（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 3 第3講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學案

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1、第3講　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α?β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β； tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. [三角函數(shù)公式的變形] (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos2α＝，sin2α

2、＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin. 3．三角函數(shù)公式關(guān)系 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　) (2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　) (3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　) (4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對

3、任意角α，β都成立．(　　) (5)存在實數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [教材衍化] 1．(必修4P127練習T2改編)若cos α＝－.α是第三象限的角，則sin＝________． 解析：因為α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－. 答案：－ 2．(必修4P131練習T5改編)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________． 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58

4、°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝. 答案： 3．(必修4P146A組T4改編)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因為tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝－tan 20°tan 40°， 所以原式＝－tan 20°tan40°＋tan 20

5、°tan 40°＝.答案： [易錯糾偏] (1)不會逆用公式，找不到思路； (2)不會合理配角出錯； (3)忽視角的范圍用錯公式． 1．化簡：＝________． 解析：原式＝ ＝＝＝. 答案： 2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，則tan β＝________． 解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝ ＝＝. 答案： 3．已知θ∈，且sin＝，則tan 2θ＝________． 解析：法一：sin＝，得sin θ－cos θ＝，① 已知θ∈，①平方得2sin θcos θ＝， 可求得sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＝，cos θ＝，

6、 所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－. 法二：因為θ∈且sin＝， 所以cos＝， 所以tan＝＝，所以tan θ＝. 故tan 2θ＝＝－. 答案：－ 　　　　　　三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用 (1)已知α∈，sin α＝，則tan＝(　　) A．－　　 　B.　　　 C.　　　 D．－ (2)(2020·杭州中學高三月考)已知α∈，且sin＝，則sin α＝______，cos＝______． 【解析】　(1)因為α∈，所以cos α＝－， 所以tan α＝－， 所以tan＝＝＝. (2)因為α∈，所以0<α－<， 所以cos＝＝， 所以sin α＝si

7、n＝sincos＋cossin＝×＋×＝， cos＝cos＝－sin＝－. 【答案】　(1)C　(2)?。? 利用三角函數(shù)公式應(yīng)注意的問題 (1)使用公式求值，首先要注意公式的結(jié)構(gòu)特點和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”． (2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導公式的綜合應(yīng)用． (3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．　 　(2020·溫州七校聯(lián)考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選B.因為α為銳角，cos＝>0，所以α＋為銳角，sin＝＝，所

8、以sin＝2sincos＝，故選B. 　　　　　　三角函數(shù)公式的活用(高頻考點) 三角函數(shù)公式的活用是高考的熱點，高考多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)和解三角形常應(yīng)用三角函數(shù)公式．主要命題角度有： (1)兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用； (2)二倍角公式的活用． 角度一　兩角和與差公式的逆用及變形應(yīng)用 (1)已知sin α＋cos α＝，則sin2(－α)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cos C的值為(　　) A．－ B. C. D．－

9、【解析】　(1)由sin α＋cos α＝兩邊平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－， 所以sin2(－α)＝ ＝＝＝. (2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1， 可得＝－1， 即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)， 所以A＋B＝， 則C＝，cos C＝. 【答案】　(1)B　(2)B 角度二　二倍角公式的活用 ＝________． 【解析】　法一：原式＝ ＝＝tan 30°＝. 法二：原式＝ ＝＝＝. 法三：因為＝＝. 又＞0，所以＝. 【答案】　 三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧 運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟

10、練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等． 公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用．　 1．化簡·sin 2α－2cos2α＝(　　) A．cos2α B．sin2α C．cos 2α D．－cos 2α 解析：選D.原式＝·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α. 2．若α＋β＝，則(1－tan α)(1－tan

11、 β)的值是________． 解析：－1＝tan＝tan(α＋β)＝， 所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2 　　　　　　角的變換 (1)(2020·金華十校聯(lián)考)已知sin 2α＝(＜2α＜π)，tan(α－β)＝，則tan(α＋β)等于(　　) A．－2 B．－1 C．－ D. (2)(2018·高考浙江卷)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P. ①求sin(α＋π)的值； ②若角β滿足

12、sin(α＋β)＝，求cos β的值． 【解】　(1)選A.因為sin 2α＝，2α∈， 所以cos 2α＝－，tan 2α＝－， tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝ ＝－2. (2)①由角α的終邊過點P得 sin α＝－， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. ②由角α的終邊過點P得 cos α＝－， 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 角的變換技巧 (1)當“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“

13、已知角”的和或差的形式． (2)當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導公式把“所求角”變成“已知角”． (3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．　 1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，則tan 的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B.tan＝tan＝＝＝. 2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 解析：選A.因為α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2

14、α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝. [基礎(chǔ)題組練] 1．計算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的結(jié)果為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝. 2

15、．已知sin＝cos，則tan α＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：選A.因為sin＝cos， 所以cos α－sin α＝cos α－sin α， 所以sin α＝cos α， 所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1. 3．若α∈，tan＝，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A.因為tan＝＝， 所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α. 又因為sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝. 又因為α∈，所以sin α＝. 4．(2020·寧波效實中學高三質(zhì)檢)sin 2α＝，0<α

16、<，則cos的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選D.cos＝＝sin α＋cos α， 又因為(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<， 所以sin α＋cos α＝，故選D. 5．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　) A．－　　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：選A.因為sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. 因為tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－， 則tan(α－β)＝＝－. 6．(202

17、0·溫州市十校聯(lián)合體期初)若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.3cos 2α＝sin， 可得3cos 2α＝(cos α－sin α)， 3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)， 因為α∈，所以cos α－sin α≠0， 上式化為sin α＋cos α＝， 兩邊平方可得1＋sin 2α＝. 所以sin 2α＝－. 7．(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)設(shè)sin＝，則sin 2θ＝________． 解析：因為sin＝，即sin θ＋cos θ＝，平方可得＋sin 2θ＝，解得

18、sin 2θ＝－. 答案：－ 8．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，則cos α＝________． 解析：因為0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°， 所以cos(α－45°)＝＝， 所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°] ＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45° ＝. 答案： 9．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)＝________． 解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①

19、 由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，② ①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝. 答案： 10．(2020·寧波諾丁漢大學附中高三期中檢測)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，則sin 2x＝________，＝________． 解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，即sin x＋cos x＝－， 兩邊平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 即1＋sin 2x＝，則sin 2x＝－， 由＝ ＝＝＝＝－， 答案：－?。? 11．已知t

20、an α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． 解：(1)tan＝＝＝－3. (2) ＝＝ ＝＝1. 12．已知coscos＝－，α∈. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． 解：(1)coscos ＝cossin＝sin＝－， 即sin＝－. 因為α∈，所以2α＋∈， 所以cos＝－， 所以sin 2α＝sin ＝sincos －cossin ＝. (2)因為α∈， 所以2α∈， 又由(1)知sin 2α＝， 所以cos 2α＝－. 所以tan α－＝－＝ ＝＝－2×＝2. [綜合題組練] 1．(2020·浙江五校聯(lián)考)

21、已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，則tan(α＋β)＝(　　) A. B．－ C．－ D．－3 解析：選B.因為sin β＝3sin(2α＋β)， 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]， 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α， 又因為3tan＋tan2＝1， 所以3tan＝1－tan2， 所以tan α＝＝， 所以tan(α＋

22、β)＝－2tan α＝－. 2．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)對于集合{a1，a2，…，an}和常數(shù)a0，定義：ω＝ 為集合{a1，a2，…，an}相對a0的“正弦方差”，則集合相對a0的“正弦方差”為(　　) A. B. C. D．與a0有關(guān)的一個值 解析：選A.集合相對a0的“正弦方差” ω＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 3．若α∈，cos＝2cos 2α，則sin 2α＝________． 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝. 由

23、cos α＋sin α＝0得tan α＝－1， 因為α∈，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不滿足條件；由cos α－sin α＝兩邊平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝. 答案： 4．(2020·杭州模擬)已知角α，β的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，α、β∈(0，π)，角β的終邊與單位圓交點的橫坐標是－，角α＋β的終邊與單位圓交點的縱坐標是，則sin β＝________，cos α＝________． 解析：依題設(shè)及三角函數(shù)的定義得 cos β＝－，sin(α＋β)＝.又因為0<β<π， 所以<β<π，<α＋β<π， sin β＝，cos(α

24、＋β)＝－. 所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝. 答案：　 5．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． 解：(1)由題意得(sin α＋cos α)2＝， 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝. 又2α∈，所以cos 2α＝＝， 所以tan 2α＝＝. (2)因為β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝， 于是sin 2＝2sincos＝. 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－， 又2β∈，

25、所以sin 2β＝， 又cos2α＝＝，α∈， 所以cos α＝，sin α＝. 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝×－×＝－. 6．已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若f＝－，α∈，求sin的值． 解：(1)因為y＝a＋2cos2x是偶函數(shù)，所以g(x)＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，而θ∈(0，π)，故θ＝，所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin 2x，代入得a＝－1. 所以a＝－1，θ＝. (2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin 2x＝－cos 2xsin 2x＝－sin 4x，因為f＝－， 所以f＝－sin α＝－，故sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，sin＝×＋×＝. 18