（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.2.2 第2課時 圓錐曲線的極坐標方程及應用學案 蘇教版選修4-4

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1、 第2課時　圓錐曲線的極坐標方程及應用 1．掌握極坐標系中圓錐曲線的方程． 2．會求簡單的圓錐曲線的極坐標方程． 3．感受在極坐標系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的完美統(tǒng)一． [基礎(chǔ)·初探] 圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程 ρ＝，(***) 其中p為焦點到相應準線的距離，稱為焦準距． 當0＜e＜1時，方程ρ＝表示橢圓； 當e＝1時，方程(***)為ρ＝，表示拋物線； 當e＞1時，方程ρ＝表示雙曲線，其中ρ∈R. [思考·探究] 1．用圓錐曲線統(tǒng)一極坐標方程的標準形式判別圓錐曲線需注意什么？ 【提示】　應注意統(tǒng)一極坐標方程的標準形式，只有方程右邊分母中的常數(shù)為1時，

2、cos θ的系數(shù)的絕對值才表示曲線的離心率．如果該常數(shù)不是1，一定要將其轉(zhuǎn)化為1，再去判別，例如方程ρ＝的離心率不是1，其不表示拋物線，將方程變形為ρ＝，則e＝，表示橢圓． 2．我們由曲線的直角坐標方程很容易知道它是哪種曲線，那如何由曲線的極坐標方程確定其是哪一種曲線呢？ 【提示】　如果對簡單的直線和圓的極坐標方程及圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程熟練的話，可由其判斷，否則一般是將其化成直角坐標方程再判斷其是哪種曲線． [質(zhì)疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：______________________________________________

3、_______ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

4、 疑問4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 橢圓極坐標方程的應用 　已知A、B為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上兩點，OA⊥OB(O為原點)． 求證：＋為定值． 【自主解答】　以O為極點，x軸正方向為極軸，長度單位不變建立極坐標系，則x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入＋＝1中得＝＋.設A(ρ1，α)，B.＋＝＋＝＋(為定值)． [再練一題] 1．本例條件不變，試求△AOB面積的最大值

5、和最小值． 【解】　由例題解析得，S△AOB＝ρ1ρ2， 而ρ1＝， ρ2＝， ∴S△AOB＝· ＝· ＝ ∴當sin2α＝1時，(S△AOB)max＝ab； ∴當sin2α＝時，(S△AOB)min＝. 雙曲線極坐標方程的應用 　過雙曲線－＝1的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線于A、B兩點，求AB. 【思路探究】　求出雙曲線極坐標方程，得出A、B兩點極坐標，進而求AB. 【自主解答】　雙曲線－＝1中，a＝2，b＝，c＝3，所以e＝，p＝＝. 取雙曲線的右焦點為極點，x軸正方向為極軸正方向建立極坐標系，則雙曲線的極坐標方程為ρ＝. 代入數(shù)據(jù)并化簡，得ρ＝.

6、 設A，B，于是AB＝|ρ1＋ρ2|＝＝. 應用圓錐曲線的極坐標方程求過焦點(極點)的弦長非常方便．橢圓和拋物線中，該弦長都表示為ρ1＋ρ2，而雙曲線中，弦長的一般形式是|ρ1＋ρ2|. [再練一題] 2．已知雙曲線的極坐標方程是ρ＝，求雙曲線的實軸長、虛軸長和準線方程． 【解】　雙曲線方程ρ＝可以化為ρ＝，所以e＝，p＝. 設c＝5r，a＝4r，則b2＝c2－a2＝9r2.由p＝＝，得r＝1.所以2a＝8,2b＝6. 所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為6. 準線方程ρcos θ＝－p，即ρcos θ＝－；或ρcos θ＝－p－2，即ρcos θ＝－. 拋物線極坐標

7、的應用 　已知拋物線y2＝4x的焦點為F. (1)以F為極點，x軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標方程； (2)過F作直線l交拋物線于A，B兩點，若AB＝16，運用拋物線的極坐標方程，求直線l的傾斜角． 【自主解答】　(1)極坐標方程為ρ＝. (2)設A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)． AB＝ρ1＋ρ2＝＋ ＝＝16，即sin2θ＝得sin θ＝±. 故l的傾斜角為或π. [再練一題] 3．平面直角坐標系中，有一定點F(2,0)和一條定直線l：x＝－2.求與定點F的距離和定直線l的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡的極坐標方程． 【導學號：98990015】 【解】

8、　過定點F作定直線l的垂線，垂足為K，以F為極點，F(xiàn)K的反向延長線Fx為極軸，建立極坐標系． 由題意，設所求極坐標方程為ρ＝， ∵定點F(2,0)，定直線l：x＝－2， ∴p為F點到直線l的距離，為2－(－2)＝4. 又∵常數(shù)＝e， ∴所求點的軌跡的極坐標方程為ρ＝＝，即ρ＝. [真題鏈接賞析] 　(教材第33頁習題4.2第10題)我國自行研制的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，軌道的近地點和遠地點分別為439 km和2 384 km.若地球半徑取6 378 km，試寫出衛(wèi)星運行軌道的極坐標方程． 　已知雙曲線的極坐標方程為ρ＝，過極點作直線與它交于A，

9、B兩點，且AB＝6，求直線AB的極坐標方程． 【命題意圖】　本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程和直線的極坐標方程． 【解】　 設直線AB的極坐標方程為θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．則ρ1＝， ρ2＝＝. AB＝|ρ1＋ρ2|＝|＋| ＝||＝6， ∴＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±. 故直線AB的極坐標方程為θ＝或θ＝或θ＝. 1．拋物線ρ＝(ρ＞0)的準線方程為______． 【答案】　ρcos θ＝－4 2．設橢圓的極坐標方程是ρ＝，則λ的取值范圍是________． 【導學號：98990016】 【解析】　ρ＝＝， 所以

10、離心率e＝， 由0＜＜1，得λ∈(0,2)． 【答案】　(0,2) 3．橢圓ρ＝的焦距是________． 【答案】　 4．雙曲線ρ＝的焦點到準線的距離為________． 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 6