（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運算學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 3.1.1　空間向量及其加減運算 學(xué)習(xí)目標　1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律． 知識點一　空間向量的概念 (1)在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模． 空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作，其模記為|a|或||. (2)幾類特殊的空間向量 名稱 定義及表示 零向量 規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記為0 單位向量 模為1的向量稱為單位向量 相反向量 與向量

2、a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a 相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量 知識點二　空間向量的加減運算及運算律 思考　下面給出了兩個空間向量a，b，作出b＋a，b－a. 答案　如圖，空間中的兩個向量a，b相加時，我們可以先把向量a，b平移到同一個平面α內(nèi)，以任意點O為起點作＝a，＝b，則＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. 梳理　(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算． ＝＋＝a＋b， ＝－＝a－b. (2)空間向量加法交換律 a＋b＝b＋a， 空間向量加法結(jié)合律 (a＋b)＋c

3、＝a＋(b＋c)． (1)零向量沒有方向．(×) (2)有向線段都可以表示向量，向量都可以用有向線段表示．(×) (3)平面內(nèi)所有的單位向量是相等的．(×) (4)空間中，將單位向量起點放在一起，其終點組成的圖形是球．(×) (5)任何兩個向量均不可以比較大小(√) 類型一　向量概念的應(yīng)用 例1　(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是(　　) A．若向量a，b平行，則a，b所在直線平行 B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反 C．若向量，滿足||＞||，則＞ D．相等向量其方向必相同 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　空間向量的定義

4、與模 答案　D 解析　A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選D. (2)給出下列命題： ①若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b； ②在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ③若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p； ④空間中任意兩個單位向量必相等． 其中假命題的個數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　B 解析?、贋榧倜}，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，

5、而且還要方向相同，而①中向量a與b的方向不一定相同；②為真命題，與的方向相同，模也相等，故＝；③為真命題，向量相等滿足傳遞性；④為假命題，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故選B. 反思與感悟　在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，下列四對向量：①與；②與；③與；④與.其中互為相反向量的有n對，則n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　空間向量的相

6、關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　B 解析　對于①與，③與，長度相等，方向相反，互為相反向量；對于②與，長度相等，方向不相反；對于④與，長度相等，方向相同．故互為相反向量的有2對． (2)如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，則分別以長方體的頂點為起點和終點的向量中： ①單位向量共有多少個？ ②試寫出模為的所有向量． ③試寫出與向量相等的所有向量． ④試寫出向量的所有相反向量． 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　空間向量的定義與模 解?、儆捎陂L方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量，，，，，，，，共8個向

7、量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個． ②由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，. ③與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及. ④向量的相反向量有，，，. 類型二　空間向量的加減運算 例2　如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量． (1)－； (2)＋＋. 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算 解　(1)－＝－＝＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＋＝＋＝. 向量，如圖所示． 引申探究 利用本例題圖，化簡＋＋＋. 解　結(jié)合加法運算 ＋＝

8、，＋＝，＋＝0. 故＋＋＋＝0. 反思與感悟　(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即＋＋＋…＋＝. (2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖， ＋＋＋＋＋＋＋＝0. 跟蹤訓(xùn)練2　在如圖所示的平行六面體中，求證：＋＋＝2. 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算的應(yīng)用 證明　∵平行六面體的六個面均為平行四邊形， ∴＝＋，＝＋，＝＋， ∴＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝2(＋＋)． 又∵＝，＝， ∴＋＋＝＋＋＝＋＝. ∴＋＋＝2. 1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C

9、1D1中，下列各式中運算的結(jié)果為的共有(　　) ①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1個B．2個C．3個D．4個 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算 答案　D 解析?、?＋)＋＝＋＝； ②(＋)＋＝＋＝； ③(＋)＋＝＋＝； ④(＋)＋＝＋＝，故選D. 2．下列命題中，假命題是(　　) A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小 B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同 C．只有零向量的模等于0 D．空間向量不滿足加法結(jié)合律 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　空間向量的定義與模 答案　D 3

10、．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，與向量相等的向量共有(　　) A．1個B．2個C．3個D．4個 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　C 解析　與相等的向量有，，，共3個． 4．向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實數(shù)0 C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝3 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　D 解析　向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反，故選D. 5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式： ①(＋)＋；②(＋)＋；

11、③(＋)＋；④(＋)＋.其中運算的結(jié)果為的有________個． 考點　 題點　 答案　4 解析　根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷： ①(＋)＋＝＋＝； ②(＋)＋＝＋＝； ③(＋)＋＝＋＝； ④(＋)＋＝＋＝. 所以4個式子的運算結(jié)果都是. 1．一些特殊向量的特性 (1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的． (2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. (3)兩個向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 2．空間向量加法、減法運算的兩個技巧

12、 (1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果． 一、選擇題 1．化簡－＋所得的結(jié)果是(　　) A. B. C.0 D. 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算 答案　C 解析?。剑剑?，故選C. 2．下列命題中為真命題的是(　　) A．向量與的長度相等 B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓 C．空間向量就是空間

13、中的一條有向線段 D．不相等的兩個空間向量的模必不相等 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　A 解析　對于選項B，其終點構(gòu)成一個球面；對于選項C，零向量不能用有向線段表示；對于選項D，向量a與向量b不相等，未必它們的模不相等，故選A. 3．空間任意四個點A，B，C，D，則＋－等于(　　) A. B. C. D. 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算 答案　D 4．(2017·嘉興一中期末)如圖，在三棱錐O－ABC中，點D是棱AC的中點，若＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)＋b－c B.a－b＋c C．a(chǎn)－b＋c

14、D．－a＋b－c 答案　B 5．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且＋＝＋，則四邊形ABCD是(　　) A．平行四邊形 B．空間四邊形 C．等腰梯形 D．矩形 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算的應(yīng)用 答案　A 解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四邊形ABCD為平行四邊形，故選A. 6．如果向量，，滿足||＝||＋||，則(　　) A.＝＋ B.＝－－ C.與同向 D.與同向 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　D 7．判斷下列各命題的真假： ①向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，

15、其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為(　　) A．2B．3C．4D．5 考點　 題點　 答案　B 解析?、偌倜}，當a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；②真命題；③假命題，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不確定；④假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段． 二、填空題 8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡－＋－的結(jié)果是________． 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算 答案　2 解析?。剑剑?. 9．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反

16、向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，則|a＋b＋c|＝________. 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　空間向量的定義與模 答案　2 10．若G為△ABC內(nèi)一點，且滿足＋＋＝0，則G為△ABC的________．(選填“外心”“內(nèi)心”“垂心”或“重心”) 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算的應(yīng)用 答案　重心 解析　因為＋＝－＝， 所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線，同理，得BG所在直線的延長線為AC邊上的中線，故G為其重心． 11．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若a＝0，則|a|＝0；③|a|＝|－a|；④若a＝0，則－a

17、＝0.其中正確命題的序號為________． 考點　空間向量的相關(guān)概念及及其表示方法 題點　空間向量的定義與模 答案?、冖邰? 三、解答題 12．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡：＋＋，＋＋，并標出化簡結(jié)果的向量． 考點　空間向量的加減運算 題點　空間向量的加減運算的應(yīng)用 解?。剑? 因為E，F(xiàn)，G分別為BC，CD，DB的中點， 所以＝，＝. 所以＋＋ ＝＋＋＝. 故所求向量為，，如圖所示． 13．如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，化簡下列表達式． (1)＋； (2

18、)＋＋； (3)＋＋； (4)＋－. 考點　 題點　 解　(1)＋＝. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. (4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝. 四、探究與拓展 14．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為點O，則在下列結(jié)論中正確的結(jié)論共有(　　) ①＋與＋是一對相反向量； ②－與－是一對相反向量； ③＋＋＋與＋＋＋是一對相反向量； ④－與－是一對相反向量． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 考點　空間向量的相關(guān)概念及其表示方法 題點　相等、相反向量 答案　C 15．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡－＋－＋－. 解　如圖． －＋－＋－ ＝(－)＋(－)＋(－) ＝＋＋＝＋＝. 13