2022高考數(shù)學一輪復習 第10章 算法初步與統(tǒng)計 第4課時 線性回歸分析與統(tǒng)計案例練習 理

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1、2022高考數(shù)學一輪復習 第10章 算法初步與統(tǒng)計 第4課時 線性回歸分析與統(tǒng)計案例練習 理 1．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r如下表： 甲 乙 丙 丁 r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85 則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性(　　) A．甲　　　　　　　　　　 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 2．(2018·湖北七市聯(lián)考)廣告投入對商品的銷售額有較大影響．某電商對連續(xù)5個年度的廣告費x和銷售額y進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(單位：萬元)： 廣告費x 2

2、 3 4 5 6 銷售額y 29 41 50 59 71 由上表可得回歸方程為＝10.2x＋，據(jù)此模型，預測廣告費為10萬元時銷售額約為(　　) A．101.2萬元 B．108.8萬元 C．111.2萬元 D．118.2萬元 答案　C 解析　根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，可得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回歸直線＝10.2x＋經(jīng)過樣本點的中心(4，50)，∴50＝10.2×4＋，解得＝9.2，∴回歸方程為＝10.2x＋9.2，∴當x＝10時，＝10.2×10＋9.2＝111.2，故選C. 3．(2018·贛州一模)以下四

3、個命題： ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣； ②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1； ③在回歸直線方程＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位； ④分類變量X與Y，對它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大． 其中真命題為(　　) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 答案　D 解析?、贋橄到y(tǒng)抽樣；④分類變量X與Y，對它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，“X與Y有關系”的把握程度越大． 4．下面是一個2

4、×2列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合計 b 46 120 其中a，b處填的值分別為(　　) A．94　72 B．52　50 C．52　74 D．74　52 答案　C 解析　由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故選C. 5．(2018·湖南衡陽聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115

5、124 103 則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 解析　r越大，m越小，線性相關性越強．故選D. 6．(2018·衡水中學調研)以下四個命題中，真命題是(　　) A．對分類變量x與y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，判斷“x與y有關系”的把握程度越大 B．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于0 C．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為2 D．在回歸分析中，可用相關指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越

6、好 答案　D 解析　對于A，對分類變量x與y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，判斷“x與y有關系”的把握程度越大，故A錯誤；對于B，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，故B錯誤；對于C，若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為4，故C錯誤；對于D，根據(jù)離散變量的線性相關及相關指數(shù)的有關知識可知D正確． 7．2015年年度史詩大劇《羋月傳》風靡大江南北，影響力不亞于以前的《甄嬛傳》．某記者調查了大量《羋月傳》的觀眾，發(fā)現(xiàn)年齡段與愛看的比例存在較好的線性相關關系，年齡在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[

7、25，29][30，34]的愛看比例分別為10%，18%，20%，30%，t%.現(xiàn)用這5個年齡段的中間值代表年齡段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根據(jù)前四個數(shù)據(jù)求得愛看比例y關于x的線性回歸方程為y＝(kx－4.68)%，由此可推測t的值為(　　) A．33 B．35 C．37 D．39 答案　B 解析　依題意，x＝×(12＋17＋22＋27)＝19.5， y＝×(10%＋18%＋20%＋30%)＝19.5%， 又∵回歸直線必過點(x，y)，∴19.5%＝(k×19.5－4.68)%，解得k＝，∴當x＝32時，(×32－4.68)%＝35%，∴t≈35.

8、 8．(2018·廣西南寧月考)某同學寒假期間對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調查，列出了如下列聯(lián)表： 偏愛蔬菜 偏愛肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 則可以說其親屬的飲食習慣與年齡有關的把握為(　　) 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.90% B．95% C．99% D．99.9%

9、 答案　C 解析　由2×2列聯(lián)表知，K2＝＝10.∵K2>6.635，K2<10.828，∴有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關． 9．2017世界特色魅力城市200強新鮮出爐，包括黃山市在內(nèi)的28個中國城市入選，美麗的黃山風景和人文景觀迎來眾多賓客．現(xiàn)在很多人喜歡“自助游”，某調查機構為了了解“自助游”是否與性別有關，在黃山旅游節(jié)期間，隨機抽取了100人，得如下所示的列聯(lián)表： 贊成“自助游” 不贊成“自助游” 合計 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合計 75 25 100 參照公式，得到的正確結論是(　　) A．有99.5%以

10、上的把握認為“贊成‘自助游’與性別無關” B．有99.5%以上的把握認為“贊成‘自助游’與性別有關” C．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別無關” D．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別有關” 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案　D 解析　將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計算，得K2＝≈3.030，∵

11、2.706<3.030<3.841，∴在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，可以認為“贊成‘自助游’與性別有關”． 10．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如下表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對x的線性回歸直線方程為(　　) A．＝2.3x－0.7 B．＝2.3x＋0.7 C．＝0.7x－2.3 D．＝0.7x＋2.3 (相關公式：＝，＝y(tǒng)－x) 答案　C 解析　∵xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝＝9，y＝＝4. ∴＝＝0.7，＝4－0.7×9＝－2.3. 故線性回歸直線方程

12、為＝0.7x－2.3. 11．在一次考試中，5名學生的數(shù)學和物理成績?nèi)缦卤恚?已知學生的數(shù)學和物理成績具有線性相關關系) 學生的編號i 1 2 3 4 5 數(shù)學成績x 80 75 70 65 60 物理成績y 70 66 68 64 62 現(xiàn)已知其線性回歸方程為 ＝0.36x＋ ，則根據(jù)此線性回歸方程估計數(shù)學得90分的同學的物理成績?yōu)開_______(四舍五入到整數(shù))． 答案　73 解析　＝＝70，＝＝66， 所以66＝0.36×70＋ ，解得 ＝40.8. 所以0.36×90＋40.8＝73.2≈73. 12．某工廠為了對一種新研發(fā)的產(chǎn)品進行

13、合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 4 5 6 7 8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為＝－4x＋.若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為________． 答案　 解析　由表中數(shù)據(jù)得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋，得＝106，故線性回歸方程為＝－4x＋106.將(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分別代入回歸方程，可知有6個基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，

14、84)和(9，68)在直線的左下方，滿足條件的只有2個，故所求概率為＝. 13．已知某學校的特長班有50名學生，其中有體育生20名，藝術生30名，在學校組織的一次體檢中，該班所有學生進行了心率測試，心率全部介于50次/分到75次/分之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組[50，55)，第二組[55，60)，…，第五組[70，75]，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示．因為學習專業(yè)的原因，體育生常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術生則很少進行系統(tǒng)的身體鍛煉，若前兩組的學生中體育生有8名． (1)根據(jù)頻率分布直方圖及題設數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表． 心率小于60次/分 心率不小于60次/分

15、 合計 體育生 20 藝術生 30 合計 50 (2)根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)計算可知，________(填“有”或“沒有”99.5%的把握認為“心率小于60次/分與常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉有關”． 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案　(1)見解析　(2)有關 解析　(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，前兩組的學生總數(shù)為(0.032＋0.

16、08)×5×50＝10，又前兩組的學生中體育生有8名，所以前兩組的學生中藝術生有2名，故2×2列聯(lián)表如下： 心率小于60次/分 心率不小于60次/分 合計 體育生 8 12 20 藝術生 2 28 30 合計 10 40 50 (2)由(1)中數(shù)據(jù)知，K2＝≈8.333>7.879，故有99.5%的把握認為“心率小于60次/分與常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉有關”． 14．(2018·山東日照一模)某學校高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人．為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們期中考試的

17、數(shù)學分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成5組：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)從樣本中分數(shù)低于110分的學生中隨機抽取兩人，求這兩人恰好為一男一女的概率； (2)若規(guī)定分數(shù)不低于130分的學生為“數(shù)學尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”． 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.

18、879 10.828 答案　(1)　(2)有關 解析　(1)由已知得，抽取的100名學生中，男生60名，女生40名． 分數(shù)低于110分的學生中，男生有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；女生有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2. 從中隨機抽取兩名學生，所有的可能結果共有10種，它們是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)(B1，B2)； 其中兩名學生恰好為一男一女的可能結果共有6種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B

19、1)，(A3，B2)． ∴所求概率為P＝＝. (2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名學生中，分數(shù)不低于130分的男生人數(shù)為60×0.25＝15，分數(shù)不低于130分的女生人數(shù)為40×0.4＝16，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 數(shù)學尖子生 非數(shù)學尖子生 合計 男生 15 45 60 女生 16 24 40 合計 31 69 100 ∴K2＝≈2.525<2.706， ∴沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”． 15．(2017·四川廣元二診)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至

20、12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差x(℃) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)y(顆) 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗． (1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是12月1日與12月5日的數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與

21、所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆．則認為得到的線性回歸方程是可靠的．試問(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？ 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 答案　(1)　(2) ＝x－3　(3)可靠 解析　(1)設“選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天的數(shù)據(jù)”為事件A. 從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)． 每種情況都是等可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種． ∴P(A)＝＝. ∴選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率是

22、. (2)由數(shù)據(jù)可得＝＝12，＝＝27. ∴＝＝， ＝－ ＝27－×12＝－3. ∴y關于x的線性回歸方程為＝x－3. (3)當x＝10時，＝×10－3＝22，|22－23|<2； 同理，當x＝8時，＝×8－3＝17，|17－16|<2. ∴(2)中所得到的線性回歸方程是可靠的． 16．(2018·河北唐山模擬)某市春節(jié)期間7家超市的廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如下： 超市 A B C D E F G 廣告費支出xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售額yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)

23、若用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程； (2)用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關系，可得回歸方程：y∧＝－0.17x2＋5x＋20，經(jīng)計算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.92和0.75，請用R2說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額． 參考數(shù)據(jù)及公式：x＝8，y＝42，xiyi＝2 794，xi2＝708，＝，＝y(tǒng)－x. 答案　(1) ＝1.7x＋28.4　(2)33.47 解析　(1) ＝＝＝1.7，＝y(tǒng)－x＝42－1.7×8＝28.4. ∴y關于x的線性回歸方程是＝1.7x＋28.4. (2)∵0.75<0

24、.92，∴二次函數(shù)回歸模型更合適． 當x＝3萬元時，＝－0.17×9＋5×3＋20＝33.47，預測A超市銷售額為33.47萬元． 1．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數(shù)是r，y關于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有(　　) A．b與r的符號相同 B．a(chǎn)與r的符號相同 C．b與r的符號相反 D．a(chǎn)與r的符號相反 答案　A 2．下列說法： ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變； ②設有一個回歸方程＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位； ③回歸直線＝x＋必過點(，)； ④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算

25、得K2的觀測值k＝13.079，則在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為這兩個變量間有關系．其中錯誤的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 本題可以參考獨立性檢驗臨界值表： P(K2≥k) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案　B 解析　只有②錯誤，應該是y平均減少5個單位． 3．(2018·湖南衡陽模擬)根據(jù)“2015

26、年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報”中公布的數(shù)據(jù)，從2011年到2015年，我國的第三產(chǎn)業(yè)在GDP中的比重如下： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 年份代碼x 1 2 3 4 5 第三產(chǎn)業(yè)比重y/% 44.3 45.5 46.9 48.1 50.5 (1)在所給坐標系中作出數(shù)據(jù)對應的散點圖； (2)建立第三產(chǎn)業(yè)在GDP中的比重y關于年份代碼x的回歸方程； (3)按照當前的變化趨勢，預測2018年我國第三產(chǎn)業(yè)在GDP中的比重． 附：回歸直線＝＋x的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝y(tǒng)－x. 答案　(1)見解析　(2) ＝1.5x

27、＋42.56　(3)54.56% 解析　(1)數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示． (2)x＝3，y＝47.06，＝＝＝1.5，＝y(tǒng)－x＝42.56， 所以回歸直線方程為＝1.5x＋42.56. (3)代入2018年的年份代碼x＝8，得＝1.5×8＋42.56＝54.56， 所以按照當時的變化趨勢，預計到2018年，我國第三產(chǎn)業(yè)在GDP中的比重將達到54.56%. 4．假設關于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如以下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)； x(年) 2 3 4 5 6 y(萬元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)求，； (2)對x

28、，y進行線性相關性檢驗； (3)如果x與y具有線性相關關系，求出回歸直線方程； (4)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？ 答案　(1)＝4，＝5　(2)略　(3) ＝1.23x＋0.08　(4)12.38萬元 解析　(1)＝＝4，＝＝5. 所以r＝＝≈0.987. 因為0.987>0.75，所以x與y之間具有很強的線性相關關系． (4)當x＝10時，＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估計使用年限為10年時，維修費用約為12.38萬元． 5．(2018·廣東韶關期末)某商店為了更好地規(guī)劃某種商品的進貨量，從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機抽取了8組數(shù)據(jù)作為研究對象

29、，如下表所示(x為該商品的進貨量，y為銷售天數(shù))． x/噸 2 3 4 5 6 8 9 11 y/天 1 2 3 3 4 5 6 8 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下圖所示的網(wǎng)格中繪制散點圖； (2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)根據(jù)(2)中的計算結果，若該商店準備一次性進貨24噸，預測需要銷售的天數(shù)． 參考公式和數(shù)據(jù)：＝，＝y(tǒng)－x； xi2＝356，xiyi＝241. 答案　(1)略　(2) ＝x－　(3)17天 解析　(1)散點圖如圖所示： (2)依題意，得x＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6， y＝×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4， 又xi2＝356，xiyi＝241， 所以＝＝＝，＝4－×6＝－， 故線性回歸方程為＝x－. (3)由(2)知，當x＝24時，＝×24－≈17， 故若該商店一次性進貨24噸，則預計需要銷售17天．