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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 大題專項突破 高考大題專項3 高考中的數(shù)列 文 北師大版
1.(2018山西呂梁一模,17)已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=2,b2=5,且anbn+1=anbn+an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
2.(2018福建龍巖4月質(zhì)檢,17)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=lg an,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Tn.
3
2、.(2018北京海淀期末,15)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn,且a2=5,S3=a7.
(1)數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{an+bn}的前n項和.
4.(2018河北唐山一模,17)已知數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,Sn為其前n項和,2Sn=+n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,證明:Tn<.
5.(2018湖南衡陽二模,17)等差數(shù)列{an}中,a3=1,a7=9,Sn為等比數(shù)列{bn}的前n項和,且b1=2,若4S1,3S2
3、,2S3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設cn=|an|·bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=(m+1)-man對任意的n∈N+都成立,其中m為常數(shù),且m<-1.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)記數(shù)列{an}的公比為q,設q=f(m),若數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N+).求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)在(2)的條件下,設cn=bn·bn+1,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1.
4、
7.(2018宿州十三所中學期中,17)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,并且滿足a1=1,nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn;
(3)在(2)的條件下,是否存在常數(shù)λ,使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,試求出λ;若不存在,說明理由.
高考大題專項三 高考中的數(shù)列
1.解 (1)把n=1代入已知等式得a1b2=a1b1+a2,∴a2=a1b2-a1b1=3a1.
∴{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,即an=3n-1.
(2)由已知得bn+1-bn==3,
∴{bn}是首項為2,公差為3的
5、等差數(shù)列,其通項公式為bn=3n-1,
∴Sn=.
2.解 (1)由Sn=2an-1(n∈N+),可得S1=2a1-1,
∴a1=2a1-1,∴a1=1.
又S2=2a2-1,∴a1+a2=2a2-1,∴a2=2.
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
∴公比q==2,
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
(2)由(1)知,bn=lg an=(n-1)lg 2,
∴Tn=(b1+a1)+(b2+a2)+…+(bn+an)
=(0+1)+(lg 2+2)+…+[(n-1)lg 2+2n-1]
=[lg 2+2lg 2+…+(n-1)lg 2]+(1+2+…+2n-1)
=l
6、g 2+2n-1.
3.解 (1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,
則解得a1=3,d=2.
由an=a1+(n-1)d,則an=2n+1.
因此,通項公式為an=2n+1.
(2)由(1)可知:an=2n+1,
則bn=22n+1,=4.
因為b1=23=8,所以{bn}是首項為8,公比為q=4的等比數(shù)列.
記{an+bn}的前n項和為Tn,
則Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)==n2+2n+.
4.(1)解 當n=1時,2S1=2a1=+1,
所以(a1-1)2=0,即a1=1.
7、又{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,所以an≥1.
由2Sn=+n得2Sn+1=+n+1,
所以2Sn+1-2Sn=+1,
整理得2an+1=+1,
即=(an+1-1)2,
所以an=an+1-1,即an+1-an=1,
所以{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=n.
(2)證明 因為bn=,
所以Tn=++…+=.
5.解 (1)在等差數(shù)列{an}中,設公差為d,則a7-a3=4d=9-1=8,故d=2,
∴an=a3+(n-3)d=1+2(n-3)=2n-5.
設等比數(shù)列{bn}的公比為q,依題意有6S2=4S1+2S3,故q=2,∴bn=2n.
(2)∵cn
8、=|2n-5|·2n.
當n=1時,T1=6,
當n=2時,T2=10,
當n≥3時,2n-5>0,
Tn=10+1×23+3×24+…+(2n-7)2n-1+(2n-5)2n, ①
2Tn=20+1×24+3×25+…+(2n-7)2n+(2n-5)2n+1, ②
①-②,得-Tn=-10+8+2(24+…+2n)-(2n-5)2n+1,
∴Tn=34+(2n-7)2n+1.
∴Tn=
6.證明 (1)當n=1時,a1=S1=1.
∵Sn=(m+1)-man, ①
∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2), ②
由①-②,得an=man-1-man(n≥2),
9、即(m+1)an=man-1.
∵a1≠0,m<-1,∴an-1≠0,m+1≠0.
∴(n≥2).
∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
(2)∵f(m)=,b1=a1=1,bn=f(bn-1)=(n≥2),
∴(n≥2),
∴=1(n≥2),
∴數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(3)由(2)得=n,則bn=,故cn=bn·bn+1=,
因此,Tn=+…++…+=1-<1.
7.解 (1)∵nan+1=Sn+n(n+1), ①
∴當n≥2時,(n-1)an=Sn-1+n(n-1), ②
由①-②可得an+1-an=2(n≥2),且a1=1,a2=S1+1×(1+1)=3,
∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,即an=2n-1.
(2)由(1)知數(shù)列an=2n-1,∴bn=,
則Tn=+…+, ①
∴Tn=+…+, ②
由①-②得,
Tn=+2+…+-
=+2×,
∴Tn=3-.
(3)由(2)知Tn=3-,
∴,
∴要使數(shù)列為等比數(shù)列,
當且僅當3+λ=0,即λ=-3.
故存在λ=-3,使得數(shù)列為等比數(shù)列.
2022年高考數(shù)學一輪復習 大題專項突破 高考大題專項3 高考中的數(shù)列 文 北師大版
