2k－6＝0， 解得k＝－或k＝(舍去)， 可知k＝－使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點． 反思與感悟　解決綜合問題時，可以仿照橢圓的處理思路，借助于方程思想，將問題進行化歸，然后利用直線與雙曲線位置關(guān)系進行求解． 跟蹤訓(xùn)練3　已知雙曲線C：－＝1

10、(a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點F到直線x＝的距離為. (1)求雙曲線C的方程； (2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點，已知A(1,0)，若·＝1，證明：過A，B，D三點的圓與x軸相切． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其他問題 (1)解　依題意有＝，c－＝， ∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3， ∴雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)證明　設(shè)直線l的方程為y＝x＋m(m＞0)， B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點為M， 由得2x2－2mx－m2－3＝0，

11、 ∴x1＋x2＝m，x1x2＝－， 又∵·＝1， 即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， ∴m＝0(舍)或m＝2， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－， M點的橫坐標為＝1， ∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2) ＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0， ∴AD⊥AB， ∴過A，B，D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑， ∵點M的橫坐標為1，∴MA⊥x軸， ∴過A，B，D三點的圓與x軸相切. 1．雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離為(　　) A．2B．2C.D．1 考點　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的漸近線方程 答案

12、　A 解析　∵雙曲線－＝1的一個焦點為F(4,0)，其中一條漸近線方程為y＝x，∴點F到x－y＝0的距離為＝2. 2．“直線與雙曲線有唯一交點”是“直線與雙曲線相切”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 答案　B 3．直線y＝x－1被雙曲線2x2－y2＝3所截得的弦的中點坐標是(　　) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 答案　C 解析　將y＝x－1代

13、入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中點的橫坐標為＝＝－1，故選C. 4．過點A(3，－1)且被A點平分的雙曲線－y2＝1的弦所在的直線方程是________． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其他問題 答案　3x＋4y－5＝0 解析　易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，設(shè)該直線的方程為y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0， ∴－＝6，∴k＝－， ∴所求直線方程為3x＋4y－5＝0. 5．過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|A

14、B|＝4，則滿足條件的直線l有________條． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線相交弦長與三角形面積 答案　3 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝， 由得y＝±2， ∴|AB|＝|y1－y2|＝4，滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－)， 由 得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0. 當(dāng)2－k2≠0時，x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝ ＝ ＝＝＝4， 解得k＝±.故滿足條件的直線l有3條． 雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等

15、式等知識交匯考查綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力． (1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時，注意運用向量的坐標運算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點的坐標問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立關(guān)系求解． (2)當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解. 一、選擇題 1．雙曲線C與橢圓＋＝1有相同的焦距，一條漸近線的方程為x－2y＝0，則雙曲線C的標準方程為(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1或y2－＝1 C．x2－＝1或y2－＝1 D．y2－＝1 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　漸近線為條件求雙曲線的方程 答案

16、　B 2．已知雙曲線－＝1(a>0)的右焦點為(3,0)，則雙曲線的離心率等于(　　) A.B.C.D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　C 解析　由題意知a2＋5＝9, 解得a＝2，e＝＝. 3．(2018屆浙江東陽中學(xué)期中)已知橢圓C1：＋y2＝1，雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)．若以橢圓C1的長軸為直徑的圓與雙曲線C2的一條漸近線交于A，B兩點，且橢圓C1與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則雙曲線C2的離心率是(　　) A.B．3C.D．5 答案　A 解析　由已知得|OA|＝， 設(shè)OA的方程為y＝kx(k>0，x>0)， 所以可設(shè)

17、A(x0，kx0)， 進一步可得x0＝，得A，所以AB的一個三等分點坐標為，該點在橢圓上， 所以＋2＝1， 即1＋13k2＝9(1＋k2)，解得k2＝2， 從而有＝2，b2＝2a2， 解得e＝＝＝. 4．(2017·嘉興一中期末)過雙曲線C：－＝1(b>a>0)的右頂點A作斜率為1的直線l，分別與兩漸近線交于B，C兩點，若＝2，則雙曲線C的離心率為(　　) A．2B.C.D. 答案　B 5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點　雙曲

18、線的幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的標準方程 答案　A 解析　由題意得c＝，＝，則a＝2，b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1. 6．斜率為2的直線l過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(1，) C．(1，) D．(，＋∞) 考點　雙曲線的離心率與漸近線 題點　雙曲線離心率的取值范圍 答案　D 7．設(shè)P為雙曲線C：x2－y2＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，若cos∠F1PF2＝，則△PF1F2的外接圓半徑為(　　) A.B．9C.D．3 考點　雙曲線

19、的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 答案　C 解析　由題意知雙曲線中a＝1，b＝1，c＝， 所以|F1F2|＝2. 因為cos∠F1PF2＝，所以sin∠F1PF2＝. 在△PF1F2中， ＝2R(R為△PF1F2的外接圓半徑)， 即＝2R，解得R＝， 即△PF1F2的外接圓半徑為，故選C. 二、填空題 8．兩個正數(shù)a，b的等差中項是，一個等比中項是，且a＞b，則雙曲線－＝1的離心率e＝________. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　 解析　由解得或 又a＞b，∴a＝3，b＝2， ∴c＝，∴e＝＝. 9．已知雙曲線C

20、：－＝1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數(shù)m的取值范圍 是________． 考點　雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用 題點　以離心率或漸近線為條件的簡單問題 答案　(4，＋∞) 解析　∵等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，∴雙曲線C：－＝1的離心率e＞，即＞2，∴m＞4. 10．已知雙曲線C的離心率為，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在雙曲線C上，若|F1A|＝3|F2A|，則cos∠AF2F1＝________. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 答案　 解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 設(shè)A為右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線

21、C的左、右焦點， 且|F2A|＝m，由題意可得|F1A|＝3m， 由雙曲線的定義可得|F1A|－|F2A|＝2a， 解得m＝a，又e＝＝， 可得c＝a. 在△AF1F2中，|F1A|＝3a，|F2A|＝a，|F1F2|＝2a， 可得cos∠AF2F1＝＝. 11．已知直線l與雙曲線C：x2－＝1交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(2,1)，則直線l的方程是_________________． 考點　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點　直線與雙曲線的其他問題 答案　8x－y－15＝0 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得x－＝1，x－＝1， 兩式相減可得，

22、(x1－x2)(x1＋x2)－＝0， 由M(2,1)為AB的中點， 得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 可得直線AB的斜率為k＝＝＝＝8， 即直線AB的方程為y－1＝8(x－2)， 即8x－y－15＝0. 將y＝8x－15代入雙曲線的方程x2－＝1， 可得60x2－240x＋229＝0， 即有Δ＝2402－4×60×229＝240×11＞0， 故直線l的方程為8x－y－15＝0. 三、解答題 12．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，且過點(－3，4)． (1)求雙曲線的方程； (2)若直線4x－y－6＝0與雙曲線相交于A，B兩點，求|AB|的值． 考點　由雙曲線的

23、幾何性質(zhì)求方程 題點　漸近線為條件求雙曲線方程 解　(1)設(shè)所求雙曲線的方程為x2－＝λ(λ≠0)， 把(－3,4)代入方程，得9－＝λ，所以λ＝1， 所以所求雙曲線的方程為x2－＝1. (2)直線方程4x－y－6＝0可變形為y＝4x－6， 把y＝4x－6代入x2－＝1，得3x2－12x＋10＝0， 則x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以|AB|＝ ＝＝. 13．設(shè)A，B分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋

24、＝t，求t的值及點D的坐標． 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距、實虛軸求方程 解　(1)由題意，知a＝2， 所以一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0， 所以＝，所以b2＝3， 所以雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 將直線方程代入雙曲線方程， 消去y得x2－16x＋84＝0， 則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12， 所以所以 由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)， 所以t＝4，點D的坐標為(4，3)． 四、探究與拓展 14．已知橢圓C1

25、：＋＝1(a1＞b1＞0)與雙曲線C2：－＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，點P是兩曲線的一個公共點，e1，e2又分別是兩曲線的離心率，若PF1⊥PF2，則4e＋e的最小值為(　　) A.B．4C.D．9 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 答案　C 解析　由題意設(shè)焦距為2c，令P在雙曲線的右支上， 由雙曲線的定義，知|PF1|－|PF2|＝2a2，① 由橢圓定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a1，② 又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③ ①2＋②2，得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a，④ 將④代入③，得

26、a＋a＝2c2， ∴4e＋e＝＋＝＋ ＝＋＋≥＋2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2a時，取等號，故選C. 15．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點為F(－2,0)． (1)求雙曲線的方程； (2)設(shè)Q是雙曲線上一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若||＝2||，求直線l的方程． 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距、實虛軸求方程 解　(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，b＝， 所以所求的雙曲線方程為x2－＝1. (2)因為直線l與y軸相交于點M且過焦點F(－2,0)， 所以l的斜率一定存在，設(shè)為k，則l：y＝k(x＋2)， 令x＝0，得M(0,2k)． 因為||＝2||且M，Q，F(xiàn)共線于l， 所以＝2或＝－2. 當(dāng)＝2時，xQ＝－，yQ＝k， 所以Q的坐標為， 又因為點Q在雙曲線x2－＝1上， 所以－＝1，所以k＝±， 所以直線l的方程為y＝±(x＋2)． 當(dāng)＝－2時，同理求得Q(－4，－2k)， 代入雙曲線方程，得16－＝1，所以k＝±， 所以直線l的方程為y＝±(x＋2)． 綜上，直線l的方程為y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)． 16