（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線學(xué)案 理 新人教B版

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1、 第7節(jié)　拋物線 最新考綱　1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì). 知 識 梳 理 1.拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線. (2)其數(shù)學(xué)表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離). 2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 圖形 標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝ －2py(p>0)

2、p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 性質(zhì) 頂點 O(0，0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口 方向 向右 向左 向上 向下 [常用結(jié)論與微點提醒] 1.通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦. 2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

3、 (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) 解析　(1)當(dāng)定點在定直線上時，軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線. (2)方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝y(tǒng)，是焦點在y軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線

4、方程是y＝－. (3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.以x＝1為準線的拋物線的標準方程為(　　) A.y2＝2x B.y2＝－2x C.y2＝4x D.y2＝－4x 解析　由準線x＝1知，拋物線方程為： y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝－4x. 答案　D 3.(2018·黃岡聯(lián)考)已知方程y2＝4x表示拋物線，且該拋物線的焦點到直線x＝m的距離為4，則m的值為(　　) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，它與

5、直線x＝m的距離為d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5，故選B. 答案　B 4.(教材練習(xí)改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為________. 解析　很明顯點P在第三象限，所以拋物線的焦點可能在x軸負半軸上或y軸負半軸上. 當(dāng)焦點在x軸負半軸上時，設(shè)方程為y2＝－2px(p＞0)，把點P(－2，－4)的坐標代入得(－4)2＝－2p×(－2)， 解得p＝4，此時拋物線的標準方程為y2＝－8x； 當(dāng)焦點在y軸負半軸上時，設(shè)方程為x2＝－2py(p＞0)，把點P(－2，－4)的坐標代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此

6、時拋物線的標準方程為x2＝－y. 綜上可知，拋物線的標準方程為y2＝－8x或x2＝－y. 答案　y2＝－8x或x2＝－y 5.已知拋物線方程為y2＝8x，若過點Q(－2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________. 解析　設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，當(dāng)k＝0時，顯然滿足題意；當(dāng)k≠0時，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范圍是[－1，1]. 答案　[－1，1] 考點一　拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】 (1)已

7、知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點D到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B.1 C. D. (2)若拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3，2)，則|PA|＋|PF|取最小值時點P的坐標為________. 解析　(1)因為拋物線y2＝x的準線方程為x＝－. 如圖所示，過點A，B，D分別作直線x＝－的垂線，垂足分別為G，E，M，因為|AF|＋|BF|＝3，根據(jù)拋物線的定義，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，即線段AB的中點D到y(tǒng)軸的距離為

8、－＝. (2)將x＝3代入拋物線方程 y2＝2x，得y＝±. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部，如圖. 設(shè)拋物線上點P到準線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當(dāng)PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點P的坐標為(2，2). 答案　(1)C　(2)(2，2) 規(guī)律方法　應(yīng)用拋物線定義的兩個關(guān)鍵點 (1)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. 【訓(xùn)練1】 (1)動圓過點(1，0)，且與

9、直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為__________. (2)(2017·全國Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. 解析　(1)設(shè)動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x. (2)如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|

10、MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 答案　(1)y2＝4x　(2)6 考點二　拋物線的標準方程及其性質(zhì) 【例2】 (1)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A.x2＝y(tǒng) B.x2＝y(tǒng) C.x2＝8y D.x2＝16y (2)(2016·全國Ⅰ卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E

11、兩點.已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　(1)∵－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝. x2＝2py(p＞0)的焦點坐標為，－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝ ±x，即y＝±x.由題意得＝2，解得p＝8.故C2的方程為x2＝16y. (2)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2(r>0)， ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D， ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴＋8＝＋5，解得p＝4(負值舍去

12、)， 故C的焦點到準線的距離為4. 答案　(1)D　(2)B 規(guī)律方法　1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程. 2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此. 【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________. (2)過拋物線y2＝4x的焦點

13、F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點.若|AF|＝3，則△AOB的面積為________. (1)解析　設(shè)A，B在準線上的射影分別為A1，B1， 由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，則直線的斜率為， 故|AC|＝2|AA1|＝6，從而|BF|＝1，|AB|＝4， 故＝＝，即p＝，從而拋物線的方程為y2＝3x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1，0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知，點A到準線x＝－1的距離為3，所以點A的橫坐標為2，將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點A的縱坐標為y＝2，所以A(2，2)，所以直線AF的方程為y＝2(x－1)， 聯(lián)立

14、直線與拋物線的方程 解得或由圖知B， 所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝. 答案　(1)y2＝3x　(2) 考點三　直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究) 命題角度1　直線與拋物線的公共點(交點)問題 【例3－1】 (2016·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由. 解　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P， 又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其

15、代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝，因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點，理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0， 解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其它公共點. 命題角度2　與拋物線弦長(中點)有關(guān)的問題 【例3－2】 (2017·北京卷)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1)，過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O

16、為原點. (1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； (2)求證：A為線段BM的中點. (1)解　把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝， 所以拋物線C的方程為y2＝x， 焦點坐標為，準線方程為x＝－. (2)證明　當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零. 由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2). 由消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 考慮Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)， 由題可知有兩交點，所以判別式大

17、于零，所以k<. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為點P的坐標為(1，1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標為(x1，x1). 直線ON的方程為y＝x，點B的坐標為. 因為y1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0. 所以y1＋＝2x1. 故A為線段BM的中點. 規(guī)律方法　1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. 2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式. 3.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系

18、數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解. 【訓(xùn)練3】 (2017·全國Ⅰ卷)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 解析　拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l2直線的斜率為－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝ －(x－1). 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0

19、. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋， 由拋物線定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝±1時取等號. 故|AB|＋|DE|的最小值為16. 答案　A 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.(2018·濟南月考)若拋物線y＝ax2的焦點坐標是(0，1)，則a等于(　　) A.1 B. C.2 D. 解析　因為拋物線的標準方程為x2＝y(tǒng)， 所以其焦點坐標為， 則有＝1，解得a＝. 答案　D 2.(2

20、016·全國Ⅱ卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B.1 C. D.2 解析　由題可知拋物線的焦點坐標為(1，0)，由PF⊥x軸知，|PF|＝2，所以P點的坐標為(1，2)，代入曲線y＝(k>0)得k＝2. 答案　D 3.(2018·張掖診斷)過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|P

21、F|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 答案　B 4.(2018·鐵嶺質(zhì)檢)設(shè)拋物線C：y2＝3x的焦點為F，點A為C上一點，若|FA|＝3，則直線FA的傾斜角為(　　) A. B. C.或 D.或 解析　如圖，作AH⊥l于H，則|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，則|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝， ∴∠EAF＝，即直線FA的傾斜角為，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為. 答案　C 5.(2018·衡水調(diào)研)已知拋物線y2＝4x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y

22、的最小值為(　　) A.12 B.24 C.16 D.32 解析　當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，綜上可知，y＋y≥32. ∴y＋y的最小值為32. 答案　D 二、填空題 6.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心是拋物線y2＝px(p<0)的焦點，則p＝________. 解析　由題意知圓心為(－1，0)，則＝－1，解得p＝－4.

23、 答案　－4 7.(2018·黃山模擬)已知拋物線C：y2＝8x，焦點為F，點P(0，4)，點A在拋物線上，當(dāng)點A到拋物線準線l的距離與點A到點P的距離之和最小時，延長AF交拋物線于點B，則△AOB的面積為________. 解析　F(2，0)，設(shè)A在拋物線準線上的投影為A′， 由拋物線的定義知，|AA′|＝|AF|， 則點A到點P(0，4)的距離與A到該拋物線準線的距離之和d＝|AP|＋|AF|≥|PF|＝2，當(dāng)F，A，P三點共線時d取得最小值， 此時直線AB的斜率為－2，方程為y＝－2(x－2)，即x＝－＋2， 代入拋物線C：y2＝8x，可得y2＋4y－16＝0， 解得y＝－

24、2－2或－2＋2. ∴△AOB的面積為×2×|(－2－2)－(－2＋2)|＝4. 答案　4 8.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬________米. 解析　建立如圖平面直角坐標系，設(shè)拋物方程為x2＝－2py(p＞0). 由題意將點A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米. 答案　2 三、解答題 9.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的

25、直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 解　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋

26、8，M(8，0). 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 10.(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程. 解　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4. 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1). 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點為N

27、(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1，2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)， 解得m＝7. 所以直線AB的方程為x－y＋7＝0. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.(2018·南昌模擬)已知拋物線C1：y＝x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點的連線交C1于點M(M在第一象限)，若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. 解析　由拋

28、物線C1：y＝x2(p>0)得x2＝2py(p>0)， 所以拋物線的焦點坐標為. 由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2. 所以雙曲線的右焦點為(2，0). 則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為＝.即px＋4y－2p＝0.① 設(shè)M(x0>0)，則C1在點M處的切線的斜率為. 由題意可知＝，解得x0＝p， 所以M， 把M點的坐標代入①得＋p－2p＝0. 解得p＝. 答案　D 12.已知拋物線方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為________. 解析　如圖，過A作A

29、H⊥l，AN垂直于拋物線的準線，則|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，連接AF，則|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面幾何知識，知當(dāng)A，F(xiàn)，H三點共線時，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值為F到直線l的距離，即＝，即m＋n的最小值為－1. 答案　－1 13.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切. 證明　(1)由已知得拋物線焦點坐標為. 由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根， 所以y1y2＝－p2. 因為y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因為x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝＝(定值). (3)設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準線的垂線，垂足為C，D，過M作準線的垂線，垂足為N， 則|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切. 15