（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七單元 平面向量學(xué)案 文

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1、 第七單元 平面向量 教材復(fù)習(xí)課“平面向量”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò) 向量的有關(guān)概念 [過(guò)雙基] 名稱(chēng) 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)) 平面向量是自由向量 零向量 長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共線(xiàn)向量) 0與任一向量平行或共線(xiàn) 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 　　 1．若向量a與b不相

2、等，則a與b一定(　　) A．有不相等的?！　　　?B．不共線(xiàn) C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 解析：選C　若a與b都是零向量，則a＝b，故選項(xiàng)C正確． 2．關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共線(xiàn)向量，共線(xiàn)向量不一定是方向相反的向量 D．共線(xiàn)向量就是相等向量 解析：選C　對(duì)于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對(duì)于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對(duì)于C，方向相反的向量一定是共線(xiàn)向量，共線(xiàn)向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對(duì)于D，由共

3、線(xiàn)向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C. 3．下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①單位向量都相等； ②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量； ③若a，b滿(mǎn)足|a|>|b|且a與b同向，則a>b； ④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A　對(duì)于①，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯(cuò)誤； 對(duì)于④，向量是可以平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故④錯(cuò)誤． 綜上，正確的命題個(gè)數(shù)是0.

4、 [清易錯(cuò)] 1．對(duì)于平行向量易忽視兩點(diǎn)： (1)零向量與任一向量平行． (2)兩平行向量有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合，易忽視重合這一條件． 2．單位向量的定義中只規(guī)定了長(zhǎng)度沒(méi)有方向限制． 1．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線(xiàn) B．不共線(xiàn) C．共線(xiàn)且同向 D．不一定共線(xiàn) 解析：選D　可舉特例，當(dāng)n＝0時(shí)，滿(mǎn)足m∥n，n∥k，故A、B、C選項(xiàng)都不正確，故D正確． 2．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)選項(xiàng)中，一定能使＋＝0成立的是(　　) A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝－b D．a(chǎn)⊥b 解析：選C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等價(jià)于“非零

5、向量a，b共線(xiàn)且反向”，故答案為C. 向量共線(xiàn)定理及平面向量基本定理 [過(guò)雙基] 1．向量共線(xiàn)定理 向量b與a(a≠0)共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 2．平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 　 1．已知a，b是不共線(xiàn)的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件為(　　) A．λ＋μ＝2　　　　　　　 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D

6、．λμ＝1 解析：選D　∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴∥， 設(shè)＝m(m≠0)，即λa＋b＝ma＋mμb， ∴∴λμ＝1. 2．(2018·南寧模擬)已知e1，e2是不共線(xiàn)向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則的值為(　　) A．－ B. C．－2 D．2 解析：選C　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則故＝－2. 3．已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：選C　如圖， ∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. [清易錯(cuò)] 1．在向量

7、共線(xiàn)的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)． 2．平面向量基本定理指出：平面內(nèi)任何一個(gè)非零向量都可以表示為沿兩個(gè)不共線(xiàn)的方向分離的兩個(gè)非零向量的和，并且一旦分解方向確定后，這種分解是唯一的．這一點(diǎn)是易忽視的． 1．(2018·大連雙基測(cè)試)給出下列四個(gè)命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線(xiàn)向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小； ③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(xiàn)． 其中假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C?、馘e(cuò)誤，兩向量是否共線(xiàn)是要看其方向而不是起點(diǎn)或

8、終點(diǎn)；②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故向量不能比較大小，但向量的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大??；③錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，都有λa＝0；④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)a與b可以是任意向量． 2.如圖，在△OAB中，P為線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 平面向量的運(yùn)算 [過(guò)雙基] 1．向量的線(xiàn)性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法

9、則 平行四邊形法則 (1)交換律：a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向

10、量的坐標(biāo)運(yùn)算 ①向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)， |a|＝. ②向量坐標(biāo)的求法 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．(2018·嘉興測(cè)試)在△ABC中，已知M是BC邊的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，則＝(　　) A.a－b　　　　　　　　 B.a＋b C．a(chǎn)－b D．a(chǎn)

11、＋b 解析：選A　＝＋＝－＋＝－b＋a. 2．設(shè)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，且＋＝4，則(　　) A．＝2 B．＝4 C．＝2 D．＝4 解析：選A　∵D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)， ∴＋＝2， ∵＋＝4， ∴＝2. 3．已知AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)，＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　) A．(－1，－1) B．(3,7) C．(1,1) D．(2,4) 解析：選A　由題意可得＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 4．已知A(2,3)，B(4，－3)，且＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P(x，y)， ∵A(2,3)，B(4，－

12、3)，且＝3， ∴(x－2，y－3)＝3(2，－6)＝(6，－18)， ∴解得x＝8，y＝－15， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，－15)． 答案：(8，－15) 5．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c與向量ka＋b共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)， 因?yàn)橄蛄縞與向量ka＋b共線(xiàn)， 所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1. 答案：－1 6．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為_(kāi)_______． 解析：∵D為AB的中點(diǎn)

13、，∴＋＝2， ∵＋＋2＝0， ∴＝－， ∴O是CD的中點(diǎn)， ∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC. 答案：4 [清易錯(cuò)] 1．向量坐標(biāo)不是向量的終點(diǎn)坐標(biāo)，與向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)系． 2．?dāng)?shù)乘向量仍為向量，只是模與方向發(fā)生變化，易誤認(rèn)為數(shù)乘向量為實(shí)數(shù)． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝(　　) A．(2,2) B．(－2，－2) C．(4,6) D．(－4，－6) 解析：選C　＝＋＝(4,6)． 2．

14、已知向量a，b不共線(xiàn)，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD是(　　) A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形 解析：選A　因?yàn)椋絘＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b， 所以＝＋＋＝－8a－2b， 所以＝2，即直線(xiàn)AD與BC平行， 而向量與不共線(xiàn)，即直線(xiàn)AB與CD不平行， 故四邊形ABCD是梯形． 3．(2018·河北聯(lián)考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－2，－4) C．(－3，－6) D．(－4，－8) 解析：選D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a

15、＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 平面向量的數(shù)量積 [過(guò)雙基] 1．向量的夾角 定義 圖示 范圍 共線(xiàn)與垂直 已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是a與b的夾角 設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°?a∥b，θ＝90°?a⊥b 2．平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數(shù)量積a·b等于a

16、的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 　　 1．設(shè)向量e1，e2是

17、兩個(gè)互相垂直的單位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，則|a＋2b|＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 解析：選B　∵向量e1，e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量， ∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0， ∵a＝2e1－e2，b＝e2， ∴a＋2b＝2e1＋e2， ∴|a＋2b|2＝4e＋4e1·e2＋e＝5， ∴|a＋2b|＝. 2．(2018·云南檢測(cè))設(shè)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數(shù)量積等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選D　因?yàn)閍＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,

18、3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－， 所以a·b＝－1×＋2×1＝. 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝3，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D．π 解析：選D　設(shè)a與b的夾角為θ，由題意知|a|＝1，|b|＝2， ∵a·(a－b)＝a2－a·b＝12－1×2×cos θ＝3， ∴cos θ＝－1. 又θ∈[0，π]， ∴a與b的夾角為π. 4．已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為，則|a＋2b|＝________. 解析：∵(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×＋4＝4，∴|a＋

19、2b|＝2. 答案：2 5．(2018·衡水中學(xué)檢測(cè))在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝2，AC＝1，若＝，則·＝________. 解析：∵＝， ∴·＝(＋)·＝· ＝·＝2， 又∵C＝90°，AB＝2，AC＝1， ∴CB＝，∴·＝. 答案： 6．(2018·東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，＝2，＝(＋)，則·＝________. 解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，AB所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． 則B(0,0)，E，D(2,2)． 由＝(＋)，知F為BC的中點(diǎn)，所以F(1,0)，故＝，＝(－1，－2)， ∴·＝－2－＝－. 答案

20、：－ [清易錯(cuò)] 1．0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0. 2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 3．在運(yùn)用向量夾角時(shí)，注意其取值范圍為[0，π]． 1．有下列說(shuō)法： ①向量b在向量a方向上的投影是向量； ②若a·b>0，則a和b的夾角為銳角，若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角； ③(a·b)c＝a(b·c)； ④若a·b＝0，則a＝0或b＝0. 其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．3 C．4 D．2 答案：A 2．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取

21、值范圍是________． 解析：由題意可得a·b>0，且a，b不共線(xiàn)， 即解得λ>－5，且λ≠－. 答案：∪ 3．已知向量a，b滿(mǎn)足a＝(2,0)，|b|＝1，若|a＋b|＝，則a與b的夾角是________． 解析：由|a＋b|＝，得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2a·b＋1＝7， ∴a·b＝1， ∴|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1， ∴cos〈a，b〉＝.又〈a，b〉∈[0，π]， ∴a，b的夾角為. 答案： 一、選擇題 1．(2018·常州調(diào)研)已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，且點(diǎn)O滿(mǎn)足＋＋＝0，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．＝＋　　 B．＝＋

22、 C．＝－ D．＝－－ 解析：選D　∵＋＋＝0， ∴O為△ABC的重心， ∴＝－×(＋)＝－(＋) ＝－(＋＋)＝－(2＋) ＝－－. 2．(2018·合肥質(zhì)檢)已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2＋＝0，則向量等于(　　) A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 解析：選C　因?yàn)椋剑剑? 所以2＋＝2(－)＋(－) ＝－2＋＝0， 所以＝2－. 3．已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2，則|a－b|的值為(　　) A．1 B. C．13 D. 解析：選A　由向量a與b的夾角為30°，且|a|＝，|b|＝2， 可得a

23、·b＝|a|·|b|·cos 30°＝×2×＝3， 所以|a－b|＝＝ ＝＝1. 4．(2018·成都一診)在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．－ B．0 C. D．3 解析：選A　依題意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－. 5．已知非零向量a，b滿(mǎn)足a·b＝0，|a|＝3，且a與a＋b的夾角為，則|b|＝(　　) A．6 B．3 C．2 D．3 解析：選D　由非零向量a，b滿(mǎn)足a·b＝0，可知兩個(gè)向量垂直，由|a|＝3，且a與a＋b的夾角為，說(shuō)明以向量a，b為鄰邊，a＋b為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是正方形，所以|b|＝

24、3. 6．(2017·青島二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，則x＝(　　) A．－2 B．－4 C．－3 D．－1 解析：選D　依題意得b＝2＝(－4,2)，所以2a＋b＝(－2,6)，所以6x＝－2×3＝－6，x＝－1. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠AOC＝，且||＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 解析：選A　因?yàn)閨|＝2，∠AOC＝， 所以C(，)， 又＝λ＋μ， 所以(，)＝λ(1,0)

25、＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 8.已知函數(shù)f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)B，C是該圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與該圖象交于D，E兩點(diǎn)，則(＋)·(－)的值為(　　) A．－1 B．－ C. D．2 解析：選D　注意到函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，因此C是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，＋＝2. 又－＝＋＝， 且||＝T＝×＝1， 因此(＋)·(－)＝22＝2. 二、填空題 9．(2018·洛陽(yáng)一模)若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：∵＝(a－1,3)，＝(－3,4)

26、， 據(jù)題意知∥， ∴4(a－1)＝3×(－3)， 即4a＝－5， ∴a＝－. 答案：－ 10．已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示) 解析：如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a?。璦－b 11．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴ ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 12．若向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，a＋c＝0，

27、則c在b方向上的投影為_(kāi)_______． 解析：∵a＋c＝0， ∴c＝－a＝(－2，－3)， ∴c·b＝8－21＝－13，且|b|＝， ∴c在b方向上的投影為 |c|cos〈c，b〉＝|c|·＝＝－＝－. 答案：－ 三、解答題 13．已知向量a＝(3,0)，b＝(－5,5)，c＝(2，k)． (1)求向量a與b的夾角； (2)若b∥c，求k的值； (3)若b⊥(a＋c)，求k的值． 解：(1)設(shè)向量a與b的夾角為θ， ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)， ∴a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝＝5， ∴cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π

28、]， ∴θ＝. (2)∵b∥c，∴－5k＝5×2，∴k＝－2. (3)∵a＋c＝(5，k)，又b⊥(a＋c)， ∴b·(a＋c)＝0， ∴－5×5＋5×k＝0， ∴k＝5. 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解：(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin x－cos x＝0， ∴tan x＝1. (2)∵m與n的夾角為， ∴m·n＝|m|·|n|cos ， 即sin x－cos x＝， ∴sin＝. 又∵x∈， ∴x

29、－∈， ∴x－＝，即x＝. 高考研究課(一) 平面向量的基本運(yùn)算 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 5年1考 三角形中的線(xiàn)性運(yùn)算 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 5年3考 求坐標(biāo)及待定參數(shù) 共線(xiàn)向量定理 5年3考 已知共線(xiàn)求參數(shù)值 平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 [典例]　(1)(2018·濟(jì)南模擬)在△ABC中，AB邊的高為CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則＝(　　) A.a－b　　　　　　 B.a－b C.a－b D.a－b (2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝

30、________. [解析]　(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝，CD＝， ∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1. ∴＝＝(－)＝a－b. (2)法一：由＝λ＋μ， 得＝λ·(＋)＋μ·(＋)， 則＋＋＝0， 得＋＋＝0， 得＋＝0. 因?yàn)椋还簿€(xiàn)， 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ＋μ＝. 法二：連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于T， 由已知易得AB＝AT， 則＝＝λ＋μ， 即＝λ＋μ， 因?yàn)門(mén)，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，所以λ＋μ＝1. 故λ＋μ＝. [答案]　(1)D　(2) [方法技巧] (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利

31、用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．　　 [即時(shí)演練] 1．向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a－b＝(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　結(jié)合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2. 2.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：

32、選A　法一：由題意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故選A. 法二：利用坐標(biāo)法，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，∴＝，＝(1,0)，＝(1,1)，則＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [典例]　(1)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) (2)(2018·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5，－6)

33、和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) [解析]　(1)由題意，＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，＝－＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)， ∵＝2， ∴＝3＝(－6,21)． (2)＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以即 [答案]　(1)B　(2)A [方法技巧] 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及

34、正確使用運(yùn)算法則．　　 [即時(shí)演練] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　　) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 解析：選B　設(shè)c＝λ1a＋λ2b，則(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，所以c＝a－b. 2．已知向量a＝(1,1)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線(xiàn)y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)B(x,2x)，＝(x－3,2x)． ∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3， ∴B(－3，

35、－6)． 答案：(－3，－6) 共線(xiàn)向量定理及應(yīng)用 平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬低檔題.,常見(jiàn)的命題角度有： (1)利用向量共線(xiàn)求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)利用向量共線(xiàn)解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題. 角度一：利用向量共線(xiàn)求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo) 1．若向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)x＝(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．6 解析：選B　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3. 2．已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)

36、為_(kāi)_______． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)． 答案：(2,4) 3．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(a－b)，則m＝________. 解析：因?yàn)閍＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)， 所以a＋c＝(1＋m，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)． 又(a＋c)∥(a－b)， 所以(1＋m)(m－5)＋(m＋3)＝0

37、，即m2－3m－2＝0， 解得m＝或m＝. 答案： [方法技巧] 1．利用兩向量共線(xiàn)求參數(shù) 如果已知兩向量共線(xiàn)，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 2．利用兩向量共線(xiàn)的條件求向量坐標(biāo) 一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．　　 角度二：利用向量共線(xiàn)解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題 4．(2018·南陽(yáng)五校聯(lián)考)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角

38、形，則k＝________. 解析：若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線(xiàn)， ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. 答案：1 5．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)． 證明：因?yàn)椋絘＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝5(a＋b)＝5. 所以，共線(xiàn)． 又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)． [方法技巧] 三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的求解策略 　　解決點(diǎn)共線(xiàn)或向量

39、共線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合向量共線(xiàn)定理進(jìn)行，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩個(gè)向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線(xiàn)．　　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：選A　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線(xiàn)BD的方程為2x＋y－2＝0，點(diǎn)C到直線(xiàn)BD的距離為＝，所以圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝. 因?yàn)镻在圓C上，所以

40、P. 又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)， 所以 λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時(shí)，λ＋μ取得最大值3. 2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：選A?。剑剑剑?－)＝－＝－＋. 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：選A　法一：設(shè)C(x

41、，y)， 則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以 從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 4．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2， ∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2. 答案：－2 5．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝

42、________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6. 答案：－6 6．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： 7．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝(＋)，則與的夾角為_(kāi)_______． 解析：由＝(＋)，可得O為BC的中點(diǎn)，故BC為圓O的直徑，所以與的夾角為90°. 答案：90° 一、選擇題 1.(2018·長(zhǎng)春模擬)如圖所示，

43、下列結(jié)論正確的是(　　) ①＝a＋b； ②＝a－b； ③＝a－b； ④＝a＋b. A．①②　　　　　　　　 B．③④ C．①③ D．②④ 解析：選C?、俑鶕?jù)向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；②根據(jù)向量的減法法則，得＝a－b，故②錯(cuò)誤；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯(cuò)誤，故選C. 2．(2018·長(zhǎng)沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值是(　　) A．－ B. C. D. 解析：選A?。剑?4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴

44、，共線(xiàn)， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得k＝－. 3．(2018·嘉興調(diào)研)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：選A　由＋＋＝0得，＋＝，由O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°. 4．若＝a，＝b，a與b不共線(xiàn)，則∠AOB平分線(xiàn)上的向量為(　　) A.＋ B. C. D．λ，λ由確定 解析：選D　以O(shè)M為對(duì)角線(xiàn)，以，方向?yàn)猷忂呑髌叫兴倪呅蜲CMD， ∵OM平分∠AOB， ∴平行四邊形OC

45、MD是菱形． 設(shè)OC＝OD＝λ， 則＝λ，＝λ， ∴＝＋＝λ，且λ由確定． 5．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　由題意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋與反向平行． 6.如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　利用三角形的性質(zhì)，過(guò)重心作平行于底邊BC的直線(xiàn)，易

46、得x＝y(tǒng)＝，則＝. 7．(2018·蘭州模擬)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因?yàn)閍∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sin θ＝±，故銳角θ＝. 8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D，P是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足＝(＋)，＝＋，則△APD的面積為(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　法一：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，由于△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，AD＝.?。剑訟D，AF為鄰

47、邊作平行四邊形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面積為××＝. 法二：以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． ∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4， ∴B(－2，－2)，C(2，－2)， 由題知＝(＋)＝[(－2，－2)＋(2，－2)]＝(0，－)， ＝＋＝(0，－)＋(4,0)＝， ∴△ADP的面積為S＝||·| |＝××＝. 二、填空題 9．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 解析：在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3

48、e2)＝e1＋e2. 答案：e1＋e2 10．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 解析：依題意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0. 答案：0 11．(2018·貴陽(yáng)模擬)已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，則向量a的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)a＝(x，y)， ∵平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b， ∴＝1，且x－y＝0，解得x＝y(tǒng)＝±. ∴a＝或. 答案：或 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，

49、F分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng)(如圖所示)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________． 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F(xiàn)， 設(shè)P(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵＝λ＋μ， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ ＝， ∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋， ∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)， ∵0

50、°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－≤sin(α－45°)≤， ∴－1≤sin(α－45°)≤1， ∴2λ－μ的取值范圍是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答題 13.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)． 解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使＝， 連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)

51、可知＝， 又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B， 所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)． 14．(2018·鄭州模擬)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k的值； (2)若d滿(mǎn)足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo)． 解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴解得或 ∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)． 15.如圖，在△O

52、AB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)在線(xiàn)段AC上取一點(diǎn)E，在線(xiàn)段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1. 解：(1)設(shè)＝xa＋yb， 由＝，得＝4x＋yb， ∵C，M，B三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴4x＋y＝1.① 由＝，得＝xa＋2y， ∵A，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴x＋2y＝1，② 聯(lián)立①②得，x＝，y＝. ∴＝a＋b. (2)證明：∵＝p，＝q， ∴＝，＝， ∴＝·＋·. ∵E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴＋＝1. 1．已知點(diǎn)P是△ABC的中位線(xiàn)EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足＋x＋y＝0，設(shè)△ABC，

53、△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記＝λ1，＝λ2，＝λ3，則λ2·λ3取最大值時(shí)，3x＋y的值為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D　由題意可知λ1＋λ2＋λ3＝1. ∵P是△ABC的中位線(xiàn)EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC， ∴λ1＝， ∴λ2＋λ3＝， ∴λ2λ3≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)λ2＝λ3＝時(shí)取等號(hào)， ∴λ2·λ3取最大值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)． 延長(zhǎng)AP交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)， ∴PA＝PM， ∴＝－＝－(＋)， 又∵＋x＋y＝0， ∴x＝y(tǒng)＝， ∴3x＋y＝2. 2.如圖，在Rt△ABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，

54、且滿(mǎn)足＝，點(diǎn)M，N在過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)上，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，則λ＋2μ的最小值為(　　) A．2 B. C．3 D. 解析：選B　∵＝λ，＝μ (λ>0，μ>0)， ∴＝＋＝(1－λ). ∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)共線(xiàn)， ∴存在實(shí)數(shù)k，使＝k＝k(－)＝－kλ＋kμ. ∵＝，∴＝＝－. ∴＋＝＋＝(1－λ)， ∴ 由②得，k＝代入①得，－＝1－λ， ∴μ＝， ∴λ＋2μ＝λ＋. 設(shè)f(λ)＝λ＋，λ>0， ∴f′(λ)＝，令f′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝. 當(dāng)λ∈時(shí)，f′(λ)<0，當(dāng)λ∈時(shí)，f′(λ)>0. ∴λ＝時(shí)，f(λ)取極小值，也是最小值， 又f＝

55、，∴f(λ)的最小值為， 即λ＋2μ的最小值為. 高考研究課(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 數(shù)量積的運(yùn)算 5年5考 求數(shù)量積及由數(shù)量積求參數(shù) 向量的模 5年2考 求模及由模的關(guān)系求參數(shù) 向量夾角及垂直 5年4考 由向量垂直求參數(shù)，由坐標(biāo)求向量夾角 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 [典例]　(1)已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，若＝3，＝，則·等于(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－ C．2 D. (2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_(kāi)_____；·的最大值為_(kāi)____

56、___． [解析]　(1)如圖所示，· ＝(－)·(＋) ＝· ＝· ＝2－2＝×4－×4＝－2. (2)法一： 如圖，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1， ·＝(＋)· ＝·＋·＝· ＝||·||≤||2＝1，故·的最大值為1. 法二：以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因?yàn)椋?1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 法三： 由圖知，無(wú)論E

57、點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·1＝1. 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC＝1， ∴(·)max＝||·1＝1. [答案]　(1)A　(2)1　1 [方法技巧] 平面向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法 方法 運(yùn)用提示 適用題型 定義法 當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題 坐標(biāo)法 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題 [即時(shí)演練

58、] 1．(2016·天津高考)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B. C. D. 解析：選B　如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 且DE＝2EF，所以＝， ＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝. 2．(2018·豫東名校聯(lián)考)如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F(xiàn)是線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且＝3，若DE是圓A中繞圓心A運(yùn)動(dòng)的一條直徑，則·的值是___

59、_____． 解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1＝－. 答案：－ 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題. 常見(jiàn)的命題探究角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模 1．(2017·浙江高考)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4. 又≤ ＝

60、＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值為2. 法二：設(shè)a，b的夾角為θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值為4，最大值為2. 答案：4　2 2．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，設(shè)向量c滿(mǎn)足(2a－c)·(3b－c)＝0，則|c|的最大值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)c＝(x，y)，2a－c＝(2－x,2－y)，3b－c＝(－3－x,3－y)，則由題意得(2－x)·(－3－x)＋(

61、2－y)·(3－y)＝0，即2＋2＝，表示以為圓心，為半徑的圓，所以|c|的最大值為. 答案： [方法技巧] 利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. [提醒]　與模有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題要注意抓住模的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．　　 角度二：平面向量的夾角 3．已知單位向量e1與e2的夾角為60°，則|e1－2e2|＝________. 解析：∵單位向量e1與e2的夾角為60°， ∴|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝， ∴|e1－2e2

62、|＝＝＝. 答案： 4．(2018·洛陽(yáng)期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解：∵a與a＋λb均為非零向量，且?jiàn)A角為銳角， ∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－. 當(dāng)a與a＋λb共線(xiàn)時(shí)， 存在實(shí)數(shù)m，使a＋λb＝ma， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴解得λ＝0. 即當(dāng)λ＝0時(shí)，a與a＋λb共線(xiàn)， 綜上可知，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為∪(0，＋∞)． [方法技巧] 向量夾角問(wèn)題的2個(gè)注意點(diǎn) (1)切記向量夾角的范圍是[0，π]． (2)a

63、與b夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線(xiàn)，a與b夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線(xiàn)．　　 角度三：平面向量的垂直 5．(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 解析：因?yàn)椋剑? 故＝，解得λ＝. 答案： 6．(2016·山東高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______． 解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)， ∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0， 即t＋6＋t＋4＝0， 解得t

64、＝－5. 答案：－5 [方法技巧] 兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.　　 平面向量與三角函數(shù)的綜合 [典例]　(2018·懷化模擬)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C. (1)求角C的大?。? (2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且·(－)＝18，求c. [解]　(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)， ∵在△ABC中，A＋B＝π－C,0

65、 ∴sin(A＋B)＝sin C， ∴m·n＝sin C， 又m·n＝sin 2C， ∴sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝. (2)由sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列， 可得2sin C＝sin A＋sin B， 由正弦定理得2c＝a＋b. ∵·(－)＝18， ∴·＝18， 即abcos C＝18，ab＝36. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝(a＋b)2－3ab， ∴c2＝4c2－3×36，c2＝36， ∴c＝6. [方法技巧] 平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用

66、向量共線(xiàn)或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解． (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．　　 [即時(shí)演練] 1．(2018·云南檢測(cè))已知向量a＝(sin x,1)，b＝(t，x)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 解析：由f(x)＝a·b＝tsin x＋x，得f′(x)＝tcos x＋1， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)， 所以f′(x)≥0在區(qū)間上恒成立， 即tcos x＋1≥0恒成立， 即t≥－在上恒成立， 所以t≥max，所以t≥－1. 答案：[－1，＋∞) 2．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若x＝，求向量a，c的夾角； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)＝2a·b＋1的最小值． 解：(1)當(dāng)x＝時(shí)，cos〈a，c〉＝ ＝ ＝－cos x＝－cos ＝－. 又∵0≤〈a，c〉≤π， ∴〈a，c〉＝，即向量a，c的