2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題25 平面向量的模長問題

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題25 平面向量的模長問題 平面向量中涉及模長的問題，常用解法是將模長進(jìn)行平方，利用向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行解答；另外，向量是一個(gè)工具型的知識(shí)，具備代數(shù)和幾何特征，因此，解答這類問題時(shí)可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用代數(shù)和幾何特征，會(huì)加快解題速度. 本專題擬通過典型例題，介紹代數(shù)法和幾何法兩種思路，以期對大家有所啟發(fā). （一）代數(shù)法 利用代數(shù)方法處理向量的模長問題，主要采取模長平方——數(shù)量積和坐標(biāo)兩種方式 1、模長平方：通過可得：，將模長問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，從而能夠與條件中的已知向量（已知模長，夾角的基向量）找到聯(lián)系.要注意計(jì)算完向量數(shù)量

2、積后別忘記開方 2、坐標(biāo)運(yùn)算：若，則.某些題目如果能把幾何圖形放入坐標(biāo)系中，則只要確定所求向量的坐標(biāo)，即可求出（或表示）出模長 3、有關(guān)模長的不等問題：通?？紤]利用“模長平方”或“坐標(biāo)化”得到模長與某個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題 （二）幾何法 1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有： （1）若共起點(diǎn)，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對角線 （2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個(gè)三角形 2、向量數(shù)乘的幾何意義：對于 （1）共線（平行）特點(diǎn)：與為共線向量，其中時(shí)，與同向；時(shí)，與反向 （2）模長關(guān)系： 3、與向量模長問題相

3、關(guān)的定理： （1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對的邊為 ① 正弦定理： ② 余弦定理： （2）菱形：對角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線 特別的，對于底角的菱形，其中一條對角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形. （3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件 4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長 【經(jīng)典例題】 例1.【浙江省部分市學(xué)校（新昌一中、臺(tái)州中學(xué)等）2018屆高三上學(xué)期9+1聯(lián)考】如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，其中，過向點(diǎn)處的切線作垂線，

4、垂足為，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】連結(jié)，則 ∵ ∴ ∴的最大值為1 故選B 點(diǎn)睛：（1）向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題；（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題；（3）向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題. 例2.已知向量的夾角為，且，則（ ）

5、A. B. C. D. 【答案】 【解析】思路：本題利用幾何圖形可解，運(yùn)用向量加減運(yùn)算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出 即可. 解1：如圖可得：，在中，有： 例3. 已知向量，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 解2： 因?yàn)? 即 例4.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】記的最大值和最小值分別為和.若平面向量滿足 則（ ） A.

6、 B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得： ， 建立平面直角坐標(biāo)系，，， 可得： 點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的數(shù)量積及模的關(guān)系.通過建立平面直角坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，就可以求出距離的最值，解答本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，理解并掌握本題的解題方法.有一定的難度. 例5.【2018屆北京市城六區(qū)高三一?！恳阎c(diǎn)在圓 上，點(diǎn)在圓 上，則下列說法錯(cuò)誤的是 A. 的取值范圍為 B. 取值范圍為 C. 的取值范圍為 D. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 【答案】B 【解析】∵M(jìn)在圓C1上，點(diǎn)N在圓C2上， ∴∠MON≥90°， ∴≤

7、0， 又OM≤+1，ON≤+1， ∴當(dāng)OM=+1，ON=+1時(shí)， 取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正確； 設(shè)M（1+cosα，1+sinα）， N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 則=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）， ∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B錯(cuò)誤； 故選B． 例6.【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4， 【解析】 【名師點(diǎn)睛】本題通過設(shè)入向量的夾角，結(jié)合模長公式， 解得，再利用三角有界性求出

8、最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求． 例7.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】 試題分析： 所以. 秒殺解析：利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，則為. 例8.【2018屆山西省孝義市高三下學(xué)期一?！恳阎蛄颗c的夾角是，且，則向量與的夾角是__________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)題意畫出平行四邊形，再解三角形得解. 詳解：如圖所示， ∴ ∵， ∴ ∴ 所以向量與的夾角是120°.

9、 故填120°. 例9.【2018屆湖北省高三4月調(diào)研】已知向量與的夾角為30°，，則的最大值為_________． 【答案】 【解析】分析：由題意，利用基本不等式和向量的運(yùn)算，求的，進(jìn)而可求得的最大值. 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， 所以. 點(diǎn)睛：平面向量的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決． 例10.已知平面向量滿足，且，若向量的夾角為，則的

10、最大值是_________. 【答案】 ，即 答案： 【精選精練】 1．已知正方形ABCD的邊長為1， 則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)平面向量的基本定理，得到，即可求解其模． 詳解：因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，， 則， 因?yàn)?，所以，故選C． 點(diǎn)睛：本題考查了兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量的模模的方法，運(yùn)用向量和三角形法則求出向量的和是解題的關(guān)鍵． 2.【2018屆山東省棲霞市第一中學(xué)高三4月模擬】已知向量，，且，則的值為（ ） A. B. C. D.

11、 【答案】D 3.【浙江省嘉興第一中學(xué)2018屆高三9月基礎(chǔ)知識(shí)測試】若，且，，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 故選：D. 4．對于任意向量，下列說法正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，根據(jù)向量加法的三角形法則，且三角形兩邊之差小于第三邊，則，同理，所以，故正確答案為A. 5．已知向量， 滿足： 則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出． 詳解：∵||=

12、3，||=2，|+|=4， ∴|+|2=||2+||2+2=16， ∴2=3， ∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10， ∴|﹣|=， 故選：D． 6．【2018屆四川省綿陽市三診】中， ， ， ，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且 ，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故，選B. 點(diǎn)睛：本題中向量的模長、數(shù)量積都是已知的，故以其為基底計(jì)算，其中的取值范圍可以由的位置來確定. 7．【2018屆遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考模擬】已知是邊長為1的正三角形，若點(diǎn)滿足，則的最小值為（ ） A.

13、 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】分析：以為原點(diǎn)，以為軸，建立坐標(biāo)系，可得， ，利用配方法可得的最小值. ，故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則；（２）三角形法則；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與求范圍問題往往運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算來解答）. 8．【2018屆湖南省永州市三?！吭谥?，，，，是上一點(diǎn)，且，則等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案

14、】C 【解析】 在中，，，是是上一點(diǎn)，且， 如圖所示， 設(shè)，所以， 所以， 解得，所以，故選C． 8.【浙江省臺(tái)州市2018屆高三上學(xué)期期末】已知， 是兩個(gè)非零向量，且， ，則的最大值為（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 9．【2018屆四川省蓉城名校高三4月聯(lián)考】已知圓： ， ： ，動(dòng)圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵圓： ，圓： ， ，選A. 10．設(shè)向量， ， 滿足， ， 則的最大值

15、等于（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 ∵，且，∴的夾角為120°， 設(shè) 則 如圖所示， 則∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O，B，C四點(diǎn)共圓， ∵， ∴ 由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=. 當(dāng)OC為直徑時(shí)， 最大，最大為2． 故選：A． 點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）. 11.，與的夾角為，則的最小值是______,的最小值是_______． 【答案】 ,,即的最小值是. 12.【2018屆天津市十二校二?！恳阎苯翘菪沃?，，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】分析：以為軸，為原點(diǎn),過與垂直的直線為軸，建立坐標(biāo)系，可設(shè)，可得，，利用二次函數(shù)配方法可得結(jié)果. 詳解： 以為軸，為原點(diǎn),過與垂直的直線為軸，建立坐標(biāo)系， ， 即的最小值為，故答案為.