高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理考情解讀1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問題、解決問題的綜合能力1an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，an2等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)a

2、n為等比數(shù)列，an0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aanan2(n1)(an0) an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)，nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1熱點(diǎn)一等差數(shù)列例1(1)等差數(shù)列an

3、的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a612，則S7的值是()A21 B24 C28 D7(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若1a31,0a63，則S9的取值范圍是_思維啟迪(1)利用a1a72a4建立S7和已知條件的聯(lián)系；(2)將a3，a6的范圍整體代入答案(1)C(2)(3,21)解析(1)由題意可知，a2a62a4，則3a412，a44，所以S77a428.(2)S99a136d3(a12d)6(a15d)又1a31,0a63，33(a12d)3,06(a15d)18，故3S921.思維升華(1)等差數(shù)列問題的基本思想是求解a1和d，可利用方程思想；(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qN*，

4、且mnpq，則amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分別為an，bn的前2n1項(xiàng)的和)(3)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項(xiàng)，利用性質(zhì)解決(1)已知等差數(shù)列an，滿足a31，a86，則此數(shù)列的前10項(xiàng)的和S10_.(2)在等差數(shù)列an中，a50且a6|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S

5、12，S13均大于0答案(1)35(2)C解析(1)因?yàn)閍1a10a3a87，所以S1035.(2)由題意可知a6a50，故S100，而S99a50，故選C.熱點(diǎn)二等比數(shù)列例2(1)(xx安徽)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.(2)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a3，a2a4，則等于()A4n1 B4n1C2n1 D2n1思維啟迪(1)列方程求出d，代入q即可；(2)求出a1，q，代入化簡(jiǎn)答案(1)1(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.(2)由可得2

6、，q，代入得a12，an2()n1，Sn4(1)，2n1，故選D.思維升華(1)an為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，則amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列(q1)(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10.(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b8b11等于()A1 B2C4 D8(2)在等比數(shù)列an中，a1an34，a2an164，且前n項(xiàng)和Sn62，則項(xiàng)數(shù)n等于()A4 B5C6 D7答案(1)D(2)B解析(1)a42a3a80，2aa

7、43a8，即2a4a7，a72，b72，又b2b8b11b1qb1q7b1q10bq18(b7)38，故選D.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2an1a1an64，又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.當(dāng)a12，an32時(shí)，Sn62，解得q2.又ana1qn1，所以22n12n32，解得n5.同理，當(dāng)a132，an2時(shí)，由Sn62，解得q.由ana1qn132()n12，得()n1()4，即n14，n5.綜上，項(xiàng)數(shù)n等于5，故選B.熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)

8、列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使對(duì)任意nN*，總有SnTm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍思維啟迪(1)利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；(2)將恒成立問題通過分離法轉(zhuǎn)化為最值解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而Sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm81()m，()m隨m增加而遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使對(duì)任意nN*總有SnTm，則106.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(6，)思

9、維升華等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求證：.(1)解，an，Sn成等差數(shù)列，2anSn，當(dāng)n1時(shí)，2a1S1，a1，當(dāng)n2時(shí)，Sn2an，Sn12an1，兩式相減得anSnSn12an2an1，2，數(shù)

10、列an是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，an2n12n2.(2)證明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，()，(1)()()(1)(nN*)即0an為遞增數(shù)列，Sn有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，則a2 0130，則a2 0140，則a2 0130D若a40，則a2 0140答案C解析因?yàn)閍3a1q2，a2 013a1q2 012，而q2與q2 012均為正數(shù)，若a30，則a10，所以a2 0130，故選C.2已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn.若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，

11、則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(8，7)解析ana(n1)1na1，所以bn，因?yàn)閷?duì)任意的nN*，都有bnb8成立，即(nN*)恒成立，即0(nN*)，則有解得8a0，an1an2.當(dāng)n2時(shí)，an是公差d2的等差數(shù)列a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，aa2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23，由條件可知，4a1a54，a11，a2a1312，an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.等比數(shù)列bn的公比q3，等比數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n.(2)Tn，()k3n6對(duì)任意的nN*恒成立，k對(duì)任意的nN*恒成立，令cn，cncn1，當(dāng)n3時(shí)，cncn1；當(dāng)n4時(shí)，cn0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(2)n2n2 012，即2n2 012，得n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k5