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1、2022年高考數學二輪復習 專題九 選做大題 專題對點練26 坐標系與參數方程 文
1.(2018全國Ⅰ,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.
2.(2018全國Ⅱ,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),直線l的參數方程為(t為參數).
(1)求C和l的直角坐標方程;
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2
2、),求l的斜率.
3.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(其中φ為參數),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1α為常數,0<α<π,且α≠,點A,B(A在x軸下方)是曲線C1與C2的兩個不同交點.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)求|AB|的最大值及此時點B的坐標.
4.已知曲線C的參數方程為(θ為參數),在同一平面直角坐標系中,將曲線C上的點按坐標變換得到曲線C',以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
3、(1)求曲線C'的極坐標方程;
(2)若過點A(極坐標)且傾斜角為的直線l與曲線C'交于M,N兩點,弦MN的中點為P,求的值.
專題對點練26答案
1.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.
由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當l1與C2
4、只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=,經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點.
綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.
2.解 (1)曲線C的直角坐標方程為=1.
當cos α≠0時,l的直角坐標方程為y=tan α·x+2-tan α,
當cos α=0時,l的直角坐標方程為x=1.
(2)將l的參數方程代入C的直角坐標方
5、程,整理得關于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①
因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內,所以①有兩個解,設為t1,t2,則t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2.
3.解 (1)曲線C1的參數方程為
(其中φ為參數),普通方程為+y2=1;曲線C2的極坐標方程為ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1,
直角坐標方程為xtan α-y-1=0.
(2)C2的參數方程為(t為參數),代入+y2=1,得t2-2tsin α=0,
∴t1+t2=,t1t2=0,
∴|AB|=.
∵0<α<π,且α≠,
∴sin α∈(0,1),
∴|AB|max=,此時B的坐標為.
4.解 (1)C:=1,將代入C的普通方程可得x'2+y'2=1.因為ρ2=x2+y2,所以曲線C'的極坐標方程為C':ρ=1.
(2)點A的直角坐標是A,將l的參數方程
代入x2+y2=1,
可得4t2-6t+5=0,
∴t1+t2=,t1·t2=,
∴.
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