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1、4.數列、不等式
1．等差數列的有關概念及運算
(1)等差數列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差數列的通項：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差數列的前n項和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
[回扣問題1] 等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案 C
2．等差數列的性質
(1)當公差d≠0時，等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；前n
2、項和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是關于n的二次函數且常數項為0.
(2)若公差d＞0，則為遞增等差數列；若公差d＜0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列．
(3)當m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列．
[回扣問題2] 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 A
3．等比數列的有關概念及運算
(1)等比數列的判斷方法：定義法＝q(q為常數
3、)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．
(2)等比數列的通項：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比數列的前n項和：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
(4)等比中項：若a，A，b成等比數列，那么A叫做a與b的等比中項．值得注意的是，不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個，即為±.如已知兩個正數a，b(a≠b)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為A＞B.
[回扣問題3] 等比數列{an}中，a3＝9，前三項和S3＝27，則公比q的值為________．
答案 1或－
4．等比數列的性質
(1)若{an}，{bn}
4、都是等比數列，則{anbn}也是等比數列．
(2)若數列{an}為等比數列，則數列{an}可能為遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列．
(3)等比數列中，當m＋n＝p＋q時，aman＝apaq.
[回扣問題4] 等比數列{an}的各項均為正數，且a4a5a6＝8，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝( )
A．9 B．6 C．4 D．3
答案 A
5．數列求和的常見方法：公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加．關鍵找通項結構．
(1)分組法求數列的和：如an＝2n＋3n；(2)錯位相減法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂項法求和：如求1＋＋＋…＋
5、；(4)倒序相加法求和．
[回扣問題5] 若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和Sn為( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2
答案 C
6．求數列通項常見方法
(1)已知數列的前n項和Sn，求通項an，可利用公式an＝由Sn求an時，易忽略n＝1的情況．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；
(3)形如an＋1＝can＋d可采用構造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.
(4)歸納法，例如已知
6、數列{an}的前n項和為Sn，且S－(an＋2)S n＋1＝0，求Sn，an.
[回扣問題6] 設數列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數列{an}的通項公式為________．
答案 an＝
7．不等式兩端同時乘以一個數或同時除以一個數，必須討論這個數的正負或是否為零．兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進行．
[回扣問題7] 若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案 B
8．在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示．
[回扣問題8] 已知關于x的
7、不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－}，則ax2－bx＋c＞0的解集為________．
答案
9．基本不等式：≥(a，b＞0)，當且僅當a＝b時，“＝”成立．
(1)推廣：≥≥≥(a，b∈R＋)．
(2)用法：已知x，y都是正數，則
①若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值s2.
利用基本不等式求最值時，要注意驗證“一正、二定、三相等”的條件．
[回扣問題9] (1)已知x＞1，則x＋的最小值為________．
(2)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，且＋的最小值是________．
答案 (1)5 (2)7＋4
10．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數中y的系數的正負．
[回扣問題10] 若變量x，y滿足約束條件且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
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