2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.1 等差數(shù)列、等比數(shù)列 文 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.設(shè)Sn,Tn分別是等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,若= (n∈N*),則= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】選D.==. 2.等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn= (　　) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. 【解析】選A.由=a2·a8得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+

2、7d), 所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2 所以Sn=na1+d=n2+n. 3.已知數(shù)列{an}滿足:=,且a2=2,則a4等于 (　　) A.- B.23 C.12 D.11 【解析】選D.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足:=,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2.則a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11. 4.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,a2=3,且a3,a5,a8成等比數(shù)列,設(shè)bn=,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn為 (　　) A. B. C. D. 【解

3、析】選B.設(shè)公差為d(d≠0),首項(xiàng)為a1,所以a1+d=3,(a1+2d)(a1+7d)=(a1+4d)2,解得a1=2,d=1,所以an=n+1,bn==2,所以Tn=2+2+…+2=2=. 5.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5= (　　) A.-12 B. -10 C.10 D.12 【解析】選B.3=2a1+d+4a1+×d?9a1+9d=6a1+7d?3a1+2d=0 ?6+2d=0?d=-3, 所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.若{an}為等比數(shù)列,an>0,

4、且a2 018=,則+的最小值為_______.? 【解析】+=≥=4 答案:4 7.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,滿足S2=S6,-=2,則a1=_______________,公差d=____________.? 【解析】因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,滿足S2=S6,-=2,所以2a1+d=6a1+15d,-=2,解得a1=-14,d=4. 答案:-14　4 8.對(duì)給定的正整數(shù)n(n≥6),定義f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中a0=1,ai=2ai-1 (i∈N*,i≤n),則a6=____________;當(dāng)n=2 017時(shí),f(2)=__

5、__________.? 【解析】因?yàn)閍0=1,ai=2ai-1(i∈N*,i≤n),所以a6=2a5=22a4=…=26a0=64. f(2)=20+21×2+22×22+23×23+…+22 017×22 017==. 答案:64　 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,=9a2a6, (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由=9a2a6,得=9,所以q2=, 由條件可知q>0,故q=.由2a1+

6、3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-, 故=-=-2. ++…+ =-2 =-. 10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1,a2,a3的值. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】(1)因?yàn)镾1=T1=2S1-1,S1=1=a1, 所以a1=1. 因?yàn)镾1+S2=T2=2S2-4,所以a2=4. 因?yàn)镾1+S2+S3=T3=2S3-9,所以a3=10. (2)

7、因?yàn)門n=2Sn-n2　 ①　, Tn-1=2Sn-1-(n-1)2?、? 所以①-②得,Sn=2an-2n+1(n≥2), 因?yàn)镾1=2a1-2×1+1, 所以Sn=2an-2n+1(n≥1)?、?, Sn-1=2an-1-2n+3?、?③-④得,an=2an-1+2(n≥2) an+2=2(an-1+2). 因?yàn)閍1+2=3,所以{an+2}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,an+2=3×2n-1, 故an=3×2n-1-2. 11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2-n+1,正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且b2=a2,b4=a5. (1)求{an}和

8、{bn}的通項(xiàng)公式. (2)數(shù)列{cn}中,c1=a1,且cn=cn+1-Tn,求{cn}的通項(xiàng)公式cn. 【解析】(1)因?yàn)镾n=n2-n+1,所以令n=1,a1=1, an=Sn-Sn-1=2(n-1),(n≥2), 經(jīng)檢驗(yàn)a1=1不能與an(n≥2)合并, 所以an=又因?yàn)閿?shù)列{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列,b2=a2=2,b4=a5=8,所以=q2=4,所以q=2, 所以b1=1,所以bn=2n-1. (2)Tn==2n-1, 因?yàn)閏2-c1=21-1,c3-c2=22-1,…,cn-cn-1 =2n-1-1, 以上各式相加得cn-c1=-(n-1), c1=a1=1,所

9、以cn-1=2n-n-1, 所以cn=2n-n. (20分鐘　20分) 1.(10分)已知數(shù)列{an}中,a2=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=. (1)求a1,a3. (2)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式. 【解析】(1)令n=1, 則a1=S1==0, 令n=3,則S3=, 即0+1+a3=, 解得a3=2. (2)由Sn=, 即Sn=, ① 得Sn+1=, ② ②-①,得(n-1)an+1=nan, ③ 于是,nan+2=(n+1)an+1, ④ ③-④,得nan+2+nan=2nan+1, 即an+2+an=2an+1, 又a1=0,a2

10、=1,a2-a1=1, 所以數(shù)列{an}是以0為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. 所以an=n-1. 【提分備選】 已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn+1+Sn=,數(shù)列{bn}滿足bn·bn+1=,且b1=1. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式. (2)記Tn=anb2+an-1b4+…+a1b2n,求Tn. 【解析】(1)因?yàn)镾n+1+Sn=, ① Sn+Sn-1=(n≥2), ② ①-②得:an+1+an=-, 所以(an+1+an)(an+1-an-1)=0, 因?yàn)閍n+1>0,an>0, 所以an+1+an≠0, 所以an+1-an=1(

11、n≥2), 又由S2+S1=得2a1+a2=, 即-a2-2=0,所以a2=2,a2=-1(舍去), 所以a2-a1=1, 所以{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列, 所以an=n. 又因?yàn)閎n·bn+1==3n, ③ 所以bn-1·bn=3n-1(n≥2), ④ 得:=3(n≥2),又由b1=1,可求b2=3, 故b1,b3,…,b2n-1是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,b2,b4,…,b2n是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.所以b2n-1=3n-1,b2n=3·3n-1=3n. 所以bn= (2)由(1)得: Tn=3an+32an-1+33an-2+…+3na1

12、, ⑤ 3Tn=32an+33an-1+34an-2+…+3n+1a1, ⑥ ⑥-⑤得: 2Tn=-3an+32(an-an-1)+33(an-1-an-2)+…+3n(a2-a1)+3n+1a1, 由an=n,所以2Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1 =-3n+=-3n-+·3n+2, 所以Tn=--. 2.(10分)(2018·日照一模)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足:2Sn+an=1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<. 【解析】(1)因?yàn)?Sn+an=1,所以2Sn+1+an+1=1, 兩式相減可得2an+1+an+1-an=0,即 3an+1=an,即=, 又2S1+a1=1,所以a1=, 所以數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列. 故an=·=, 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)因?yàn)閎n=, 所以bn= == =- 所以Tn=b1+b2+…+bn =++…+-=-<. 所以Tn<.